Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Т)Т?)е), и ож)сывает харакир зип хтиеиия состоя. »11 ЗЛСКтРОиаии )И),О ГО! Ос! «ОЪ И)ОГ) ) С И "Ра Г) Р . Т ) и. 1)о г.и.оп, чгс) Ь Т:,%' с . )1!)п я човс, щсжи) тем пер;игры си(тех)с) от О по Т ср лиъ)) зпсрггя злскгрсжтв возгзс1аы зв счет тсряичел оги воют скле)п я .)ск)гыи в сы попас),1 1 в об»усы. '. а — — з ДОЛЯси,1 ПРИ«ОДВТ).СЯ ТЕПЛ<Н.МКОСть, Р»внаи З З!Сл, )ДС йс — ПО- стояниая !)Ольцмзиа. Если каждый нз л' атсмои металла вогл»<яз в электронный газ один взлеигный электрон и эти элск- ТРОН!и СВОООДПО ДинжУТСЯ В МСТЗ.1ЛС, ТО ВКЛЗД ЗЛИ(ТРОНОВ В ТЕП- лосмкость металла в целом должен составлять з/аМ<в, Однако экспсрпмш))ы покззыВ»лп, ч)0 элсктропный Вклад В т<.илоемкосгь при комнатной температуре составляет ооычно ие Голее ! "1<!О от указанной величины.
Это вопиющее расхождение теории и опыта приводило в отчаяшге исследоаат(лей того Времени, и»пример .г!Орснт!и. )«зк з)о)),ет сыт!,, расс)?и;1»ли Они, что злскт)юны, )'часта).!ошно В Гц)оцсссах электрической проводимости тз!и как будто Они свободно движутся, в то же Время фактически не имеют вклада и теплоемкосгьр Ответ на этот вопрос мог Гьпл дап лишь после открытия ирш)ципа Г)аули и функции расир(деления Ферми. Ферм)1 пол)чил позннльное Выражение и поэтот!? с г)одным огиоианисм Писал: «Мо?кио утверждать, что )еплосмкость при »исолк?п!ом пуле обращается в пуль, з при низких темисрзтура.
Нропорцнонзльиа абсол)отной температуре». )(огг<з мы Нагрев»с)1 образец от абсолютного нуля, ис кая(- лтяй влек!рои в н(1)1 приобретает энсрпио йиТ, кзк следовало бы согласно классической т<ории газок испытывают тепловое вс) )буждснис и, следовательно, зриооре)ают зисрпио лишь электроны, находящиеся В состояи)шх с энергиями в интер!)зле 7)вТ вблизи урипия Ферми. Ко)ячество приобретаемой этими электронами избыточной зпергпн само порядка )свТ, как и показано нз рис. 7.7.
Это сразу позволяег дать качественное решение проблемы теплосмкости газа электронов проводимости. Если йг — полное число электронов, то тепловое возбуждение ири повышении температуры от О до Т может испытывать лишь часть нх порядка отношения Т/Тж потому что приблизительно именно такая их доля обладает энергиями в энергетическом интервале йаТ в верхней части энергетического распределения, Каждый 262 видно, что электронная теплоемкость прямо пропорпиональнз температуре Т, в полном соответствии с результатах4и экспериментов (оосужденис будет дано в следующем разделс) .
Г! рц комнатной темпсратурс вели пша С,~ согласно (7.27) много мсньше значения Чзй4йв, давасмого классической теорией, причем составляет примерно 1)100 этого значения илп мсньше, сслп положить Тг 5 10' град (см. табл. 7.1: тппичнос значснис отношения сг!йа -=- Тг 5.104'К). Подучим теперь более точнос выражение для электронной теплоемкости, справсдлииое для области низких температур; низкими будем считать тсмпературы, удовлетворяющие условпк4 йа7' « ег. Путь расчета прост, но остроумен. Полное измеисниг ЙЕ (увеличение) энергии системы ЙГ электронов (см.
рнс. 7,7) при повьцпснии температуры от 0 до Т состоит пз двух частей: 4Е )зЕ = ~ ) (е) еЫ (е) г!е — ~ е с)(а) г!е . (7. 28) Здесь !'(а) — функция распределения Ферми — Днрака (7.7), Ы(а) — число состояний на единичный энергетический интервал. Ч44сло частиц Л' = ~ ) (е) Я (а) г)в о умножпм на аг; получим: вгйг == аг ~ ) (е) Ю (е) г)а.
