Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Найти точное трзпспендепгпое уравнение для хпшшссього потенциала р(Т) газа Ферми в да! мерном случае. Указаппа. 1(лотпосм состояний сноботшога злситронпаго газа в двумерном случае Mе зависит от энергии: ВУ(е) = ш)пйр па единицу поверхпосы! (двумерного) образ~!а. 7.б. Граничные условия н волновые фуннцни. Пусть в кристалле авеле,ш система координат с пеортогопальнымп етпиичпымп векторатш а, Ь, с.
Показать, что граничные )слонпя на поверхностях паралл: лсп;шеда с ребра!и Л',в, Л',Ь, Л'зс да!от для решений во:шового уравнения снобом!ого электрона фупкш:и вида ф - схр ~ ( —,, Л + — ",' В+ — ", С) г~, гд. 1, ш, л — поло чительные !гл~! отрштательпые ~ елые числа, Ль Л'з, ЛЧ— также цсль.е числа, А, В, С-- векторы обратной решепа!. 7.6. Ферми-газы в астрофизике, а) Л(асса Солнца !(ш = 2 !Ом г. Оцепить число электронов в вещесгпе Солнца.
В звездах типа белых карликов вследсп ие иопнзацни электроны свободны, а поскольку плотность таких ввез! очень велика, то же количество электронов разместилось бы в обьече и~эра радиусом 2 10" см. Определить энерги о Ферми электронов в этом случае. б) В релятивистском пределе в » шсз энергия электрона а связана с волновым числом Ь соотношением в яв пс = йсй. Показать, что в этом случае энергию Ферми электрона а можно грубо приближенно оценить из соотношения ег яв йс(Л)М)ыз. и) Пусть в веществе пульсара радиусом 1О км содержится такое же число электронов, как получено выше в (а); показать, что в этом случае энергия Ферми будет порядка 1Оз эВ.
Эта оцешса позволяет объяснить, почему пульсары сижают состоящими в основном из нейтронов, а не из прото. аов и электронов. действительно, энергия, выделяющаяся при распаде нейтрона п-ер+е, составляет лишь 0,8 10' эВ и недостаточно велика для образования такого количества электронов, которое сфорьшровало бы фермпевскае электронное «морга. Распад нсатропоа происнодпт лщиь до тех пор, пока кониснтраиия электроион не достигнет велич.шы, отвечающей энергии Ферми, равной О,Я 1О' эВ, прп которой конпентраппп иейгранон, протонов и электронов будут аазодитгся в разновес~пи 7.7.
Жидкий Не'. Атомы Не' имеют спин, равный 1)2, и следовательно валяются фермнонамп. Плотность жидкого гелия пз Не' вблизи аосолютпого нуля равна 0,001 г/см'. Вычислит энергшо Ферми ег и температуру Ферми Гг. (Обзор свойств жидкого Нез имеется, иютрпмср, и книге з алиса )14),) Г л а в а 8. СВОБОДНЪ|Й ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ ФЕРМИ. П Диэлектрическая реакггпя электронного гпза.............. 282 Распростр пенно элсктромэгнгпнык волн в плазме (поперечные оптюесэне эо.
лнй г2ачк пролрачаостн осело псыч мсталлон в улетрачнюлетоаагг облвстп спект. ра гзьег Рэспгострамасге эт гаро мгнкгпык волн в п,ызтге (пропп.гение оптпческме чгольн (2Э !. Плазмоны 288 электростатическое экраннрозавне !220!. Электрон-электронные столиноэекня 294 Движение в магнитном поле 297 ЦНКЛОтрОэпэа гмоэета <227! СГЭПГЧССКОЕ МатнстОСОПРОтНВЛС.ПЫ !2ЭМ. ЭЕ$ЕКт Хол.та ррэо!. Залами 303 777 Литература . Прп,оаеснпе, отпогящсегч к дпнноа глана: |л. Зависимость лпэлеитрпческой функции от волнового вситора лая ферми-газа сноболнык электроггоп 727 В этой главе мы завершим рассмотрение наиболее всаэкных свойств свободного электронного газа. Наша цель состоит в том, .тобы с максимальной физической ясностью осветить все аспекты повеления свободного электронного газа и сделать зто до того, как мы перейдем (в гл.
