Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Для малых а н малых 1гп(й) результат имеет следующий вид: йз ( з э — [1ш (й)]т = 2(и 1гтйз)2ш Эта зависимость графически изображена на рпс. 9,П, Такая запись важна в теории туннелированпя Зинера при описании переходов электронов из одной энергетической зоны в друг)чо при наличии сального электрического поля (см. книгу Займана [5)).
Зксперименталаное подтверждение правильности предсказаний, вытекающих из вы шсленного выражения для 1ш(й), имеется в работе Паркера п Мида [6); см. также работу Кертина и др. [7). йА. Потенцвальная энергия а решетке со структурой алмаза. а) Показать, что в случае структуры алмаза компонента Фурье Ио потенциала кристалла, воспринимаемая электроном, равна нулю при 6 = 2А, где А — базнсный вектор обратной решетки, отнесегигый к какой-либо подходящей кубической ячейке. б) Показать, что обычное решение волнового уравнения для электроцз в периодической решетке в первом прибли>кеншг пряводит к отсутствн о внергетнческой щели па границе зоны Бриллюэна в виде плоскости, перпсн.
дикулярной к вектору А (причем конец вектора А лежит на этой плоскости), Показать также, что во втором и более высоких приближениях имеется энергетическая щель. Г л а в а 1О. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ЗОНЫ. Н 33,» 34О 343 349 Строепне поверхности Ферзи Электроны, дырки и открытые орбиты дыр Эффективная масса электронов в кристалле . фязп~еская ~тптерпретаппя аффектяепоа массы )аое), Волновые функции прн нулевом волновом векторе .......... 352 Нлп яяе р пятка яя пер~я ая и я мст лл. х )ваа). Псевдопотенцналы 358 Экспериментальные методы исследования поверхности Ферми..... 361 Ццк)отроппысз резосапс а мсталлат )МП.
Зкстреяааьяые орбиты Мб)). эффект ве Хааза — аая Лльфепа )ЗОЕ). Пртиор: ззоаерхззост ферма ьзетал.теяесктзто зо. лота ( 72). Поверхиость Ферми в мста")зжх с гранецецтрированпой кубической структурой Резюме, Задачи , Литература, Прттложеттия, огносягчлеся к т)пино)1 плане: О, Двпткезп)е частицы н г-пространстве и в й-пространстве при наличии внешних электрического н магнитного полей........., .. 737 Ы, Переходы Мола 740 1, Векторный потенциал с юшульсом поля, калибровочное преобразование н квантовапне орбит 743 «И)пересно установить, какие (электронные) волны особенно подпер)кены влнянюа тех аномалий„которые обусловлены ноявлевием селективвых брэгговскнт отражений.
Мы построим обратную реп)етку христалла...» ,7. Брпллюап, )ВЭО г, СТРОЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ФсРМИ В случае металлов мы уже встречались с поверхностью Фер. ми, как поверхностью постоянной энергии ер в й-пространстве. Поверхность Ферми отделяет незаполненные состояния (орби- тали) от заполненных при абсол)отном нуле. Большинство электронных свойств металлов определяется именно формой поверхности Ферми, поскольку ток возникает при изменении числа занятых состояний вблизи поверхности Ферми, Форма поверхности 335, ср Рис.
1О.1. а) Построение в А-прас сранстае первых трех заи Брилщоэна для случая плоской квадратной решетки. Три нанменыиих вектора ооратиой решеызи обозначены чсрсз би бз н бз. Проведены пряные через середины векторов бь бз, бз перпендикулярно к ним. 6) Проводя, кроме указанных в (и), псе эквивалентные им по симметрии прямые линни, мы получим области Ли ространства, образующие первые три зоны Бриллюэна.
Числа 1, 2, 3 написаны на участках, отйосящихся к соответствующей по номеру зоне. Одновременно эти числа (в порядке возрастания) отвечают векторач б, ба. бз возрзстзюшсй длины, прп помощи которых построены внешние трачниы областей. Ферми может выглядеть очень сложной, но тем не в)енсе, исходя из сферической поверхности Ферми и пользуясь схемой приведенной зоны, ей можно дать весьма простую интерпретацию.
На рис. 9.6 (стр. 323) приведена зависимость и от волнового гектора й для свободных электронов в одномерном случае в схеме приведенных зон. Результаты данного там рассмотрения мы распространим на случай двух измерений (рис. 10.1). Формула Брэгга (2.40), определяющая границы зон, имеет вид 2Й О+ба=0. Эта формула удовлетворяется значениями й, оканчивающимися па плоскости, нормальной к вектору 6 и проходящей через его середину.
Первая зона Бриллюэна плоской квадратной решетки получается как область, заключенная между взаимно перпендикулярными прямыми, проходящими через середины кратчайших векторов обратной решетки кзз и еще трех векторов, эквивалентных ек, по симметрии; см.
