Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 46
Текст из файла (страница 46)
и = и равен 2 Величина р называется химическим потенциалол '); прп абсолютном пуле химический потенциал, как легко видеть, равен энергии Ферми. При низких температурах величина р близка к значению е. (см. рис, 7.5). Г!риведснные соображения делают очевидным введенное гыше определение энергии Ферми как энергии наиболее высокого занятого электропамн состояния ирн абсолютном нуле. Область функции распределения, соответствующая оольшнм значениям энерптн («хвост» распределения), когда е — и » мвТ, отвечает большим значениям экспоненты в знаменателе (7.7); тогда единицей в знаменателе можно пренебречь и приближенно положить )(е) ехр[(р — в)гиаТ). Эта функция практически блпзка к классической функции распределения Больцмана.
СВОБОДНЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ В ТРЕХМЕРНОМ СЛУЧАЕ Уравнснпе Шредингера для сгободной часпщы в трехмерном случае имеет следующий внд: й« г д' д» д> х (7.8) Гели электроны заключены в ограниченном объеме, имеющем форму куба со стороной Ь, то решением уравнения (7.8) будет функция, представляющая собой аналог волновой функции (7.4) для одномерного случая, а именно: Уилл Х Улин Х Тяп» ф„(г) = Л и!п( — х)з(п( ул!з!и( — г), (7.9) где п>о пю п,— положительные целые числа.
Это стоячая волна. Удобно ввести также волновые функции, которые удовлетворяют периодическим грани>шым условиям, подобно тому как это сделано для фононов в гл. 6, Потребуем, чтооы волновые функции были периодическими функциями по х, у и г с периодом Е, т. с.
т) (х+ 7., у, г) = — ф (х, у, г), (7,10) н аналогичные условия для координат у и г. Волновые функции, удовлетворяющие уравнению Шредингера для свободной ') Прп наличии внешнего поля е изменяется. и !«тоже изменяется. Это новое значение Р обычно называют электрохимнческпч потеиииалом. Термна «химический потенпиал» часто сохраняют лля величины, являющейся разностью между электрохимпческнм потенциалом в потенциальной энергией часпщы, приобретаехн>й во внешнем поле. Такое словоупотребление обычно применяется в физике полупроводников Прн описании полупроволниковых приборов с электронно.лырочными переходами. В книге автора (!] понятия «химический потенциал» и «электрохимический посеипиал» ие различаются.
Э ч, Кнттель 257 чзстииы (7.8) и периодическим граничным условиям (7.10), про,шгазляют собой бегущие плоские волны: ф» (г) =- е'»'", (7.! 1) грп;слогпп, ~то компои«иты волнового вектора й принимают слшг юш~ й набор зьшчеиий: (7.12) п англо пчиые наборы для /, п /г,. Иначе говоря, люоая конно- в«ига некто!/а й пмсст вид 2пп,'Е., гд«п — полое положитетьиое илп отрпиат«льиос число. Комиои«иты /г являются кв |пговымп числамп рассматриваемой задачи наряду с квантовыми числами ш„задакпцпп ~ направлеии«спина. Нсгрудно убедиться в ~ем, по при зпач«нияз /г,, задаваемых набором (7.12), условии (7.10) удовлетворяются; дейст вительно, ехр (//г» (г+ й)) =- ехр (12пп (х+ Е!/Е) = = ехр (/2ппг/() ехр (/йнп) = ехр (/2ппхД ) = — ехр (///„х). (7,13) Подставляя (7.11) в (7.8), полу шм: (7.14) т.
е. собственные значения энергии е„состояний с волновым вектором й. Величина (длина) волнового вектора связана с длиной вол- ны /. известным соотношением й =- 2п//,. (7 1") Импульсу р в квантовой мехзппке отвечаег оператор р = = — — /И'! сели подействовать этим оператором на волновую г)шикиию (орбиталь), описывающую состояние (7.11), то по- лучим: р4„(г) = — /Ьт/ф (г) =ййф (г). (7.16) Отсюда следует, что плоская волна ф является собственной ф!.икцпей оператора импульса р, причем собственными значениями оператора импульса служат йй. Скорость частипы в состоянии с волиовыи вектором й определяется соотношением т/ = йй/т. (7.17) В основном состоянии системы из й/ свободных электронов занятые состояния можно описывать точками внутри сферы в й-иространстве. Энергия, соответствующая поверхности этой сферы. является энергией Ферми.
Волновые векторы, «упирающиеся» в поверхность этой сферы, имеют длины, равные /гг, а 258 Рнс. 7.6. В системе на Ег свободных электронов в основном состояппн нанятые индивидуальные электронные состояния (точка в Й-пространстве) аанпмают сферическую область с раднусом нр Этот радиус определяется соотт»пеанея ер —— й Е )вчв где е — энергия электрона с полковым и вектором длпноа Ер, оканчнваюгп|в1ся на поверхности сферы. сама поверхность называется поверхностью Ферми (в данном случае она является сферой, см.
рис. 7.6). Следовательно, для энергии Ферми ег имеем: й' ер — — — /гр 2п~ 4:чь~ргз 2 = —, )г'р. = Л' 12 па Е)" ЗВ" (7. 19) где множитель 2 в левой части учитывает два допустнмых зна- чения спинового квантового числа тча для каждого разрешен- ного значешгя й. Полное число состояний мы полоясилн равным числу электронов Л'.
