Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 63
Текст из файла (страница 63)
17) Энергия дырки противоположна по знаку энергии покинув. щего соответствующее состояние электрона; процесс удаления электрона из состояния с низкой энергией требует большей работы, чем из состояния с высокой энергией (внутри энергетической зоны). В случае симметричной зоны из (10.15) и (10.!7) имеем: (10.18) па = гг т еа (ма) ') Энергетические зоны всегда обладают инверсионной симметрией й-ь — й, если пренебречь спнн-орбитальным взанмолействаем.
Однако даже при учете спин. орбитального взаимодействия энергстические зоны всегда облалают симметрией, если струнтура кристалла инвариантна ло отношению к операции инверсии (в обычном пространстве), При отсутствии центра симметрии, но при наличии спнн.орбатального взаимодействия зоны обладают асобон сим..трней, если сравнивать между собой подзоны, для которых направление спинов противоположно, т,е. имеет место соотношение: е(й, 1) = = е( — й, 1). См. об этом в гл. 9 книги Киттани (П. 347 где оператор градиента относится к ге» Из (10.12) и (10.15) по.
лучим уравнение движения для дырки: (СГС) й — „д' =е[Е+ —,из ХВ) =Еп, (10. 19) (СИ) й — „" =е(Е+п»МВ)=Е» где и» можно определить из (10.15) нли (10.18). Результат (10.19) есть уравнение движения для положительного заряда, которое сразу дает объяснение отлпчшо в знаке постоянной Холла для дырок по сравнению с электронами или для полупроводников р-типа по сравнению с полупроводннкамп п-типа. Эффективная масса дырки (см. следующий раздел) отрицательна, т. е, знак ес противоположен знаку массы электрона, уход которого и был причиной возникновения этой дырки.
Эффективная масса электрона в состоянии й„в котором он имел скорость п„определяется из уравнения движения, записанного в форме второго закона Ньютона, а именно т,(с(е„'Ж) = — еЕ. Эффективная масса дыркп определяется уравнением двнженит той же формы, но с положительным зарядом е, т. е. т»(с(тз»(й) = = сЕ. Согласно (10.15) и, = и», н, следовательно, с(п,/с(( =- = г(е»!Ж. Сравнивая между собой уравнения движения для электрона и для дырки, сразу получаем: (10. 20) ') См. работы Кремера [2) и Киттеля [3[. 348 Ил»естся сушествепное различие между поведением одиночной дырки вблизи потолка в остальном целиком заполпенноп зоны н одиночного электрона вблизи потолка пустой (в остальном) зоны. Одиночный электрон имеет отрицательный заряд, и.
в соответствии с соображеннязш, приведенными п следующем разделе, аго эффективная масса вблнзп потолка зоны отрицатель. на. Лырка в аналогичном положении в зоне ведет себя так, как если бы она обладала положвтельным зарядол» и положительной массой. Таким образом, отношение заряда к массе одно и то же как для одиночного электрона, так н для соатветствуюшей одиночной дырки. Отсюда след>ет, что как электрон, так и дырка в электрическом поле будут приобретать ускорение в одном направлении, но в случае дырки поле б»тдет затрачивать работу, тогда как а случае электрона — и»оборок электрон будет отдавать энершпо, а поле— приобретать.
В статическом мшнптном поле направление прашсшш электрона и дырки будет одно и то х е В таких эффектах, как электропроводность, которые зависят от отно:пения (заряд)х(масса, вклады злектронаа н дырок следует учить|взть по отдельности. Проводимость, о»ттсловленная дыркой, будет положительной (т» ) О), следствием чего будет поглошенне энергии образцом в электрическом пола. Проводимость, обусловленная изолированным электроном в состоянии с отрицательной массой (т, ( О), будет отрицательной '), следствием чего будет генерация (а не поглощение) энергии образцом, помешанным в электрическом поле.
Состояние электрона с т, ( О является неустойчивым. Заметим, что электроны, обладаюшне большими энергиями еа, обнаруживают стремление перейти в состояния более низких знсргнй, что отвечает стремлению системы н тепловому равновесию, тогда нан дырки с малым ~ энергиями ез стремятся, тан сказать, «всплыть» вверх — х уровням, отвечаюшим ббльшим энергаям.
ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА ЭЛЕКТРОНОВ В КРИСТАЛЛЕ Возврацгаясь к формуле (9.61) и схеме на рис. 9.8, мы видим, что электрон в состоянии, соответствующем уровням вблизи днз второй зоны, обладает энергией, которая может быть записана в виде: йз )+ зп" (10.2 !) где Ь вЂ” волновой вектор, отсчитываемый от границы зоны, а ш '" = ! — (вхци,) * где Л~ = 6т('/ас«1)з/2гп, а 1/1 выбирается так, чтобы (/(х) =- = 2(/1соэ 61х. Мы сштаем У1 отрицательной величиной, чтобы при х = 0 У1 описывало притяжение. Малое отрицательное значение (/1 приводит к малой эффективнои массе вблизи энергетической спели. Из вида формулы (10.21) следует, что электрон в кристалле может вести себя так, как если бы его масса отличалась от массы свободного электрона ль Имеются кристаллы, в которы'. эффективная масса носителей заряда значительно больше илн значительно меньше, чем гп. Более того, эффективная масса может быть анизотропной и даже отрицательной.
