Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 52
Текст из файла (страница 52)
(8.20б) Это выражение для электрохимического потенциала является приближенным (такое приближение называют приближением Томаса — Ферми); оно должно быть справедливым и для электростатического потенциала, когда последний мало изменяется на расстояниях порядка длины волны электрона.
Если электро- химический потенциал сохраняет свою величину при изменении электростатического потенциала, мы должны иметь (рис. 8.8): Ьг йг —,„[Зл'и (г)1 ' — егр (г) = 2 [Зиппо[ ° (8.21) 10" 291 Рис. 88. Схема, пллгострпгбтзоцгая постоянство элсктротимпческого погон. пиала. 11ри тепловом равновесии н равновесии концентраций (нет лпффузип) этектрокпмический потенциал постоянен по всему объему. Чтобы поддерживать его постояииызп мы увели пгваем конпеитрашпо электронов в области пространства, где низкий потенциал, и уменьшаем в области, где потенцгал высокий. При разложении (8.2!) в ряд Тейлора получим: Ле, —" [и (г) — ао[ ж сор (г). Лна Согласно (8.20а) г(ел(Ыо — — 2ег/Зпо, откуда следует, что 3 от но а (г) — по — ао 2 е„ (8.
21 а) (8. 21 б) Итак, (8.19) примет впд 2 (СГС) Ч-'ч = — '"'"' ч = ат, е, (СИ) ~'-'р= 2,'"" т=~.'г, ооол (8 221 где (СГС) ).'= ',' = „," ( —,') = — "„". (8.23) Здесь ао — боровский радиус. Мы ншем потенциал, обладающий сферической симметрией; такие потенциалы являются решениямп уравнения (8.24) где дифференциальный оператор в левой части есть радиальная часть оператора ~о в сферических координатах, Искомый по- тенциал, удовлетворяюшпй (8.24), имеет вид ~р(г) = (8.25) Действительно, путем прямого дифференцирования полунин Потенциал (8.25) называют экранированным крлоноаским потенциалом. Длина экранированин определяется как величина, обратная постоянной )„ т.
е, 1/Х (см. рнс, 8,9). На рис. 8.10 приведена ее зависимость от концентрации электронов и. Для меди, у которой по — — 8,5 10оо электронов/смо, длина экранирования равна 0,55 А. Более строгие расчеты эффектов экранирования рассмотрены в книге автора [14[. Часто оказывается удобным рассматривать эффекты экранпрования в электронном газе, вводя некоторый внешний потец. циал синусоидальной формы. Такой анализ проведен в Приложении О, где результаты выражены через диэлектрическую 292 Рпс.
8.9, Сравнение экранированного и неэкранированного кулоновскпх теннналов для единичного положительного заряда, помещенного в электронный газ Ферми. Длина зкраянровяння ггл принята зле'ь равной единш1е фгункг(ию е(К, ш), которая описывает реакцюо электронного газа на действие внешнего потенциала, характеризуемого вотновым вектором К и частотой пь Б теории твердых тел широко распространен прием перехода путем преобразования Фурье от Функций и(К, ш) к функциям от координат и времени (н ооратпо). Поэтому величины типа диэлектрической функппи, которьге описывают реакцию системы как функцию К и ш, оказ:,- ваются важными во многих теоретических построениях. 7РР Рнс.
8.(0. Длина экранирования )/Х (шкала слева! и энергия Ферми (шкала справа) как фуикпии конпентрапии электронов. Все шкалы — логарифмические. Зависнмость для длины экранироваяня построена для модели томаса— ФеРми (см, фоРмУлУ (8.23)], зависимость дли знеРгин ФеРми — по фоРмглз (7.2!). ''с ат у7 4 ~7Р ь т(Х г(,7 '7Р г чь йг:,2 4 у гл г з гл гг гг 77тз 77гллемтгрпщя злактрокаб, гхг З ЭЛЕКТРОН-ЭЛЕКТРОННЫЕ СТОЛКНОВЕНИЯ Поразительным в металлах являешься то, что электроны проводимости, находясь в среднем иа расстояниях 1 — 3 А друг от друга, проходят в металле относительно большие расстояния, не сталкиваясь между собой. При электрон-электронных столкновениях средняя длина свободного пробега при комнатных температурах превышает !О' А, а при 1'К вЂ” более 10 см.
