Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 58
Текст из файла (страница 58)
рис. 9.6). Из всех этих соображений следует также, что энергия вэ, соответствующая импульсу й' вне первой зоны Бриллюэна, равна значению энергии еэ для й внутри первой зоны Бриллюэна, л е гг (« — Падая хаял браллюзяа 323 Рпс. 96. Зависимость энергви от волнового ея вектора ея = Дзйтр2лг для свободных электроновд изображенная в схеме приведенной зоны. Такое построенве позволяет поясшыь общим образом возникчовепие ванной энергетической структуры крис~алла, Ветвь ЛС представляет собой зеркальное отражение относительно вертикали й = п(а отрезка кривой е(й) для свободных электронов а интервале положительных значений й ог й = +и,'а до й = 2л(а.
Ветвь Л'С вЂ” соответствхчощее отражение относительно вертикали й = — и/а отрезка кривой для ограцательных значений й (от й = — п(а до л = --2л(а). Впутрпкрнсталлический потенциал (т(х) будет создавать энергетические щели на границах зон Брнлл~оэпа (например, в точках Л и Л' между первой и второй зонамд и в точке С между второй и третьей зонами).
При этом ширина разрешенных зон и общие хаРактеристики ванной структуры таковы, что в схеме приведенной зоны о них часто говорят просто как о «зовах свободных электронов», 11ь если Й связано с Й' соотношением (9.39). Отсюда следует, наконец, что решение задачи об энергии электрона в любой разрешенной зоне сводится к задаче нахождения разрешенных значений энергии, соответствующих волновым векторам, лежащим в первой зоне Бриллюэиа.
Данная энергетическая зона есть одна из ветвей е» как функции Й (это, разумеется, поверхность в Й-пространстве). Имея дело со схемой приведенных зон, ие следует удивляться тому, что одному п тому же волновому вектору будут отгсчать различные значения энергии. Каждое из этих различных значений энергии отвечает одной нз зон. Две волновые функции с одним и тем гке Й, но соответствующие различным энергиям будут независимыми; каждая из них составлена различным образом из компонент плоских волн ехр(1(Й вЂ” 6) г). Поскольку коэффициенты С(Й вЂ” 6) для разных зо~ различны, следует добавить к С какой-то индекс (скажем, р), указывающий номер зоны, т.
е. писать С„(Й вЂ” 6). Тог,та функцию Блоха для состояния электрона с вектором Й в зоне и будем записывать так; ф = е"'и»(г) = 2х„С (Й вЂ” 6)ем»-аь', Периодическая зоиная схема. Есть задачи, для которых полезно представить себе, что мы периодически повторили зону Брилл|оэна во всем Й-пространстве. Для осуществления этой процедуры произведем трансляцию зоны Бриллюэна на вектор обратной решетки. Если мы можем произвести трансляцию энергетической зовы (т. е, энергетической повсрхности) из какой-либо зоны Бриллюэна в первую зону Бриллюэна, то, следовательно, и наоборот: мы можем произвести трансляцию энер~етнческой зоны, находящейся в первой зоне Бриллюэна, в любую другую зону' Брнллюэна. В такой схеме энергия з» есть периодическая функция в обратной решетке: е»= — в +а.
(9.42) Здесь имеется в виду, что е» относится к той же энергетической зоне, что и е„. Результат такого построения известен как периодическая ванная ехе»~а; она будет особенно полезной в гл. 1О, пбо позволит продемонстрировать связность электронных орбит в магнитном поле, Периодические свойства энергии можно легко установить также из основной системы уравнений (9.18), Рассмотрим, например, энергетическую зону в случае простой кубической решетки в том виде, как она получается в приближении сильной связи (см, Приложение Р, формула (Р.9)): "» =Е, — а — 2у(соз Й,а+ сов Йеа+ сов Й,а), (9.43) где Ее, а и т — константы.
Вектор обратной решетки в случае простой кубической решетки равен 6 =(2п/а)к; если его прибавить к вектору Й, то в (9.43) изменится лишь вид члена с 324 соз й,а: сов й,а- соя(йх+ — ) а= соз(я„а+ 2п), (9.44) по последнее выражение тоэкдественно равно соз й,а. Мы видим, что энергия, когда к волновому вектору добавляется вектор обратной решетки, остается неизменной.
