Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 54
Текст из файла (страница 54)
А. Лорептц высказался по этому поводу слсдуюшим образом: «Казалось бы, это свидетельствует о том, что следует представить себе два типа свободных электронов, движение положительных преобладает в одних телах, отрицательных— в других». Однако невозможно допустить, что в одних металлах свободные носители — позитроны, а в других — электроны. Б следуюшей главе мы узнаем, что теория энергетических зон позволяет описать движение электронов в некоторых обстоятельствах так, как если бы они были наделены положительным зарядом.
Орбиты таких электронов называют дырочными орбитамп. Мы сможем также объяснить большие значения коэффициента Холла в полуметаллах (таких как Аз, 8Ь, Б() и в полупроводниках. ЗАДАЧ И Вп. Приближение Томаса — Ферми. В приближении Томаса — Ферми концентрация злектронав л(г) связана с злектростатическям потепцвалои гр(г) соотношением 3 е~р (и) и (и) па+ — ле 2 е„ гле ае — концентрация злектронов в области, где у =- О, ви — знергня Ферми. зпз а) 1Лспользуя этот результат, показать, что при х ) 0 электростатический потенциал имеет вид 2пп -з х ф(х) = — в й где а — внешняя плотность заряда на плоскости к = О. б) Найти выражение для й, через невозмущепную скорость Ферми и невозхп щенную плазменную частоту ы,.
н) Оценить величгшу й, для натрия. 8.2. Формула Хагена — Рубенса для коэффициента отражения инфракрасного излучения от поверхности металла, Комплексный показатель преломления и+ /х металла прп ыт (( 1 можно записать в виде (СГС) е (ш)=(п+ ги)т =-1+ 4л(аГы, где пс — проводимость в постоянном электрическом поле. а) Используя для коэффициента отражения Й прн нормальном падении выражение (и — 1)т + из (сгс) Р=,и показать, что (сгс) )(=1 — ( — '") '.
Это п есть формула Хагена — Рубенса. Предг|оложигь, что ы х( аь Замечание; Рекомендуется ознакомиться с экспсрвмецтамн на А1, опп. сапными в работе Беннета и др. (20). 8.8. Показатель преломления для рентгеновских лучей. Оценить диэлск. трическую проницаемость и показатель преломления метзллического натрия для рсятгеновскпх лучей с энергией 1О кэВ. Энсргшо ионизацви электроноз счюать пренебрежимо малой по сравнению с энергией рентгеновских фотонов, т. е. считать, что в этих экспериментах все (а не только валентные) электроны г(а можно рассматрпвзть как свободныс.
Предпозожить, что время релаксации т бесконечно. 8.4. Магнетосопротнвленне, Поперечное магнетосопротивление твердого тела при стандартной геометрии опыта определяется отношением Е (1'* (см. рис, 8.14), Показать, что уравнения (8.38) приводят к соотношению 1 = аэЕ„поскольку в стандартной геометрии )х=О, Получается, что сопротивление не зависит от магнитного поли, в то время как в экспериментах в общем сл)чае такая зависимость обнаруживается, причем сопротивление обычио рас~ет при увеличении напряженности магнитного поля. Следовательно, в наглей модели нмеетгя дефект, связанный частично с нереальным предположением а том, что все электроны имеют одно и то же время релаксации т, нс зависящее от скоросюг электронов. 8.8*. Поверхностные плазмоны.
Рассмотрим плазму в бесконечном полу- пространстве в области положительных значений з (т.е. над плоскостью я = 0). Решение уравнения Лапласа рзф = 0 в плазме имеет вид гр. (х, з) = А сов йх в 304 откуда для коыпонент электрического поля имеем; Е»; = йА саз /гх е Е.! = йА э!п йх ° е а) Показам, что в вакууме потенпиал ф (х, ») =-Асов йт ° еа» для г «О удовлетворяет граничному условию непрарывносмг тангенппвльной составляющей Е на границе; для того, чтобы это показать, надо найти Е,».
б) За. ети и ч В, = а(ы)Еь В» = Ео. Показать, ыо граничное Условие непрсрынносгп нормальной составлюощей вектора В на грающе требует, что. бы био а(ы) = — 1, откуда согласно (88) пол)чпм: ы»= ы /2, (8.43) где ы» — частота понерхностных плазменных колебаний. (Подробнее с этим гопросом можно позпакозггжься по работам Ричн [21] и Стерна и Феррела [22) ! эксперименты по плазлгенному резонансу на повсрхносмг малых сфеРн'ескпх частиц серебра и золота обсуждаются в работе Крейбига и Зэхарназа [23).) 8.6*. Плазмоны на границе раздела.
