Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 53
Текст из файла (страница 53)
(СГС) т —, бо„= — —, бее' т лг б "и = Л еВ е! ев ') Это условие подобно условию острого резонанса для системы типа затухающего гармонического осниллятора, уравнение движения для которого имеет вид Г е>зх 1 е>х, > '1 -геи -1- — — +ю х) ее ' °, а ) Циклотронная частота. Рассмотрим уравнения движет;я для случая, когда поле В направлено вдоль осп г. Для простоты будем считать т-~-оо и положим Е = О.
Заметим попутно, что столь же просто можно было бы решить уравнения и для конечного т. Услогн>е существования хорошо выраженной резонансной лини~') выполняется при ю,т 1, где ю, дастся приводимой ниже формулой (8.33). Итак, в рассматриваемом случае уравнение (8.30), записанное в компонентах по осям х и у, примет вид Д0 001 0 10 70 00 100 700 000 1000 Рнс, 8ЛЗ.
Зависимость частоты пнклотронного резонанса В (в Ггп) от вели- гпиы магюиного полн (в кГс) длн свогзодпых электронов. Штриховой линней показана связь иезкду длиной электрома-чнтпой волны Х (прп осуществлении пнклотронного резонанса) и иапштныи полем. бпу оез~п озгу (8.32) боз = пе соз озсВ где (СГС) (СИ) ы, = — ' (8. ЗЗ) Эта частота оз, и есть т)иклогроннпя частота для свободного электрона. Чгтслензгые значения оз. (в МГц) в согласии с графиками на рис. 8.13 можно определять по формуле /а(МГц) 2,80 В(гауссы)=2,80 ° !О ~В(тесла), (834) где /, — = оз,/2л.
Амплитудное значение скорости пе в (8.32) не является скоростью Ферми; это просто величина какой-то начальной дрейфовой скорости электрона на поверхности Ферми. Для свободного электрона в поле 10 кГс получим: со. = = 1,76 ° 10" рад/сек. Если время релаксации (как для чистой меди) равно 2.!Оьы сек при ЗОО'К н 2 10 — -' сск прн 4'К, то для Сн имеем соответственно сз,т = 3,5 1О ' и 3,5 10'.
Следовательно, циклотронная орбита при комнатной температуре никогда не может сформироваться, а при гелиевых температурах электрон до столкновения проходит по орбите много витков. Статическое магнетосопротивление. Важную роль во многих ситуациях играет случай, когда постоянное магнитное поле В направлено по осн г (т, е. перпендикулярно к плоскости ху). 298 100 ~Ъ ьы 00 10 Решения этой системы уравнений имеют вид 1 й 07 'т 000 Тогда для электронов уравнения движения имеют следующий вид: и ( — „, + — ) бо, = — е(Е, + — боу), пг( — + — )6о = — е)Š— — 6о ), т) у= ~у с ) и ( —,+ — ) йо,= — еЕ,. г (8.35) Те жс уравнения в системе СИ получим, заменив е на 1.
В стапнонарпых условиях производная по времени равна нулю, н вмссто (8,35) получим: с'г Ьо = — — Š— сг тйо; х ,г 'х с у йоу = — — Е, +сг,тбо,; (8.35) йо = — — — Е. ст О~ Решая эту спстсму уравнсний относительно М, и боу, найдем: стдэ Ьох =.— — г + ( " ), (Ех — ОстЕу), (8 3?) Ку у (8.38) 1у оухЕх+ оууЕу г + ( . )к (сгхтЕх+ Еу) 1, =о„Е,= о,Ех, где ос == — пе'тгггг. Коыпопснта плотности тока по осп а, очевидно, не существенна, если магнитное поле направлено вдоль оси з, но для полноты мы ее выппсали в (8.38).
Плотность тока можно записать также и в матричной форме: г„= ~", сит г о е, . (8.39) Из выражений (8.38) видно, что диагональные элементы тензора проводимости, а именно охх и о,у, характеризующие 299 Плотность тока для электронов описывается соотношением 1 = п( — е)бо, Для компонент вектора плотности электрического тока соотвстственно нмссм: бу Рис. 8.14, К опвсанню эффекта Холла, Обычно для опнсачня эффекта Холла используется так называемая стандартная геометрия. а) Образец в форме прямоугольного бруска (параллелепипеда) располагается в магнитном поле, направленном по оси г, так, чтобы одна из плоскостей бруска была перпендикулярна к маг1п1тному полю, а электрическое пале Е (направление исходного тока )) совпадало с осью х.
Электрическое поле Е„приложенное к электродам на торцах бруска, вызывает ток с плотностью )„текущий вДоль бруска. б) Сечение, перпендикулярное к оси г; момент, когда дрейфовая скорость только возникла. Схема иллюстрирует тот факт, что при првложенпп внешнего электрического поля электроны сразу приобретают некую дрейфовую скорость. Отклонение электронов к оси — р вызывается действием магнитного поля. Электроны накапливаются на одной грани брусна (отрнцательный заряд), а на протнаопочожной грани «обнажвашиесяъ положительные ионы нрвводят к накопленщо избыточного (по отношенвю к нойтральной ситуации) положительного заряда. Этот процесс продолжается до тех пор, пока образ)чощееся поперечное электрическое поле (поле Холла) не скомпенсирует сйлы, действующие на электроны со стороны магнитного поля.