рис. 10.1, а. Таким образом, для построения первой зоны Бриллюэна нужны четыре вектора обратной решетки; если постоянная решетки равна а, то эти четыре вектора суть ~(2п/а)й„и ~ (2п/а) Йк. Вторая зона Бриллюэна строится при помощи вектора Оа и еще трех векторов, эквивалентных «дз по симметрии; аналогичным путем при помощи вектора Оз строится и третья зона. Вто,взй рая и третья зоны, состоящие из одинаковых участков, изображены на рис.
10.1,б. Чтобы определить границы той или иной зоны, мы должны рассмочреть несколько неэквивалентных векторов обратной решетки. Например, границы крайнего справа верхнего участка третьей зоны (3«) образованы перпендикулярамн через середины трех векторов О, а именно (2п/а)й;, (4п!а) й„, (2п/а) (й, + йх). Поверхность Ферми для свободных электронов при некоторой произвольной концентрации электронов изооражена на рис. 10.2 (случай плоской квадратной решетки). Тот факт, что части поверхности Ферми, относящиеся даже к одной и той же зоне (иапример, второй), оказываются отдаленными одна от другой, представляется несколько неудобным.
Это можно поправить, перейдя к схеме приведенной зоны, описанной ими~с в связи с обсуждением выражений (9.38) — (9.41). Мысленно вырежем из рис. 10,2 треугольник, помеченный цифрой 2«, и передвинем его налево на вектор обратной решетки, в дацноп случае на вектор 6 = — (2п/а)й,; тогда ои ока>котся внутри первой зоны Бриллюзна (см. рис. 10.3). Если сдвинуть подобным жс образом в друтпе части первой зоны Бриллюэна иа соответствующие векторы обратной решетки остальные треугольники, т. е, 2м 2„2«, то в схеме приведенной зоны вторая зона окажется внутри первой.
Части поверхности Ферми из второй зоны теперь соединятся, как показано на рпс, 10.4. Переместив третью зону внутрь того же квадрата, мы придем к тому, что части поверхности Ферми из третьей зоны (заштрихованные участки) еще будут выглядеть разъединенными. Если взглянуть на эту картину с точки зрения периодической зониой схемы (рнс. 10.0), поверхность Ферми образует розетку (пли решетку розеток). Как перейти от поверхности Ферми для свободных электронов к поверхности Ферми для почти свободных электроновй Мы без особого труда можем приближенно строить эти поверхности, используя следующие четыре факта: а) Взаимодействие электрона с периодическим потенциалом кристалла приводит к появлению энергетических щелей на зовных границах. б) Почти всегда поверхность Ферми будет пересекать границы зоны перпендикулярно, в) Внутрпкристалличсский потенциал будет особенно сказываться в «острых углах» поверхности Ферми.
г) Полный объем, охватываемый поверхностью Ферми, зависит только от концентрации электронов и не зависит от деталей их взаимодействия с решеткой. Мы не можем делать (без детальных расчетов) каких-либо количественных утверждений, но можно ожидать качественно, что части поверхности Ферми, относящиеся ко второй и третьей 337 Рнс. 10.2.
Зоны Бриллюэна для плоской квадратной решеткн (двумерный слу чай). Окружность описывает поверх ность постоянной знергнн (в двумерном случке) для свооодных электронов. Для какого-то частного значения концентрашш электронов эта окружно ть будет поверхностью Ферми. Вся площадь запырпхоэанной области в й-просгранстве завпсит только от концентрация электронов н пе зависит от азана одевствня электронов с решеткой. Форма цоверхностп Ферма зависит от взаимодействия с решеткой и, разумеется, не будет нмеп форму <жружностп (в двумерном случае) для реальной решетки. Пифры !с буквамн) внутрн треугольников указывают номера зон Брнллюэна (второй н третьей) н использованы на рпс. 10.3 для описания этнх зон. ,?с" )тп .
л зл«з блеттл зг«с Рьс. 10.3. Изображение первой, второй н третьей зон Брнллюэна нля разрешенных эаергетнческнх зон в схеме приведенной зоны. Участки второй зоны иа рнс. 10.2, помеченные теми же цвфрамн, формируют совместно квздрат прп использования подходящих векторов ооратной решетки. Для каждого «кусачкаэ зоны требуется «свой» вектор сг, ' ууллдая зллл фзлгэя залп уузлглла злая Рнс. 10.4.
Поверхность Ферми для свободных электронов, показанная на рнс. 10.2 в схеме приведенной зоны. Заштрихованные участки нзображают занятые электронами состояния. Отдельные части поверхности Ферми папа« дают также во вторую, третью и четвертую зоны (четвертая зона не показана). Первая зона показана занятой полностью,, Рис. !ОД. Поверхность Ферми в третьей зоне Брпллюэна а периодической зонпой схепе. Решетка розеток построена вутем повторения треп ей зо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
