Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Для чисто кулоновского потенциала коэффициенты (/е уменьшаются (см. книгу автора (31) по закону 1/6э, 313. Мы исходим из того, что потенциальная энергия (/(х) — вещественная функция, а это значит, что (/(х) должна совпадать с комплексно сопряженной функцией //*(х). Следовательно, и ряды Фурье для б(х) и !/*(х) также должны совпадать: (/ е~сх ~ [/ е-1 (9.8) с ' с Здесь мы, естественно, полагаем (екр /бх) * = ехр( — /бх). Равенство (9.8) имеет место при условии равенства соответствующих коэффициентов: (/ — а ~~ а.
(9.9) Это есть треоованпе, которому должно удовлетворять разложение в ряд Фурье функции (/(х). Начало координат мы можем выбрать так, чтобы функция 7/(х) была четной функцией х и, следовательно, чтобы считап (/(х) = (/( — х). Это приводит к дополнительному ограниченшо на коэффициенты !/с. Тогда (9.7) можно псреписать в виде (/ ( — х) = ~. (/ е-'с'. (9.! О) Сопоставляя (9.10) и (9.7), мы увидим, что ряды для б(х) совпадают при условии (/а = (/- с. (9.11) Условие (9.11), дополненное требованием вещественности '(9.9), приводит к равенству (/а=(/с.
Итак, мы установили, что сами коэффициенты (/с должны быть вещественными, если 1/(х) — вещественная и при этом четная функция х. Исходя из (9.11), получаем: б(х) = Х (/ (е;с: 1- е;ск) 2 ~ (/асов бх. (9.12) с>о а>о Для удобства мы положим 1/с = О. Волновое уравнение для электронов в кристалле имеет обычный вид Яф=еф, где Ж вЂ” гамильтониан, е — собственные значения энергии. Рещения ф этого уравнения называют собственными функциями или ороиталями. Запишем это уравнение в развернутой форме с учетом (9.7): ( '„Р'.~ о( бр ( ) = (, ~ р* + ~ У ' *) Р( ) = 1( ), э.
сз) где мы воспользовались для потенциальной энергии ее представлением в виде ряда Фурье (9.7), Оператор импульса е2 имеет вид — !с —, так что р'= — Ь' —, Уравнение (9.13) сх ' их' ' 314 записано в одноэлектронном приближении, в котором волновая функция (орбиталь) ф(х) описывает движение одного (любого) электрона в потенциальном поле ионных остовов и усредненном потенциальном поле всех остальных электронов. Волновук> функцию тр(х) можно представить рядом Фурье' ) в виде суммы по всем значениям волнового вектора, разрешенным граничными условиями, а именно в виде т1. (Х) Х С (К) а к.т (9.14) гте К вЂ” всщсственпая гелпчппа; К прпнпхзает значения 2пгтЮ; прп этих значениях К удовлетворяются граничные условия для цепочки в инде кольна длиной Е (здесь гг — произвольное пелое число, положительное или отрицательное).
Мы здесь не предполагаем, что з((х) — периодическая функция трансляций на постоянную решетки а. Однако это так, и позднее это выяснится (сзп ниже формзлу (9.34)]. Докажем теперь очень важный результат теории, согласно которому не все волновые векторы пз набора 2пп!Е входят в разложение Фурье (9.!4) для произвольного частного решения зр задачи о периодическом потенциале. Пусть некоторый волновой вектор Ке относится к числу разрешенных, т. е. известно, что Ко содержится в разложении частного решенин ф; тогда можно показать, что другие волновые векторы, содержащиеся в этом разложении. имеют вид Ко+ 6, где 6 — произвольный вектор обратной решетки.
Мы можем записать волновую функппю з)з, содержагцую в разложении Фурье компоненту Ко, в виде ф(Ко) или равным образом в виде зр(Ко+ 6), поскольку, если Ко входит в ряд Фурье. то и Ко+ 6 входит тоже (как было установлено выше). Волновые векторы Ко+ 6, пробегающие все значения 6, являются весьма ограниченной подсистемой в наборе волновых векторов 2пи!Е, что наглядно иллюстрируется схелэой на рис, 9А. Нашей задачей является опредечение коэффициентов С в разложении Фурье (9.14); чтобы сделать это, представим сначала волновое уравнение в виде системы линейных алгебраических уравнений для коэффициентов С.
Подставим разложение Фурье (9.14) в уравнение (9.!3). Для члена кинетической энергии получим: 2 2 ' ~(") в 'х 1 ) к ') такой подход аналогичен приыенениоыу в Приложении А (в конце книги) длн электромагнитных волн в кристалле. В Приложении г описан другой весвзза полеаный подход, известный как приближение сильной салли, который танже приводит к энергетической зопной структуре, 315 бе 2зг ° Уса и — =28 = а ,гт кр=е' — ' Рис.