Столь большой свободный пробег обусловлен двумя о<бстоятельствами, без которых модель свободных электронов в металле не имела бы большой ценности, Первое, наиболее важное, — принцип Паули (см, рис, 8.11), а второе — экраиировацпе кулоновского взаимодействия между двумя электронами. Рис. 811. Схема акта столкнонег ня двух электронов с волповымя негтораэги а, я кт. После столкновения электроны имекгт волновые векторы )гз и йс Принцип Паули допускает лгггпь такие столкновения, в которых конечные состояния, характеризуемые векгорамп Гтз н ан были до столкновения вакантными (незанитыми).
Сейчас мы покажем, как принцип Паули понижает частоту столкновений электронов с низкой энергией возбуждения ег вне заполненной сферы Ферми (рис. 8.!2). Оценим влияние принципа Паули в случае двухчастичного столкновения: 1+ 2 — >3+ 4. Эта схема описывает столкновение электрона в возбужденном состоянии 1 с электроном в состоянии 2 внутри сферы Ферми.
Удобно отсчитывать энергии от уровня Ферми р, приняв его за нулевой; тогда ег будет положятельной, а ез — отрицательной величиной. В силу принципа Паули состояния 3 и 4 электронов после столкновения должны находиться впе сферы Ферми, поскольку нсе состояния внутри сферы уже заняты.
Следовательно, энергии ез и и4 должны быть положительны. Закон сохранения энергии требует, чтобы 1ез! ег, так как в противном случае условие е, + еч = в, + е, (где обе стороны положительны) не может быть выполнено. Это означает, что столкновения возможны в том случае, если состояние 2 лежит внутри слоя толщиной и, внутри поверхности Ферми (см.
рис. 8.12,а). Таким образом, подходящей «мишенью» для электрона 1 является не любой электрон, а лишь какой-то один из заполненного слоя, в котором число электронов составляет долю =ег/ел всего их числа '). Но даже если «электрон-мишень» 2 ') Этн расчеты были выполнены Морелем и Нозьсроэг 1151, 291 йх Р".",.".шкм ха .'.г, -" У."е:а Леш еелеяеэм еея" е " Рве. 3.)2. Пояснение пропесса столкновения двтх электронов. а) Электроны сталкиваются в состояшшх, характеризуемых в )т-пространстве точкатш ! и и.
Если показанные на схеме состояния 3 и 4 до столкновения были вакантными (ггезапятыьш), то электроны 1 и 2 после столкновения могут переспи в состояьшя 3 и 4. Энергия в пьшул~с при этель разумеется, сохраняются. б) Сптуаеия неогуществнмостн столкновения. Для электронов в начальных сосгоя. ниях ! и 2 не имеется подходящих вакантных конечных состояний, которые допускали бы выполнение законов сгжранепия прн столкновении. Вооб~тте говоря, среди состояний 3 и 4 можно было бы найти такие, для которых за.
коны сохраненвя энерю:и н импульса выполнялись бы, но состояния 3 н 4, показанньн: на схеме, находясь в ~лубине сферы Ферми, пе могут быть вакаитнытш, потому что опн уже заняты обычно другими электроиюпь и столкновение неосуществимо из.за принципа Паули, о) Здесь крестиком обозначен конец волнового вектора центра масс частиц 1 н 2. Для всех пар состояний 3 н 4 цтшульс и энергия сохраняются в том случае, если эти пары ле.каг па противоположных концах диаметра малой сферы. Цевтр малой сферы выбран в пеитре масс частиц ! и 2 )!е все пары точек 3 н 4 разрешены приппппом Паули; допустимы лишь пары, лежащие вне сферы Ферми !зтот случай и показан на схеме); поля таких разрегяеьных состояний приближенно равна отношению еи)ее. находится в слое нужной энергии, лишь небольшая часть конечных состояний оказывается совместимой с требованиями закона сохранения энергии н импульса и допустима по принципу Паули.