Устанавливается стационарное состояние (при фиксированном внешнем электрическом н магнитном полях). в) То же сечение, что и в случае б; дрейфовав скорость постоянна; уже установилось стационарное состояние. эффект магнетосопротивления, при уменьшении величины магнитного поля В (или ш,) монотонно убывают. Неднагональные элсменть1 о„„и од, при увеличении величины магнитного поля В сначала возрастают, а затем убывают. Однако, чтобы определить экспериментально электросопротивление в магнитном поле, следует специально выбирать геометрию опыта (см.
задачу 8.4). Эффект Холла. Рассмотрим образец в виде бруска, помешепный в продольное (вдоль оси бруска) электрическое поле Е, и поперечное (перпендикулярное к оси бруска) магнитное поле В (см, рис. 8.14). Поскольку ток не может «вытекать» из бруска 300 в направлении оси гг, то следует положить 1', = О, Согласно )равненггям (8.38) это возможно, лишь когда поперечное электрическое поле (т. е, компонента Е») имеет неличину (СГС) Е» = — ы,тЕ» = — — Е„, (8.40) (С И) Е„= — го,тЕ» = — — ' Ех.
Величину это~о поперечного поля Е» можно определить, измеряя разность потенциалов на противоположных гранях бруска (перпендикулярных к оси х), Поле Е, называют поле>н Холла, а величину (8.4 1) Ея=(д называют коэффиг(иенголг (или поегоянной) Холла. Чтобы оценить величину Кн в нашей простой модели, подставим (8.4О) в первое из уравнений (8.38); в результате получим: (СИ) ]7>г = — —, 1 ае ' т. е.
Йгг для сьободиых электронов — величина отрицательная, сслп величину е считать положительной по определению. Чзгг меньше концентрация носителей, тем больше величина коэффициента Холла. Поэтому измерение Кн дает способ определять концентрацию носггтелей. Простой результат (8.42) есть следствие предположения о том, что времена релаксации одинаковы для всех электронов независимо от их скорости. Если же время релаксации зависит от скорости, то в правой части этого выражения для й>г, появится численный множитель порядка единицы. Зависимость (8.42) станет несколько сложнее, если вклад в проводимость обусловлен и электронами, и дырками (см, ниже). Вывод соответствующего выражения для Кл предлагается читателю в виде задачи 11.3 (в конце гл.
11). Теория эффекта Холла вновь становится простой в случае сильных магнитных полей' ), когда о>,т ~ 1, где «>,— частота циклотронного резонанса, т — время релаксации. ') Обзор гальванонагнигных эффектов в сильных иолах дан Фосет. тон (17], 301 ТАБЛИЦА ЗЗ Сравнение зкснерименталйнык значений коэффициента Холла с вычисленными согласно теории свободиык электронов Экспернмен- тальные зп*""пя дН (О ч ед. СГС Бы пюлеяныс значения зели ниы — )глас, (О ~ ед.
СГС Предпа.таге«мое число носителей па Одни атом Метод Металл — 1,89 1 элс(прок — 2,619 1 электрон -2,3 -1,48 — 2,663 )к(ц 1 электрон -4,946 -4,7 Сп -0,6 — 1,0 -1,18 — 0,8 Ве +2,7 +1,! 35 1 дырка 1 дырка + 1,780 1п +60 — 22 -6000 В! экспериментальные значения Д)), полученные традя~гвояаыца методаып (А), взяты из данных об измерениях три комнатной температуре (нз таблиц Лгнтольта.верггштеика !)З!); значения, получеяяы* методом спиральных аолн (Б) прн 4 'К, ззимсгаозаны нз рабсты Гудмена 1(э!. Значеняя концентрации ношшелсй (л) бралнсь нз табл.
)Л, за а«ключ«ни«и аначеннй для Ыа, К, А! и )и, поторые были взяты из работы !'удмена !Кр Чтобы перейти от значешш К(( н единицах СГС к значанпяя а единицах Б «м)А Гс, следует умножить первые аа э!О", а для перекода к значениям н единицах м')Кл — сост. нетстеенно нз О Юо. -0,92 +1,136 — 0,43 + 1,774 1 зтектрон 1 электрон 1 э !ектрон 1 электрон — 6,04 -0,82 — 1,!9 Наблюдаемые значения коэффициента Холла для некоторых металлов приведены в табл. 8.3; там же для срав~гения приведены значения, вычисленные непосредственно по концентрации носителей заряда.
Наиболее точные измерения проведены иа чистых образцах при низких температурах в сильных магнитных полях методом «спирального резонанса» (см. задачу 8.7). Видно, что для одновалентных металлов (иатрия и калия) точно измеренные значения коэффициента Холла находятся в превосходном согласии со зна 1ениямп, вычисленными по (8.42) в предположении, что на каждый атом приходится один валентный электрон. Следует, однако, обратить внимание па данные для трехвалентных металлов (алюминия и индия): экспериментальные зпачсппя соглас)ются с вычисленными в предположении о том, что на атом приходится один положительный элекгронпьш заряд (плп дырка).
В предположении о трех валснтпых электронах на атом мы пол)чили бы для алюминия и индия значения, по знаку и величине отличные от приведенных. Вопрос з причинах положительных коэффициентов Холла возникает также в случае Вс и Аз (значеш я для них также даны в табл. 8.3), поскольку положитслы.ый злак коэффициента Холла ассоциируется с движением положительно заряженных носителей тока, На эту проблему ооратпли внимание уже давно; еше Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