Таким образом, в периодической зоппой схеме энергия есть периодическая функция волнового вектора. Полезнымп могут быть все три зонные схемы: а) Расширенная ванная схема, в ко~врой различные энергетические зоны размещены в й-пространстве в различных зонах Брпллюзна. б) Схе.гга привес)енггьгх зон, в которой все энергетические зоны размещены в первой зоне Бриллюэна. в) Периодическая ванная схема, в которой каждая энергетическая зона периодически повторяется во всех зонах Брпллюэна. Эти зонные схемы изображены на рис. 9.7. Периодическая зоиная с..сма иллюстрируется также рисунками 9.8 и 10.5. Рнс. 97.
Трн первые энергетические зоны для линейной пеночки, изображенные по-разному, чтобы проиллюстрировать различие между схемами зои. 325 ПРНБЛНЖБННОБ РБШБННБ ВБЛНЗН ГРАННЦЫ ЗОНЫ БРИЛЛЮЭНА Теперь мы достаточно подготовлены, чтобы понять, откуда берутся энергетические шелн, эффективные массьн меньшие т, и какова роль дырок как носителей заряда. Предположим, что значения компонент Фурье иа потенциальной энергии малы по сравнению с кинетической энергпей А Йг/2ш свободного элек- 2 2' тропа на поверхности сферы Ферми.
Это предположение позволит нам ограничить рассмотрение случаем простых волновых функций, приолизкепно описываемых линейной комоинацисй двух плоских волн. граница зоны Бриллюэна. Сначала рассмотрим волновую фупюппо в случае, когда волновой вектор «упирается» точно в границу зоны Бриллюэна '/»6ь т. е.
равен л/а. В этом случае йг = ('/ 6 )з (/г — 6 )г = ('/ 6 — 6,)г = ('/, 6,)з, (9 45) Тогда на границе зоны кинетическая энергия компонент волны схр [гггх] и ехр [г(гг — 6,) х] одинакова: Й', д Ь' г! — /г-= —,(й — 6,)-= — ~ — 6,) . 2«1 2«а 2аг ~2 Если С('/е6~) — важный коэффициент в разложении волновой функции (9.19) на границе зоны Брнллюэпа, то коэффициент С( †'/»61) столь же важен.
Этот результат является следстьпем обсуждения формулы (9.25). Мы сохраним лишь те уравнения основной системы (9.18), которые содержат коэффициенты С('/,6~) и С( — '/»61), и пренебрежем всеми остальными коэффициентами. Тогда одно из сохранявшихся уравнений (9.18) для саучая К = '/,6, и Хм — = А» ('/,6,)'/2гп примет тпы () г — з) С (~/«6~) и~с ( — ~/261) = О. (9 47) Здегь через иг обозначены иа, и и а,. Этот результат имеет тот же вид, что и уравнение (9.20). При К= — '/збг получим др;тое уравнение из системы (9.18): (А, — а) С( — '/,6,)+ и,с('/,6,) =О, (9.48) которое имеет вид (9.21б).
Система из этих двух уравнений имеет нетривиальные реше. ния для коэффициентов С(г/»6г) и С( — '/збг) при равном нулю детерминанте системы, т. е. когда энергия е удовлетворяет уравнению (9.49) 326 При Лс = Л ~ имеем: (Л! — е) = Е/~!! е=Л! ~ с/с = — '( —,6,) ~(/ь (9.50) Уравнение имеет два корня: один — отвечающий энергии, меньшей кинетической энергии свободного электрона на 60 второй — больший на Уь Таким образом, потенциальная энергия 2С'! соэ 6,х создает энергетическую шель шириной 2У, как раз на границе зоны Брпллюэпа.