Это обстоятельство уменьшает допустимое количество еще иа множитель г!тел. На рис. 8,12, в показана малая сфера, яа поверхности которой все пары состояний 3, 4 на противоположных концах диаметра удовлетворят требованиям законов сохранения, но столкновения возмо>!сны только такие, в результате которых оба состояния 3, 4 оказываются вне сферы Ферми. В результате понижающий множитель равен (ет~гее)'. Если е! 295 отвечает 1'К, а ег — температуре 5 104'К, то (апгаг) ж 4 10-". Это и есть фактор, который характеризует величину уменьшения частоты столкновений, вызванного влиянием принципа Паули.
Высказанные соображения сохраняют силу и для распределения электронов при конечных, но низких температурах йаТ « ег. Если е~ порядка тепловой энергии, т. е. ЙвТ, то уменьшение частоты элекзрон-электронных столкновений относительно классической величины будет характеризоваться множителем (лвТ)вг)', а для эффективного сечения столкновений получим выражение Щ па (8,27) гдс оа — сечение для экранирования кулоновского взаимодействия. Взаимодействие одного из электронов с любым другим имеет порядок длины экранирования 1/Х. Численные расчеты эффективного сечения столкновений между электронами (с учетом экраиирования) дают величину порядка 1О-м смз, или 1Ойз для типичных металлов. Влияние экранирования сильно сказывается при электрон-электронных столкновениях, уменьшая сечение рассеяния ниже величины, которой можно было ожидать пз формулы Резерфорда для случая неэкранированного кулоновского потенциала.
Однако наибольшее уменьшение связано с влиянием принципа Паули, оно характеризуется множителем (йвТ)аг)'. При комнатных температурах у типичных металлов отношение ИаТ!аг порядка 10-', а следовательно, о 1О 'оа 10 "ем~. Средняя длина свободного пробега прп комнагной температуре для электрон-элсктоонных столкновений равна тогда по порядку величины 10-' см; действительно, -1 1, мж — 10 см.
ао Зто значение 1мсм по крайней мере в 10 раз больше, чем средняя длина свободного пробега для элсктрон-фононных взаимодействий при комнатной температуре; это значит, что электроны сталкиваются прсимушествеино с фононами. При температурах жидкого гелия вклад в сопротивление пропорционален Т' (это было установлено для индия и алюминия в работе Гар. ланда и Бауэрса [16]), а также температурная зависимость согласуется с выражением для сечения при рассеянии электронов на элекзронах [см.
(8.27)). Средняя длина свободного пробега электронов в индии при 2 'К оказалась порядка 30 см (иак и ожидали). Отсюда видно, что принцип Паули дает ответ иа одну из центральных проблем теории металлов: почему электроны проходят в металле такие большие расстояния, не сталкиваясь ь)ежду собой. >хВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ В соответствии с соображениями, высказанными при установлении соотношения (7.45), мы полагаем, что на частицы действует сила Е, в результате чего все точки сферы Ферми испытывают смещение в й-пространстве на бн; уравнение движения имеет вид: (8.
28) Член й(а>>е(1)бй опясывает ускорение свободной частицы, а эффект столкновений (аналог трения) описывается членом 6 бм/т, где т — время между столкновениями. Рассмотрим теперь движение системы в однородном магнитном поле В. Иа каждый электрон будет действовать сила Лорентпа (СГС) Е = — е (Е + — в ',>с', В), (СИ) Е = — е(Е+ и,'>с', В). (8.29) Поскольку т бо = й Я, то уравнение движения примет вид (СГС) т ( —, + — ) бв = — е (Е+ — бв,'к', В) . (8.30) Приращение скорости бо, фигурирующее в правой (силовой) части уравнения (8.30), представляет собой среднее значение в, взятое по поверхности Фсрми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