Наблюдались эффективные массы меньшие, чем 0,01 пг (см. гл. 11). Кристалл, н котором т" ( лн нисколько не теряет в весе; не нарушастсн также и второй закон Ньютона (для кристалла как целого). Главное здесь в том, что электрон, находящийся в периодиче. ском потенциальном попс, при воздействии внешнего элсктри. чсского или магнитного поля ускоряется относительно решетки так, как если бы его масса была равна эффективной массе, в том смысле, в каком мы ее вьппе определнлн. Продифференцируем по времени выражение (10,1) для групповой скорости; получим: о'ея 1 Лте 1 г «!»е оа 'т — =А- =А- ! — — ).
Лт сИЛ! т, Лаз Лт У' (10.23) Г1оскольку согласно (10.5) г/й/г/1 = Р/6, то Если выражение Аз/(Ре/с/лз) идентифицировать с массой, то (10.24), как легко видеть, имеет впд второго закона Ньютона. 349 Рис. )О (3. Грвфик ззвпсиности е(Ь) Рпс. )О.!4. ! рзфпк ззвисплюстп е(/г) длч чгктп эиергепмсской зовы (длн длв части эиергетнческоэ зоны (длн ывлыт З), ~дс ззфг)~ективлыс мессы ыззгьк ! К где эффективные нзссы л~влы. нслнкп. Эффектнвнуго массу т" мы определим выражением (10.
25) Если энергия является квадратичной функцией от й, то ее можно записать в виде в = (гтз)2пт*)й'. На рис. 10.13 и 10.14 схематически показаны участки энергетических зон, в которых эффективные массы (для малых Й) соогвстственно малы и велики. Легко обобщить выра>кения (10.24) и (10.25) на случай анпзотропной энергетической поверхности, Компоненты тензора обратных эффективных масс вводил! соотношениями где р и зг — индексы для декартовых координат х, у, а. Физическая интерпретация эффективной массы. Возникает естественный вопрос, почему электрон с массой т, оказавшись в кристалле, реагирует на воздействие внешних полей так, как если бы его масса была равна пт".
В связи с этим полезно всполтизгть о явлении брэгговского отражения электронных волн от атомных плоскостей кристаллической решетки. 1зассмотрнм юсакомое пам приближение слабой связи, для которого энсргетнческая зонная структура изображена на рнс. 9.8, б (стр. 328). Вблизи дна нижней зоны состояние электрона достато гно хорошо описывается плоской волной ехр ((ых) с импульсом дй; составляющая ехр [((ге — 61) х) с импульсом й(й — 6!) мала и лишь медленно возрастает при увеличении й. В этой области значений й для эффективной массы имеем пт* = пь Возрастание отраженной составляющей ехр [((й — 6!)х) при увеличении й характеризует перенос им- 350 пульса от решетки к электрону.
Вблизи границы отраженная составляющая уже довольно велика; на самой границе она стаяовптся равной амплитуде плоской волны схр(гйх), а собствен. ныс функции описывают скорее стоячис, чем бегущие волны, Здссь компонента импУльса Й ( — гггзбг) гаситсЯ компонентой Й ( !26г). Не удпвггтельно, что непосредственно ниже границы мы полу. чим отрицательные значения пг'.
Отрицательная эффективная масса ') означает, что прп переходе от состояния Й к состоянию Й + ЙЙ импульс, персходящпй от решетки к электрону, меняет знак и по величине оказывается больше, чем импульс, приобретаемьш электроном от действующей на пего внешней силы (внешнего поля). Хотя Й возрасгает на ЙЙ за счет внешнего электрического поля, но вследствие брэгговского отражения имеет глссто результирующее уменьшение импульса электрона; если это так, то эффективную массу электрона можно считать отрицательной. Поскольку, оказавшись во второй зопс, мы ужс удаляемся от границы, амплитуда ехр [г'(Й вЂ” 6г)к] уменьшается н т" ста. новится малой положительной величиной.
Здесь скорость элсктрона возрастает и при данном импульсе она окажется большей, чем (при том жс импульсе) была бы скорость свободного алек. трона. Разность этих скоростей обусловлена отдачей, испытываемой решеткой, когда амплитуда ехр[э(Й вЂ” бг)х] уменьшается. Изложенные соображения наглядно поясняются на рнс. 10.15. Отсюда видно, что небольшое изменение энерггггг электрошюго пучка можст привести к очень существенным изменениям импульса электронов пучка. Эта ситуация соответствует малым эффективным массам. В оппсагшом опыте эффективная масса может оьгть как положительной, чак и отрицательной, в зависилгости от того, какова величина начальной энергии: выше или ниже энергии, прп которой имеет место брэгговское отражение.
Сам кристалл, отражая электрон, испытывает обычную классическую отдачу. Если энергия в зоне лишь слабо зависит от Й, то эффективная масса может быть очень велика, т, е. гп*,'т » 1, потому что вторая производная г)заггэйз очень мала. В приближении сильной связи (см. Приложение Е) кратко затрагивается вопрос об образовании узких зон. Если волновые функции, связанные с центрами соседних атомов, очень мало перекрываются между собой, то интеграл перекрытия у, введенный выражением (Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