Рассмотрпы плоскую границу при а = 0 между металлом / прн» ) 0 п металлом 2 при» ( О. Для массивного образца металла / плазменная частота равна ыю, для металла 2 ровна юю. Лпэлектрнческую проницаемость обоих металлов считаем равной диэлектрической проницаемости заключенного в нпх свободного электрон. ного газа. Показать, что поверхностные плазионы на границе » = 0 нмыот частоту оз ='Г /» (ыл~ + рзтз (8А4) Е.
= Рэ!. — ВВВ/' Ви = ВВВ/» + Ра/н (8А5) где статическое удельное электросопротивление рэ = 1/о, = гп/лезт, а коэф- фициент Холла Вн = — 1/лес (в системе единиц СГС), В выражениях (8.45) мы можем приближенно считать В, = В. 306 Такие плазмопы нзблюдалпсь на границе А!/Мкб! см. работу Кунца [24). 8.7*. Спиральные волны. В чистых металлах нри низких температурах обнаруживается необычное распространение электромагнитных волн. Этп так называемые спиральные волны впервые наблюдались Бауэрсом (К.
Воюегэ) и его сотрудниками; они же предложили использовать их для измерения коэффициентов Холла. Пусть постоянное внешнее магнитное поле В, приложено в направлении оси г. Г!рв частотах ю «1/т компоненты дрейфовой скорости определяются выражениями (8.36). а) Показать, что выражения (8.36) в этом случае можно записать в виде б) Пренебрегая токами смещения, показать, что нз уравнениб Максвелла (для немагннтной среды) 4гс дВ (СГС) го1 В = — г', го1 Е с с сгг (8.46) можно, имея в виду, что го1 го1 Е = — РЕ, получить уравнепке (СГС) (гзЕ= — ', —. 4и г)г* сз (8. 17) Это пе что иное, как дисперснонный запои для спиральных вола, из которого можно (зная и) определягь коэффициент Холла, в) Предположим, что Е и ( периодически зависят от а п Г, т.е.
имеют вкд ехр ((гга — ыГ), и в приближении сильного поля будем считать РьВ. » рм Пренебрегая рь показать, что уравнения (8Л7) имеют решения, если !17„(Вс ', В. (СГС) ы = Ггз 4п 4пос Г л а в а 9. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ЗОНЫ.! 310 331 333 773 Настояшая глава и следующая гл. 10 не относятся к числу наиболее легких в данной книге)), но, несомненно, они самь)с вагкные. Здесь мы найдем все важнейшие новые понятия, относящиеся к квантовой теории твердых тел, а именно зоны разрешенных энергий, запрещепяые зоны, поверхности Ферми, эф.
фективные массы и дырки, Изложение базируется на основных экспериментах, используемых для нахождения формы поверхности Ферми, которая определяется как поверхность постоянной энергии ер в й-пространстве. Модель свободных электронов в металле, изложенная в предыдущих главах, дает нам возможность хорошо объяснить ряд электронных свойств металлов, однако есть и другие электронные свойства твердых тел, для объяснения которых модель свободных электронов оказывается бесполезной. Эта модель пе может нам помочь понять, почему одни химические элементы и кристаллическом состоянии оказываются хорошими проводниками, другие — изоляторами илн полупроводниками, электрические свойства которых резко зависят от температуры.
Различие Ч Обстоятельное иа полупопуляовом уровне изложение теории эиерге. тических зои см. в книге Макинтоша 111 и в статье Займаиа ~3~. 807 Молель почтя свободных электровоз Прснсхож ьеиие эсергетическса шеаи (Зн). Волновое уравнение для электрола в периодическом потенциальном поле 313 Чзувгнш изот* )320). Ииитзьс элп трона е «рнсталле Гзтн. Схезы ирнаехениык зон )Е)2). г)ериолггческаи зоанаи сто ьс Г)24), Прпближевпое решение вблизи гравипы зоны Бриллгоэпа Грааи га эоны Бриз,звана )326), Ибзизи грани зы зоны Брииагоэиз )32)). Ч)голо уровней в зоне 370 металлы и лгжлектракн 1333).