9) к рассмотрению тех модификаций нарисованной картины, которые вносятся эффектамп взаимодействия электронов проводимости с кристаллической решеткой. Мы начнем с рассмотрения реакции свободного электронного газа на воздействие внешнего электрического поля. Статическая реакция электронного газа сводится к электростатическому зкранированню кулоповского взаимодействия. Динамическая реакция электронного газа проявляется в типичном для металлов отражешш света и в возбуждении плазмонов — форме коллективного движения электронного газа. Уравггение Максвелла, учитываюзцее диэлектрическую реакцию среды, записывают обычно в виде (СГС) го1 и= — оЕ+ — —; 4м 1 д|Э (8.1 а) (СН) го! Н=аЕ+ 7, .
28! (СИ) го1Н = — ', (е,Е+ Р). ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ РЕАКЦИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В отсутствие столкновений уравнение движения свободного электрона в электрическом поле имеет вид: г(гл т —, = — еЕ. г((с (8.2) Если х и Е зависят от времени по периодическому закону с-':"', то вместо (8.2) получим: — от' нгх = — — еЕ, х = =,. т гпм' ' (8.3) Днпольный момент р электрона егд гнеР ' (8.4а) а для поляризация (определяемой как дппольный момент единицы объема) имеем: не' Р= — мех= — —;Е„ (8.4б) л! ге' где н — концентрация электронов. Введем диэлектрическую функцию се соотношением (СГС) е (го) = =—.— '.== 1 0 (ем) Е (нч (СИ) е (го) = при частоте го, определив + 4п —,—; Р (ге( П (ге( ' Р (ге( '+ ..'(- (8.
5) где обозначения подчеркивают тот факт, что величины Е, Р, (З относятся к одной и той же частоте ы. Воспользуемся выраже- г) Детальное рассмотрение определений диэлектрических величин дается в гл. (3. яа2 ( Здесь о — электропроводность, Н вЂ” магнитное поле, Š— алек трическое поле,.0 — электрическая индукция. Величина 0 определяется соотношением: 0 = Е + 4лР (в СГС) или О = — г„Е + Р (в СИ). Поляризация Р есть д~польный электрический момент единицы объема '). Члены оЕ и дР(дГ обусловлены смещением зарядов; первый — свободных зарядов, второй — связанных.
Введение этого различия не обязательно, и мы с тем же успехом можем дать определение величины Р, включив в понятие поляризации смегценпе и связанных, н свободных зарядов. Тогда уравнение Максвелла можно будет переписать в виде (СГС) го1 Н = — —, (Е + 4лР); (8.1о) пнями (8.4б) и (8.5) для нахождения диэлектрической функции свободного электронного газа; в результате получим: (СГС) (ы) = 1 — —;,, (8.6) (СИ) е(ы) = — !— веслами' П.сиз.!сенную шсгогр ') определим выражением 4лп *' (СГС) соз ==- — ' —; Р ы (8.7) от- =— сы з Р еепс (СИ) Тогда дпэлсктрсшеск) ю функнспо мо;кпо записать в виде 2 е (со) 1 (8.8) Зссвисихсость этой функции от частоты со изображена на рпс. 8,1. распространение электромагнигных волн в плазме (поперечные оптические моды). Прн всех частотах, меньших соь величина е(со) отрицательна.
Днспсрснонный закон отз е (ы) = е'Ка (8 ей) для электромагнитных волн не дает никаких волновых решений прп отрицательной диэлектрической проницаемости, Решения имеют впд схр( — ~К)х) в ооластн частот 0(со емы, Волны, ппдаюшне на таку|о среду (с частотами в указанном интервале). полюстькз огражасотся.
Электронный газ действует как частотный фильтр. Электронный газ становится прозрачным лишь для ьолн с частотами оз ) со„, поскольку в этой чассотнои областсс лпэлскт(зпчсская функция положительна. Гели для диэлектрической фсшшнп пы воспользуемся выражением (8.8), то лля лнспсрспоннсгго закона полусихс: оса = от'-' + езй'с; закон в таком виде справсчьтссв для поперечных электромагнит- ных волн в плазме (см.
