Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 45
Текст из файла (страница 45)
В гл. 2 мы уже обсуждали свободное распространение в периодических решетках рентгеновских лучей; в гл. 9 будут рассмотрены электронные волны. 6) Электроны проводимости лишь редко испытывают рассеяние па друпгк электронах проводимости. Это свойство электронов является следствием принципа Паули. Газ свободных, невзаимодействуюших электронов, подчиняю- шихся принципу Паули, мы будем называть свободным электронныл! газо.и Ферми, 25! ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ И ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ Прежде всего рассмотрим повеление газа свободных электронов в одномерном случае, исходя при этом из квантовой теории и учитывая принцип Паули.
Пусть движение электрона массы гп ограничено прямой, имеющей длину Е; на концах этого отрезка имеются бссконе'шой высоты потенциальные барьеры (см. рис. 7.2). Волновая функция электрона фл(х) определяется уравнением Шредингера Жф = ег)м потенциальной энергией мы пРенебрегаем п поэтому гаэгильтониан Ж = рэ;2>гп где р — ггтгпульс электрона. В квантовой ме: зинке импульс р есть операц' тор — Гй —. Тогда цх ' йг гтгг)гг Сг) Я:ф = — — — "' — = е >)' аш гат' (7.!) где вп — энергия электрона в состоянии и, описываемом волновой функцией (орс италыо) ф„).
Грани н)ые условии имеют впд ь)„ (О) =- О, фп Д = О, (7.2) в силу того, что г>а концах прямой имеются потепцпальныс барьеры бесконечной высоты. Граничные условия удовлетворяются автоматически, сслп волновая функция имеет спиусои- ') Мы будем пользоваться тсрмгггсм «прб>гтал о ля впаянной фагппиш, являгпшсйся любы>г решс.шсм волновсгп уравнения системы с о" ню: троном.
Это ппэвошгет отл;шатш вслиов ю функшио, явля>ошуюся тпшгь ргпсппагг вплвовпгп уравнения для системы Л элекгрсвсн, от лгпбг>го прь лгжсннпго решения э>ого ) равнения. Пр.гблп>каниое реи>анис ма кип пес> ргш г», напр>г»>ер, комбинпр) я лб различных срб>малей, соотнося каждому иэ К элсктрпяпв системы србйтал», являюш) юся одним пз раи>сний пол.>пйпго уршпшиня для одного элсктрошь Модель электронной снег«мы, пп гс»п>аемая при поэюпш србиталсй. является точной, если счит>ть, что электроны вовса ьс вэаюшдсйствуют мс кду спбпн. (Термин ггпрбг>тал>*» в смысле, блп>кс«к указанному, широко псиплгзуется в квзптсвпй хиппи; п пзлогксние своего курса грг>эпин твердого тел> автор ввел стп впервые в иастошцем (натяг ртом) пздашш. Прг> перевод«в связи с этим возникли трудное>й.
Такие слсвоспчстэяпя, как, например„«рпс е)есвпп >п Гйе огЬИаи или «еасЬ о«Ь>)а) сап Ье оссцр)сб», сстествсиныа дгш акглийского языка (в буквалш ом переводе: «электрон в прбгыалп», «квжд>> г орби>таль нижет бьмь занята»), оказываются чугкдыми русск>й научипи фр,>- эеплсгпи. Кроме того, в этом слуше (и мипгпт подобных) автор псдразу>ггвает под термгп>п>г «орбиталь» пе волновтго функ цип, а квв мова«состсшшс, пппс>явасмсс этой волг>пвпй функцией, плп эиер>етичсский уров«ив, спптветствуюимш эиарпп> этого состояния Очевидно, что югеханическое» перенесение в перевод термина «орбиталь» явна иаисслп бы ущерб точности и стпл о иэпп>кеши.
Однако в каждом конкретном случае обычно из контекста ясно, что речь идет пб п>>нпэлсктроиной волновой функции (спстпяннн, уровнег, независимо дагке пт того, вводит автор тергпгн «орбиталь» или нет. Таки с случаев тсгке достаточно. И, наконец, автор наряду с термином пгЬИа! использует тсрмш>ы в)а(е (состояние] и )етс) (уровень). Все это дало перенял. чикам основания относительно свободно использовать в каждом конкретном случае тот русский терции, который казался наиболее подходя>цим. — Прил. перев.) 252 — — — онаго, тиооооуго1родни ( — оооно3ые ф~гичоигоогноо. оо) ь ,Щ чьз дальную форму, а а есть целое число полуволп, укладываюцгг1х- ся на тгнтервале от О до й.
Действительно, /2л 'т 1 з,'в-ззп( —,' .т1, —,п7.я =Л. Итак, волновая функция фа =- Л 5!П ( — Х), (7. 3) (7.4) где Л вЂ” константа. Ясно, шо функция (7.4) удовлетворяет урав- нению Шредингера, поскольку и, следовательно, собственные значения энергии в одномерном случае даются формулой (7.5) Энергия есть квадратичная функция квантового числа и (см.