Резюме . Задачг) Литература . Приложение, относлщгегя к Ванной главе: т. Приближение сильной связи для электронов в металлах....., 733 4изаекагаак Пеюааа Г>алукааагл йааа- ,Яюупрадааннк прабаокак Рпс. 9,1. Схема ззполнснпя элекгропзмп рззрешснпых энергетических зон в диэлектрике (взоляторе), металле, получетялле н дяух гинях полупроводников.
Прямо>топяаки вдо.ть вертикали пзобрзжают облястп рязрешенпых знячсппй энергия. Штриховкой показаны обчястп, ззполпеяпые элсктропями. в значениях электросопротивлеппя у нормальных металлов, с одной стороны, и у диэлектриков, с другой, — просто поразителыго: пр>> низких темпсратурах сопротиьление чистого металла может оыть порядка 10 "Ом см, а сопротивление хорошсго изолятора может достигать огромной величины порядка 10" Ом см. Мак-Миллан (Е.
М. МсМ))!ап) отметил, что наблюдаемый интервал значений сопротивления (10зз), по-видимому, является самым широким, поскольку ни одна физическая вели- чипа, характеризующая свойства твердых тсл, такого разброса значений не имеет. „')юбое твердое тело содержит электроны; главным вопросом, относящимся к электрической проводимости, является вопрос о том, как электроны реагируют на приложение внешнего электрического поля. Мы узнаем, что электроны в кристалле распределены по энергетическим полосам (зонам) (см. Рис.
9.!), Разделенным областями значений энергии, в которых ни одно подобное волне электронное энергетическое состояние (орбиталь) нс является разрешенным. Такие области «запрещенных» энергий называют энергетическими щелялш или запрещенными зона>пи, и, как будет показано, они возникают в результате взаимодействия волн электронов проводимости с ионными остовамн кристалла. Кристалл ведет ссбя как диэлектрик (изолятор), сели число электронов проводимости в нем таково, что разрешенные энергетические зоны либо целиком заполнены, либо пусты, поскольку в этом случае электроны не могут перемешатьсн под действием электрического поля. Кристалл ведет себя кзк металл, если одна или две зоны заполнены частично, скажел>, от 10 до 90о),.
Кристалл является полупроводником или полуметаллом '), если одна или две зоны лишь в малой сте- ~) В полрмегаллпл (твних, квк висмут) при абсолютном нуле одна зона пони иелииом зэполненэ, я другая почти пустя, тогда кяк чистый полупроводник при ябсолютном нуле становится изолятором (не проводи~ тока). См. гл. 11.
рагарая раарешенна зена Заареагенкоя за гуерг ря Резрегреннря зряе Рпс. 9.2, о) График зависимости энергии в от волнового вектора й для сво. бодпых электронов, б) График зависимости энергии от волнового вектора элекгрона в моноатомной линейной леночке (одномерной решепсе) с расстслгшем между атомамп (постоянной решетки), равным п. Показана энергетическая щель (запрещаниая зона) Еа, обусловленная первым брэгговсюш отрангенпем прн /г = нел/и. Другие энергетические щепа образуютсл прп я = ~лп/о (здесь л — пелые числа, л ) !). Лналогичная схема длл рентге. новских лучей дана в Прилозксвип Л (рпс. Л.!).
пени запяты электронами или, наоборот, заполнены почти целиком. с1тобы улснить различие между диэлектриками (изоляторами) и проводниками, необходимо дополнить модель свободных электронов учетом того обстоятельства, что твердые тела обычно обладают периодической атомной структурой (кристаллической решеткой). Наиболее важное обусловлеггнос этим фактом новое свойство твердого тела есть возможность возникновения энергетической шели. Мы встретимся также и с другими весьма замечательными свойствами электронов в кристаллах.
При воздействии на электроны внешних электрического или магнитного полей электроны ведут себя так, как если бы они обладали некоторой эффективной массой т, которая может оказаться как больше, так и меньше массы свободного электрона и даже быть отрицательной. Согласно модели свободных электронов разрешенные значения энергии распределены непрерывно от нуля до бесконечности; энергетический спектр (см. гл. 7) описывается формулой 2а ( «+ а+ «)' (9.1) Если наложить периодические граничные условия, считая блок периодичности кубом со стороной 7., то, как и в случае (7.12), имеем для компонент волнового вектора й следуюшнй набор значений: /т„, йя, /т«=0; 2п 4л, Волновые функции свободных электронов имеют вид плоских волн: (т.) егл г (9.3) 309 Это бегущие волны, несущие импульс р = йй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