ь Тег4срь продифферепцируем (7.28) и (7,29) по Т: См= —.— — ) аЖ(е) —, г(е, дли Г д! дТ з дТ о дЗг д! 0 = ев — = ) ег!6 (в) — 4)е дг- 3 дТ о (7. 29) (7. 30) (7.3 1) 263 г из МТ1Тг электронов обладает избыточной тепловой энергией порядка йвТ, а полная энергия ЛЕ теплового возбу4кден44я электронов составляет величину порядка ЙЕ ж —, ЬВТ. 4УТ в ° Электронну4о тсплоемкость См получим обычным путем, взяв производную по абсолютной температуре: дан т С4 = '.
Йг!г„—; (7.271 я и вычтем (7.3!) из (7.30); тогда для электронной теплоемкости получим: Се! = = ) (в — ве) — Ы (е) с(в. (7.32) а При низких температурах (!евТ/ее (0,0!), для которых и ведется рассмотрение, производная д!!ОТ велика только при энергиях е, близких к ее, и поэтому вместо функции Ы(е) можно взять се значение при е = ее п вывесп! ее из-под знака интеграла; получит!! Се. = й! (е„)) (в — ег) — 1(е. .Г д! дГ О (7.33) Изучение графиков на рпс. 7Л дает основания предполо;ь!пь !), по в приближении первого порядка по Т в выражении для функции распределения (7.?) химический потенциал можно заменить постоянной величиной — энергией Ферми ег, положив ег == И(0). Тогда д! е — еи ехр ((в — ве)/йвт) с!Г А Тх (ехР ((е — ее)/йвТ) + !)х вводя далее сокращенное обозначение ев)/!ев' можно переписать (7.33) в следующей форме: См=ГтЭ(е Д(Ы'Т'~ ~ ха х+,, г(х. -ее/авт (7.34) Поскольку ветичина ех в подинтегральном выражении при х = — е!!явТ пренебрежимо мала, то нижний предел в интеграле можно без опасений заменить на — оо.
Получаю!цийся в результате определенный интеграл принадлежит к числу табличных '): х !2 ха м г(х = — '. !е' + 1!е 3 (7.35) ') Проведенный вывод был предложен Лж. Твиделлом (Я. Тмые!!) в честном сообтаенин автору. ') Заметим, кстати, что подинтегральнан функнна авлветсн четной фуикпней х (см. также книгу автора (Ц), и, следовательно, для Сн получим: (7.36) Из (7.25) для свободного электронного газа имеем: зу зу Я(е,) = —,' вар 2ЬВТГ (7,37) где йаТг — = ег. Сливовое вырождение в (7.3?) уже учтено. Из (7.36) нетрудно, используя (7.37), получить еще одно выражение для Сы' а„т 1 ,, Т Сн, пМйв ' = л Лйв (7. 38) которое находится в полном согласии с полученным ранее каче- ственным результатом (?.27).
С = уГ+ АТ' где у и А — постоянные, характерные для данного материала; явный внд у ясен из формулы (7.36), а впд А дается полученной ранее формулой (6А?). Электронная часть теплосмкости (первый член) линейно зависит от температуры Т н поэтому доминирует прн достаточно низких температурах, Полученные экспериментально значения С удобно интерпретировать, строя график зависимости величингя С)Т от Т'. — = у+ АТ' С т (7,39) Удобство состоит в том, что при таком построении экспериментальные точки располагаюгся вдоль прямой, наклон которой (тангенс угла с осью абсппсс) как раз оказывается равным постоянной А, а точка пересечения продолжения этой прямой с осцо ординат дает непосредственно величину у.
Такая прямая для калия, построенная по данным эксперимента, показана на рис. 7.8. Схема установки, которая использовалась для этих измерений, приведена на рпс. 7.9. Экспериментальные данные по электронной теплоемкости металлов. При температурах много ниже температуры Дебая и тем более значительно ниже температуры Фсрми теплоемкость металлов (при постоянном объеме) может быть записана в виде суммы нз двух членов, один пз которых описывает вклад электронов проводимости, а второй — вклад решетки; ве Ъ" ;.'-2,Х 2777 ' 77 4М у',! х>' 277' Рнс. 7.8. Резельтаты измерений теплоеыкостн кзечя: график ззвнснеззстн С7Г о! Т'. Эксг!ерпнентальные точки на графике нанесены по ланпып алпабатнческого раеииннчпва!гая (2).
