Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Обратим внимание на то, что энер~ия зависиг от квадрата волнового вектора 6. Если (/г отрицательно, то решеьгне еь( — ) соответствует верхнему краю двух энергетических зоп, а решение еь(+) — нижнему краю двух энергетических зон; не следует при этом еще забывать о сделанном нами предположенгш: Лг » ~(/г~ ЧИСЛО УРОВНЕИ В ЗОНЕ Рассмотрим одномерный (линейный) кристалл с постоянной решетки, равной гб такой кристалл построен из гЛь элементарных ячеек длиной а.
Чтобы подсчитать число возможных состояний, введем периодические граничные условия для волновых Функций, а именно, длину блока периодичности будем считать равной длине цепочки. Разрешенные значения волнового вектора электрона в первой зоне Брпллюэна определяются аналогично (9.2): /г = 0; 2п 4п Лп Ь ' Ь ' '''' А (9.62) Мы ограничили этот ряд значением й = йгп/ь = — и/а, поскольку Й = и/а служит границей зоны Бриллюэна. Значение — Уп//- = = — и/а надо исключить, так как оно ие является независимым, будучи кратным вектору обратной решетки и/а. Тогда полное 329 й и г/,ггг и служит мерой близости й к границе зоны Бриллюэна: /2~г /г /г /2~г (9.58) лцевзжж в ! число значений й, задаваемое (9.62), точно равно йг — числу элементарных ячеек.
Отсюда следует, что каждая элементарная ячейка в кпждой энергетической зоне дпег точно одно независимое значение н. Это утверждение переносится и на случай трех измерений. Если еще учесть, что каждый электрон может независимо иметь одну из двух спиновых ориентаций, то общее число независимых состояний (орбиталей) в каждой энергетической зоне окажется равньглг 2У. Если, например, на каждую элементарную ячейку приходится один атом одновалентного элемента, то в энергетической зоне будет занято электронами ровно половина возможных состояний (уровней). Если кристалл состоит из атомов двухвалентного элемента и каждый атом может «отдать» в энергетическую зону два электрона, то эта зона может быть заполнена целиком, т.
е. точно все ее уровни будут заняты электронами. Если на элементарную ячейку приходится по два атома и это атомы одновалентного элемента, то энергетическая зона также может быть заполнена целиком. Металлы и диэлектрики. Если валентиые электроны заполняют целиком одну вли более верхних разрешенных зон, то кристалл является диэлектриком. В таком кристалле наложение внешнего электрического поля не приводит к появлению электрического тока '). Если целиком заполненная зона отделена от следующей более высокой зоны энергетической щелью, то нет г) Предполагается, что электрическое поле не столь велико, чтобы вы.
звать разрушение электронной структуры, квк, например, при пробое в полупроводнике (эффект Зинера); см. книгу Займэне [5). 330 Рнс. 9.9. Изменение со временем ве. личины волнового вектора электроиз (в й-прострэистве) в одномерном кристелле под действием постоянной силы (внешнего электрического поля) и в пренебрежении всеми процессзмн столкновений. В печальный момент волновой вектор электроне отвечэст точке А; под действием поля электрон ускоряется и его волновой вектор достигает зизчеция, отвечающего точке и, и т, д, н, наконец, доход ж до точки С, в которой значение й соппзлэет с грзницей зоны. Но точка С б обрезной решетке эквпвзлевтнз точке С' нз противоположной границе зоны.
"злее электрон, двнгзясь из точка С', достигвет точки Р, затеи опять дох ы диг до границы зоны, н процесс повторяется. Имеются некоторые сомнения пзсчет токой теоретической возможности, т.е. возможности колебзннй электроне внутри энергетической зоны, поскольку соглзсно оценкам Рзбиновнчз и Зэке (Л. )(зЫпотисй, б. Езй) существует возможность межзониых переходов под действием электрического поля, зр й зл ч т/ ж р хп /г — »- л /г — »- л /г — э ш л/ у/ Рнс.
9.го. Занязые состояния !загптрпхованггые облагая) в разлпчпых зонных структурах: а — изолятор !дпэлектркк); б — металл с перекрытвсм зон: в †мета, в котороьг зоны не перекрываются, но в яерхней зоне электроны занимают лишь час~ь нпжнпх уровней Б случае б перекрытие не обязательно нмеет место вдоль одного и того же направлення в зоне Брггллгоэгга. Еслгг перекрыпге мало п в нен участвует огносятельно неболыиое число состояпягй то счнтагот, что это случай полунеталла.
никакого способа непрерывным образом изменить суммарный импульс электронов кристалла. Все разрешенные состояния заняты, и наложение поля ничего не может изменить, Ситуация совсем иная, чем в случае свободных электронов (см. рис.7.)О). Другой подход к анализу этой ситуации состоит в использовании вводимого в гл. !О уравнения движения: й — = хт. г/й цг Под действием постоянной силы волновой вектор электрона будет непрерывно увеличиваться с течением времени, Но когда й(!), возрастая, достигнет границы зоны, волновой вектор испытает «переброс» (сзг.
рис, 9.9) на протнвоположнуго границу. Это движение будет происходить вновь и вновь, ио не приведет к какому-либо результируюпгетгу ускорению, в чем легко убедиться, если провести усреднение по всем состояниям зоны '). Любой кристалл может быть диэлектриком при четном числе валентных электронов в элементарной ячейке кристалла. (Исключение должно быть сделано иногда для сильно связанных электронов внутренних оболочек, которые нельзя описывать на ') Из прнведенных соабраженнй, казалось бы, следует, чго суммарный ток це возникнет н в том случае, если зона заполнена не целнком.