Итак, из (7.19) имеем: ( ЗлтЛР ) '/3 (7.20) Отметим, что радиус сферы Ферми /га зависит лишь от концен- трации частиц Лг/)г и не зависит от массы ш. Подставляя (7.20) в (7.18), получим энергию Ферми ер.' (7. 21) Это соотношение устанавливает зависимость энергии Ферми от концентрации электронов Лгг)г и от их массы пг. Для скорости электронов на поверхности Ферми пг из (7.17) получим: (7.22) Из условий для й, Аа, й, (?,12) вытекает, что каясдому разрешенному волновому вектору, т. е. каждои тройке квантовых чисел )гю )га, йю отвечает элемент объема в Й-пространстве величиной (2п/г.)а. Поэтому в сфере объемом бптггр/3 число точек, описывающих разрешенные состояния, равно числу я гаек ооъемом (2пге)а, п поэтому число разрешенных состояний равно ТАБЛИЦА Г! Параметры поверхности Ферми ряда металлов, вычисленные для модели свободных электронов )Все значения приведены лля кочнзтноО температуры за искгноченнем )>!а, К, ))Ь, Сз 1прн 5 'К) н Е! (прп 78'К)).
)7оясиеиие: Концснтранпя электронов >7,)!> определяется произведением велсптности металла нз число атомов в 1 см! !и> табл 1.5). Еслп выра>кать Б>: з см-', тя — в см!сек, 1> — в си', то получи>г слелу>оит>гс соогчоме:ия: А„= 03л' у,'! ) '" =!29,609 Л',>К) ', с„= 5>ия/ п = 1,1>7рк! сц = '7> гни!:, илп, сслд ег зыРсзнть в эВ, го ен )эВ) = и,'>84 10 >о Я Т, !'К) =- 1,16 10'еп (эВ). э > -" э 'э э Б ы В э 18п 6 15,30 11,49 11,63 10,35 8,60 1,75 1 65 1,5) А) Са 1п 13, !9 12,01 9,98 2,07 2,19 2,41 2,02 1тц 1,74 9,37 10,03 10,87 11,64 1,82 1,88 13,20 14,48 1,57 1,62 2,30 2,23 РЬ 8)) ') БеаРааиаРныа наРаиатР та=ге>ац, гда ац — боРоасю>й РаднУс )е,ззз 1з си), а г — радиус сферы, садержамай олин электРон.
а 260 1.! Па К РЬ Са Си Аа Аи Ве МО Са Зг Ва Еп Сб 4,7ОХ10ы 2,65 ),1Э 1,15 г )>1 8,!5 5 и:> 5,93 24,2 8,60 4.63 356 3,2,') 13,10 9,28 3,23 3 93 4,86 5,2) 5,63 2,67 З,п2 3,:)! 1. 88 ч;„5> 3 и7 3 69 2.31 2,59 1 !!у!г>а 0,92 0,7о 6,7') 0.61 1,36 )':и) 1.20 1,37 1.1! 1,г>2 0,98 1,57 1, 10 1 29Х1Оа 1,07 0.56 0,81 0,75 1л5>7 1,39 1,39 2,23 1,58 1,28 1,18 1,13 1,82 1,62 4,72 3,23 2,1 2 1.85 1 эй 7,Г>0 5,!8 5,51 14,14 ?,13 4,68 3,9о 3,65 9,39 7,46 о э аа 0 э„ >" > 5,48Х !!)' 3,75 2,46 2,15 1,83 8.12 6,36 6,39 10,41 6,27 5,43 4'8 4,24 10,93 8,66 Значения 1гг, ог и вг, вычисленные для ряда металлов, приведены в табл.
7.1. Там же приведены и значения температуры Ферми Тг, определяемой отношением вгг)гз (велнчина Т, не имеет, разумеется, никако~о отношения к температуре электронного газа!). Выведем теперь выражение для числа состояний на единичный энергетический интервал Ы(е), часто называемого плотностью состояний. Используем (7.21) для нахождения полного числа состояний с энергией мспьшей или равной ег', (7. 23) так что для плотности состояний при знерюги Ферми полу шм: (7. 24) Зтот результат можно получить из (?.23) в более простой форме: з юм 3 ие„ 1и У = — (п вг + сопз(; 2 М 2 а„ (7.25) откуда а) (е.) = — — ' ил зу наг 2гг (?.25) С точностью до коэффициента порядка единицы число состояний на единичный энергетический ннтсрвал вблизи энергии Ферми равно отношению числа электронов проводимости к энергии Ферми.
Зти результаты верны также и для свободных электронов, для которых з пропорционально )гз. Мы можем исходить из об. щего выражения для е()г) и действовать в полной аналогии с расчетом, примененным при выводе (б.34), т. е. записать Ы(з) в виде 1Е)( ) е 2Г Г ЛЗ, (2пр 21 1 игарка а ~ (7.26) где множитсль 2 учитывает две возможные ориентации спина, )г — объем образца, г(5, — плошадь элементарной площадки на поверхности постоянной энерпш в.
ТЕПЛОЕМКОСТЬ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА Проблема теплоемкости электронов проводимости на раннем этапе развития электронной теарии металлов оказалась для этой теории непреодолимо трудной. Классическая статистическая механика предсказывала, что на свободную точечную частицу к)<г) рис. 77.
Пчотпость состояния ыл<е) как фхжишя з))оргии е для газа свободин)х :аектропов в трехмерном сл) ча)е. Заии)?иховаппзп область ограиисшвает сосгокиия, з)пятые )ри абсожои)ом и)лс <С З))српы)ж От О дО Ее). П) И«И)рная «Говея со)гаегсгв)сг области ы)ери)и )и))р)и)оа К*Т, гле 1)лог!)остс сс?стоп)ияс раева )<е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