Экспериментальные значения у (отнесенные к одному мол!о) лля ряда металлов даны в табл. 7.2. Значения температур Дебая О, определенные по измеренным значениям постоянной А, были даны в табл. бА. ' риведенные значения постоянной у (на один моль), если и расходятся с истшшыми, то не более, чем на 2Ъ. Наблюдаемые значения у„ь, дают некоторое среднее, но оно часто оказывается не слишком близким к теоретическому знасиию у;,.„вычисленному по формуле (7.38) для свободных ткали!ЯА 72 3 !апенин постоянной у в выражении С,! =цТ для электронной теплсемкастн металлов Ве а!7 а ив ова О ! 63 о 739 г!в На МВ 136 13 ! 093 0.992 !76 13 ! 39 С 912 .оооо'. оначрния 7; гйн7гюль.зрро 7. —— 2. Ароочнна зннчониЯУВЦен~гноло.еоон !в ) — лг гт гзнгл. " Аррорунт.
у, Мое, ! Яе еы Т! Ч 07 ! 10 Се 2 к са 2ое ге 1МВ збп 123 19 56 5Ь 011 ав " ' 76 !0 со ы СЫВ 1М оме згзз 67! 137 5» ! 76 16Ы ! 26 иь ° 9 НЬ 5! ге! зб 1М! 1790 ! 26 ь нь гес 77 Мо 20 на зз Св вв зго ег ггзв зезг 1аз за Ь Зз 91 66 Яв 0 729 омг ! 16 нве„! т! 1М 137 оем 129 1-в 113 Не гн еа 1О та 69 не 23 оь 2 95 197 даиоыз азизы из свояки н. 07иа77икса и и.
поознаиа. гу Лжууж жкдп туй,.й Рис. 79. Устр( йс.во установится для изиереипя теплое мкосго в интервале тсчшрлур от 006'К до ! 'К. б!схаяпческпи тепловой птюч используется для охллжс!еппм образца и изрзпзгп; спой соли до 1 К и!те\~ поваре!шя жидкогз гелия. Тгмперат! ры ипже ! 'К до;тягаются п!теч алпаоатпчсского разчагиичиваипя (сп. гл, !5! соли Сп!хз(60з!т 6!!тО и определяются из измереии!! магиптпои восщишччивостп шм гоп соли Сеьтгйз!.'~Оз) и йзНтО, поскольку в дапиой осхтас~п тсписраттр иасприим швг|сть эзтш соли следует закону Кю! и. '.плевой 3 оцтзкг исжхт оорззцои и цз!зачагиптиг)п сотьк) ю)и!сстзлг!смя при иг1тгопгп сверхпр~ водшцего тепл гааги ктючз изготовлеппого зз свинцовой пр ~гмхтокп, кото! ая в шг!тиальиоп (ге сверх~ роводя|псч! состоянии явлмется хорошим провоцшц отг тепла, а в све! .проводящем состояпип — плохим; регул~ ровка пропзво;штся изме:шииси велпчипы гока в сверсшроводящем солепоиде, внутри которого почешем обг1азетг.
Термометр сопротивлеши, проградючюваииьш по ттагиитпот15 термометру, п злектропагревзтель соедииеиы пепосредствепио с осбразггоч. 1 — отражатель излучепия; 2 — сверхпроводящий тепловой ключ; 3— сверхпроводвщпе соленоиды; 4 — стенка вакуумпой камеры; 5 — подвес мехаиического теплового к.тюча! 5 — баллов, датчик давление пара; 7 — механический тепловой ключ; 8 — тепловые соединения (из меди); 9 — медпый экРан; уб — катушка, датчик для измерения восприимчивости.
электронов массы т (па один моль): пгЛ' й~.е Угеее Э ( Р) а 2Е Г (7.40) где А'е — число Авогадро, а а — валентность элемента. 'Обычно для описания степени отклонения электронной теплоемкостн реальной системы электронов проводимости в металле от модели газа свободных электронов вводят отношение термической эффективной лгассы электрона т,„к массе электрона пг, которое определяется отношением экспериментального значения у„ю к теоретическому значенио у„„(для свободных электронов); уою т„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