Однако это соображенне неприменимо, если нмеют место ннтенснвные процессы рас сеяния, характерные для реальных твердых тел. Процессы рассеяная возвратят электроны в состоянне теплового равновесия до того, нак волновой вектор скольха-ннбудь заметно увеличится. Прн равновесии занятых состояннй высокой эпергнн в зоне проводнмостя металла значительно меньше, чем занятых состояний низкой энергнн, н поэтому электропроводность можно пычяслять тем же способом, который был применен выше в главах 7 н 8. Поэтому для реальных условий в металлах утверждение о стремлении к нулю суммарного тока не имеет никакого отношення к делу, 33! основе зонной теории,) Если в кристалле число валснтных электронов на элементарную ячейку четное, то необходимо отдельно рассматривать случаи перекрывающихся и ненерекрывающихся энергетических зон.
Если зоны перекрываются, то вместо одной заполненной зоны, характерной для диэлектрика, мы можем иметь две или более частично заполненных зон, приводящих к тому, что кристалл обнаруживает свойства металла (рис. 9.10). В щелочных и благородных металлах на элементарную ячейку приходится один валентный электрон; именно поэтому онп и являются металлами, Редкоземельные металлы имеют два валентпых электрона на элементарную ячейку и могли бы быть диэлектриками, но энергетические зоны у них перекрываются н поэтому они металлы, хотя и не очень хорошие металлы ',:. Кристаллы алмаза, кремния и германия имеют по два четыре:- валситных атома (т.
е. по восемь валентных электронов) на элсментарн)чо ячейку. Энергетические зоны в нпх не перекрываются, и поэтому чистые кристаллы прп абсолютном нуле являются диэлектриками. РЕЗЮЛ1Е 1. Решения волнового уравнения в случае периодической решетки имеют форму функций Блоха тр (г) = ееа ' и (г), где ил (г) — функция, инварпантная по отношению к трансляциям, кратным постоянной кристаллической решетки. Волновые векторы К, фигурирующие в разложениях в ряды Фурье, например в разложении ф (г) = х С (К) е'к' л имеют все вид й+ О, где 0 пробегает все векторы обратной решетки. 2.
Имеются такие области значений энергии, для которых решения волнового уравнения в виде функций Блоха не существуют. Эти значения образуют запрещенную область; прн этих значениях энергии волновые функции затухают в пространстве, а соответствующие значения К являются комплексными (как показано на рис. 9.11). Существование диэлектриков, например, обусловлено именно наличием у иих запрещенных областей энергии. 3. Энергетические зоны часто могут быть получены приблвженно, путем введения для описания поведения электронов одной или двух плоских волн.
Например, вблизи границы зоны Бриллюэна '/вО волновую функцию можно приближенно ') Зкачепяя влектросопротявлеиия пркведеяы в табл. 7.3. ззм дгу «;~С,зр ) л рр "р нрг ".23 дсу с ай д ну дем сл0енннн нссюз лгьг -,ав Рпс. 9.!1. Интервалу знергетнческой щели отвечают решения залпового уравнения, соответствующие комплексным волновым векторам. На грапнпе парван зоны Бриллюэна вещественная часть волнавага вектора равна Чзбь Мпптгая часть показана на рисунке пунктиром в приближении двух плоских волн для случая (3 = 0,0!йзб-'12гп.
(К. Са1ш.) записать в виде т)~Л (Х) ~ (' (М) и'ат ) С; (М Ст) Ет(Ь-С)з Энергетические зоны можно описывать на основе любой из трех ванных схем: расширенной (по Брп.ллюэну), приведенной и периодической. 4. Число состояний (орбпталей) в энергетической зоне равно 2,'т(, где Л' — число элементарных ячеек в образце.
ЗЛДАЧН 333 9.1. Квадратная решетка, энергии свободных электронов. а) Показа гь для простой кубической решетки (з случае двух измерений), что кинетическая энергия свободного электрона в углу первой зоны вдвое больше, чем в середине бокового ребра зоны Брплшоэна. б) Определить соответствую;цее разгшчнс кппетп ~ескпх энергий в случае трехмерной простой кубической решетки (т.
е. для угле зоны и центра грани). в) Как отразится результат (б) на величине проводимости двухвалснтного металлнр 9.2. Число состояний. Имсеы кристалл в форме куба, структура решетки — простая кубическая, число элементарных ячеек равно Л". Г'ри помаши аккуратного расчета показать, что чнсло незавпснзгых значений волнового вектора й в зоне Бриллюэпа рвано точно .Чз. Указание: Если одну точку зоны Бриллюэпа лшжно соединить с р другими точкалш векторами обратноп Решетки, то все зти р+ 1 точки можно считать одноп.
9 3. Комплексные волновые векторы запрещенной энергетической зоны (зггергетической щели). Найти выражение для инимой части волнового вехтора в запрещенной зоне на границе первой зоны Брнллюэна, воспользовав шись приближением, которое привела нас к уравнению (9Л9). Представить Результат в виде зависимости функции 1пт (й) от а, где а — энергия, отсп:- тываемая ат центра энергетической щели.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