9.4 Вертикз.зьззьз(з ряд точек слг. ва изооражает зиаченизз волюзиых векторов К = 2пи(ь, совместззмых с периодическими граяичнымп условиями, налагаемычи иа волновую Функцию для цепочки в чзьте колыза длиной Е. Набор разрешенных значений в этом случае простирается от— до +со. точки в правом столбце изображают несколизо первых волионыт векторов, которые могут входить и разложение Фурье (9.14) для Фуичини Ф(х), если в качестве частзюго случая для длины волнового вектора Ка взять значе~зззе 8 (2я/Ь). При нанесении точек ираного столбиа мы чрсдположилп, что кольцевая цепочка состоит из 20 элементарных ячеек с постоянной решетки а = ь(20 и, следовательно, самый короткий вектор обратной решетки имеет длину 2н,'а =20 (йя!Ь), ° И вЂ” — ' = - 22 ат 2гг а 316 для члена потенциальной энергии имеем: ( ~ Ь(пега") зр (х) = Х Х Ьга езо.
С (К) егк (9 рбб) О Теперь волновое уравнение получится в виде суммы (9.15а) и (9.155): КзС (К) езкз 1„~~, ~ Ь( С (К)ез (кеазх г ~~з С(К) езк» к о А л (9.15г) Это уравнение станет более наглядным, если использовать свойство ортогональности различных фурье-компонент, а именно: бГХЕ-'К'л Е'К" = 1 , [ег(к-к" б — !1=0з если К'~К; 1 1 (К вЂ” К') (9.15г) Ь, если К' = К. Мы брали К и К' в форме К = 2пп(1-, К' = 2нгг'1Е, где и, а'— цслые числа, и поэтому естественно, что ехр(1(К вЂ” К')Ц = = ехр(2п((а — п')) = 1.
Теперь умножим обе стороны (9.15в) на схр( — 1К'х) и проинтегрируем по г(х; в результате получим волновое уравнение в виде — К' С(К') + ~~ (УоС(К' — 6) = еС (К'), а (9.16) поскольку согласно (9.15г) остались лишь неисчезающие члены и двойной сумме (9.15в), в которых К удовлетворяют условшо К+ 6 =- К', или К = К' — О. Уравнение (9.16) является самым важным уравнением зонной теории твердого тела, Его можно переписать в более компактной форме, если заменить произвольный индекс К' иа К, что мы можем теперь свободно н проделать, не испытывая каких-либо сомнений, Ири этом для членов кинетической энергии, отвечающих фурье-компонентам К введем обозначение йт Кг апт (9.17) Итак, для уравнения (9.16) получим: Р.к — е) С(К)+ Х и,С (К вЂ” С) = О. с (9.
181 Это очень полезная форма волнового уравнения (9.18). Она вьгглядит несколько необычно' ) только потому, что вместо привычного дифференциального уравнения мы имеем систему алгебраических уравнений. Однако в задачах, где функции потенциальной энерг1ш являются периодическими (а этот случай нас н интересует), с физической и педагогической точек зрения трудно иметь дело с дифференциальным уравнением. Для нахождения коэффициентов С из системы (9.18) будем считать, что волновые ф)нкции имеют внд (и) =,г С(К вЂ” С) и' о Уравнения (9.18) связывают коэффициенты Фурье С(Кв) компонент плоской волны ехр(1Кох) какой-либо конкретной орбитали с системой коэффициентов С(Ке+ 6) для всех других плоских волн ехР(1(Ко+ б)х), котоРые входЯт в РЯд ФУРье этой орбитали.
Не существует жесткого правила, которое указывало бы нам путь классификации для орбиталей фк(х), т. е. какие (9. 19) 311 ') Волновое уравнение в этой форме впервые было получено Бете [4) в его работе по лнфракнии злектронов в иристалле, Мы назовем его основ. ным уравнением. К+ б отвечают данному К Полезно, однако, ввести такой уго. вор: пользоваться в качестве характеристики тем волновым вектором К„компоненты ф, который лежит внутри первой зоны Бриллюэна данной решетки. В одномерном случае таким вол новым вектором будет лежащий в интервале мсжду — п/а п л/а.
Правило построения зон будет тогда обеспечено тем, что каждая другая компонента К«+ б будет лежать впе первой зоны. (Индекс нуль в Ка будет «временной опоройь для того, чтобы пометить данный конкретный волновой вектор пз рассматриваемого набора.) Для любого фиксированного К, пз большого набора значений 2ли/Ь, допускаемого периодическими граничными условиямп для одномерной решетки длиной Е, мы всегда мозкем найти волновую функцию (орбиталь), удовлетворяющую уравненшо Шредингера, решая систему уравнений (9.18).
Действительно, поскольку это система из бесконечного числа уравнений, то будет существовать бесконечно много различных значений энергии для любого данного К,. Наиболее интересными для нас будут решения, отвечающие наипизшей энергии. Бсе эти соображения станут ясными, если выписать уравнения для конкретной задачи. Обозначим через д наименьший из векторов обратной решетки 6 и предположим, что выраженпс для потенциальной энергии содержит лишь один член, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