рис. 8.2а), 283 ') Плазма — среда, в которой коиоеитрагши полоясител пых и отрипательных зарядов одпиаковы, причем по крайней мере одии из типов зарядов обладает подвижностью. В твердых телах отрппгнелсиые заряды (злектропоа проводиыоств) компенсируются положшельиымп зарядами иоииых остовов. 1 1 1 Я/ 1 ! 0дпаепго пап апоепгпаяеяая 7 а7асс салсктрпческоа срупк1сю горпзонгаълюо псе свАо,1. Элекс росросгроняются гпсшс* ы) отрнна гелоча, го ы полссостсю огра- среды.
Значения плазменной частоты м, н длин воли ла == 2посссго для представляющих фнзичсский интерес концентраций электронов в твердых телах: а Стасов ээсвтаоэвэ ассаг соа соа со 5,7 1О'э ЗЗ 10 5,7 ° 10" 33 10 5,7 10" 0,33 5,7 1О" 33 юе, рад/сек Лл, см Электромапитное излучение будет распространяться в среде только в том случае, если в свооодном проссранстве длины воли этого излучения будут меньше 1сп. В иротнвиом случае будет иметь место отраженно. 284 Прозрачность щелочных металлов в ультрафиолетовой ооласти спектра.
Из приведенных выше соображений и результатов, касающихся диэлектрической функции, следует, что простые металлы должны отражать свет в видимой области н быть прозрачны в ультрафиолетовой области спектра, Экспериментально г,н д 2Сйст ' Зб00 ! а2Ы ! 880!У гт дйггст ~т ЯА это было установлено Ьудоы !), объяснение дал Зинер 151 Сравнение вычисленных н наблюденных значений граничных длин волн дано в табл. 8.1.
Отражение света от металлов полностью аналогично отраже. нию радиоволн от ионосферьг, поскольку' наличие свободных электронов в ионосфере приводит к тому, что диэлектрическая проипцаезюсть ионосферной плазмы становится отрицательной для низки.; частот. Для калия экспериментальная зависимость отражательной способности от длины волны приведена на рис.
8.2сь ') См. работы Буда 1!1, Вуда л Лккепса 12], Айвса и Бриггса 13, За). Обзор опыгяеских свойств металдов даи в статье Гивенса 141. 285 1'ис. 8.2а. Дпспсрсиоя 1ый закон для поперечных электромагнитных волн сг плазме. Групповая скорость оа = = ссег!лк численно рав ы наклону диспсрспониой кривой. Хотя дизлектрическая функиил принимает значения ме.кду пулем и единнией, групповая скорость меиыпе скорости света в вакууме. Рис. 8.20. Козффигыеит отражеяия для калия.
! !ин е 3000 А бйлып я часть излучения, пада~ошего па пижр.о пленку металлического калия, прото!сит сквозь пле исус Сне глымп кр1:ккамп поназалы данные Вуда, черними — данные Айвсв и Бриггса И. ,Ю зе ф ь, йтт м 8~7 27 тхвлицх з! Прозрачность я!елочных металлов в ультрафиолетовой области спектра (предельные значения длины волны, Л) Пленки тех же металлов прозрачны прн Л ( Лр.
Метзлл сз 7.„(вычпсл.) е) 7. (зхспер.) 2090 2370 2100 3!50 3220 3620 1550 ") Прз во осле»вз Х несси зле»тр зз грз пп1злзсь рлв»ев овесе ы сзопол»ого 3 ~л т)юзл. Ряспространени. электромагнитных воли в плазме (продольные оптические моды). Мы уже виде:ш в гл, 5, что )Пли диэлекгрической функции определяют частоты продольпь)х оптических мод. Иначе говоря, условие в(о)ь) = О (8.1!) определяет частоту продольных волн со) (это услосие рассмотрено также и Приложении Р). Для случая равенства нулю диэлектрической функции электронного газа мы имеем: 2 е (ь)с) = 1 — —.; = О, (8. 12) о)ь откуда (8.1 8) ы! =-- гор. Итак, имеем свободное продольное колебание электронного газа (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