Отношение коэффициентов С можно по,ту~и!ть лш:о из (9.4?), либо пз (9.48): О ( — ',,О,*! а — Л С с~'гб~) С/~ ' = -с-1, где мы использовали результат (9.50). Итак, разложение Фурье для ф (х) получим (с точностью до нормируюших констант)! в двух видах: (9, 51) "т(х) = ехр (1 — 6,х) ь ехр ( — 1 —, 6!х) . (9.52) . 1 . 1 Вблизи границы зоны Бриллюзна. Решим !еперь задачу для случая, когда волновой вектор близок к границе зоны Бриллюэна '/э6ь Для этого воспользуемся тем же двухкомпопентным приближением, однако волновую функцию запишем в виде ф(х) = С(й)емх + С(й — 6,) ессь — о!" (9.53) Согласно основной системе уравнений (9.18) будем решать спстему следующих двух уравнений: (Ль — е) С (й) + Еl, С (й — 6!) = О, (Ль а, — а) С (й — 6,) + (/!С (й) = 0 (9.54) где опять-таки введено обозначение Ль —— — йЧа/2ип Эти уравнения имеют нетривиальные решения, если зцерпся а удовлетворяет уравнению (9.55) или и — Е(Ла-Ш + Ла) + Ла О,Р.Х вЂ” (/1 =О.
(9. 56) 327 Эти функции идентичны функциям (9.5). Одно решение есть волновая фушсция для нижнего края энергетической щели, другое — для верхнего края. Какое именно решение отвечает меньшей энергии — зависит от знака 1/! в выражении для потенциальной энергии. Корни этого уравнения: 2 (ла и, + йа) ~ ~ 4 (г'з — о, ла) + (/~~ (9.57) причем каждый из корней описывает какую-то энергетическую зону. Эти корни, т. е. зависимость энергии от й, приведены ца рпс. 9.8, а для случая периодической зонной схемы, В расширенной зонной схеме первую энергетическую зону следовало бы изображать лишь в пределах первой зоны Бриллюэна — '/збг < й ('/збг, а втор)чо энергетическую зону — в пределах второй зоны Брнллюэна, которая соответствует отрезкам й-оси 61(й м ~/э61 п ~/з61<й "61 Энергию (9 87) удобно представить в виде разложения в Ряд по стспенятг некоторой величины б, которая равна разности 'т и г.'Вы :сз Йб а7 1а ( фбг/ бар гд ш йат улегся ', | — р з'ггг-л> ' бпапся зоил -ха, 328 П Дб хи ГЛ уг — ъ- г,) Рис.
9.8. а) Ре пения уравнения (9.57), изображенные в периодике. ской запнай схеме, в области вблязп грзннцы первой зоны Брилл аэшь зхля построения кривых приняты в полходяцгих единицах зпз1ения: бг1 = — 0,45, 6<=2, П'/т =- ). Кривзгг для случая свобадяого электрона приведена длч сравнения. Ширина энергетический шели на границе зоны Г>риллюэпа равна 0,90. Значение У~ выарапа умышленно большим, чтобы сделать график более наглядным: прп этом, однако, апо настолько велико, чта двухкомпопентное приближение уже не является достаточно точным. б) Зависимость от й отноше. иия коэффициентов С(й — б,) и С(й) в разложении попцовой функции вида (9.53) в случае.
когда й близко и границе первой зоны Бриллюэна, Тогда (9.57) в области энергий /г'гггб/2т « ~(/г ~ можно представить в следуюшем виде: Йг х! г г г Л, гьггагх г = — ~ — Ог+ 6 ~ ~ (/г ~1+ 2 — ', ( — ~~. (9.59) 2гн ~ 4 Сгг 2 гг,Ц Это спраьедлпво лишь для очень малых 6, поскольку разлоькеипе основано па предположшши, что й 6гг/2ггг -> ~ (/г 5 Обозначпь два корня (9.50) через ег(+) и ег( — ), получим из (9.59): е,(+) =-.,(+)+ ',„,', (1+ ',"), Л'6' Г 2Л се( — ) = — е ( — ) + —,— (1 — — ). (9.61) гг,,/ (9,60) Такой внд гихгеют энергии, как корни детермипантного уравнения, в случае, когда волновой вектор близок к границе зоны Брпллюэна г/,6г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