рис. 7.Э). 253 Рпс. 7.2. Псзвыс трп зчергетпческпх уровня свободного злектропа массы ш, дптл<сане которо~ о ограничено отрезком прямой лнянн длнцон ь. Уров~пз нзобрзжспы пупктнрнымп прямымп. Сп.юшпзззпт крпвью|п показаны графнкн волновых функций соотаештвующнх состояппй. Казгдому знергетнчсскому у]зов по о~аечает квантовое число я, разнос чпслу полувола, укладываюшпхся па дл:ше Ь (числа п показаны на правой осп ордннатй Энергию уровней даны па лев-й осп оран.аг. Ллппы волн, вырах;енные в долях 7., прпаедеаы у грзфвков соотвстсзвуюшпх волновых функций.
Эпергпя пронзвольпого уровня с квантовым числом п равна (йз72пп (ггуйьзз, Рис. 7.3, Завлс шость эяерш и этсктршш от ьва:ыоьэго числа л (кааг1ратсчная фтлк1шг ! лля слгшя оляотш;гной модсгш сяьоо11г1х этекгроноа. Птсгь в нашей системе на отрезке (О,!.) имеется Л' электронов. В простейшей формулировке ггрггнг(игг !)пули утверждает, что никакие два элекг!тона в такой сигтел1е не могут алеть ог)ннаковьге кввнтовь1е ~11!с.га. Это означает, что каждая волновая функция (орбиталь) описывает состояние, которое но>Нет быть занято ие Оолее чем Одним зг1сктроном ').
Это утверждение справедливо для электронных систем атомов, молекул и твердых тел. В одномерном твердом теле квантовые числа электрона (в данном случае электрона проводимости) есть н п т„ где и — целое положительное число, а число т» = -(-1(2 соответствует двум ориентациям спина. В паре состояний (орбиталей), имеющих общее квинтовое число и, электроны находятся в раз. ньгх состояниях: один со спипом «вверх», другой со спинам «вниз».
Если в системе восемь электронов, то в основном состоянии системы заполнение индивидуальных состояний, описыьаемых орбпталямн, будет соответствовать следующей таблштс: ь 1 1 2 2 3 З 1 1 б 5 ш» 1(аличис электрона 1 1 1 1 1 1 ! 1 О О Обозначим через пг квантовое число наивысшего занятого энергетического уровня; отсчет заполненных уровней мы ведем снизу (от дна, отвечаюцгего значению и = 1) и, продвигаясь далее вверх, заполняем электронами уровень за уровнем до тех ') Число волновых функдий (орбиталей), отвечаюгинх данной величине энергии, ыожет быть больше единицы. Число волновых фтнкдий (орбиталей1, описывавших состояния с одинаковой энергией, называется вьгрождениеи.
2бй пор, пока не будут размещены все Л' электронов, Удобно предг,*оложитгь что Й вЂ” четное число. Тогда число пж т. е. число н тля высшего заполненного уровня, определится условием 2пг = Лг. Знергггю Фг,гзлггс ег мы определяем как энерппо электроноп ип высшем еше заполненном уровне. Согласно (7,5) п[ш л =- зги в одноме)шом случае писем: (7,б) тгмпе Атхрихя злвисимость Функции РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ вЂ” ДИРАКА Оспоанос состояние системы — это состояние прп абсол.'отго" нуле. Что оудет происходить при поьышсшш температуры? ;вза задача припал.ежпт к числу стандартных задач элсментариги1 статиста гескогг механики, гг ее 1зешеггнсм (см.
Прилозкеигге Е) н данном случае является функция распределения Фермп-- Дирака. Кг иетг~ческая энергия электронного газа увеличивается при новы|пении температуры; при этом некоторые энергетические уровни, которые при абсолютном пуле были вакантными, оказываются занятыми, и одновременно часть уровней, которые при абсолютном нуле оылн заняты, становятся накаптными. Эту у,г ууаз 4 5 гз 7 З У аг уса г 7ГГ /Г Ряс.
7зв Фуикция распреаслепия Ферми — згирака при различпых температурах лля случая Ти--.=а )гги-— -50000 'К. ГраФики относятся к случаю треха!ерпого злекгрышого газа. Полное числа частиц постоякио и ие зааисит от температуры (В. РсЫп1ап.) 255 ст .3 4 /гтт Т Р с тпй Тсппсряту 1 от з,:и сп* сстс кппп»гс ого гг гспппя те .".1» гсзя пе. иззп пздгйсзпукзпггкз с) с)зппзпсз (з р тпсрпып спу»сй).
дл» у,обсгпз построек ~я гряфпкз копцсптрпцпп ысз:пг зодр .. я тяпой по И (й)==-е . =- (3,'2) ' сптуат)пто иллгострпруст рис. 7.4, где из гзрагксны графики Функции ) ~г — ц,»ат +) Это фрнкцпя Распределения трг'рмгг — дирика, которая даст вероятность того, что в состоянии теплового равновесия идеального электронного газа при температуре Т состояние с энергией е занято электрозигум. Веггичппа р является функцией температуры; и каждой конкретной задаче величина р определяется пз условия постоянства полного числа электронов в системе, т.
е. нз условия, что число электронов равно Лг'). Прп абсо:нотном нуле р = ег, так как в пределе Т -ь О функция )(е) изменяется скачком от значения, равно~о 1 (заполненный 'уровень), до значевпя О (вакантный уровень) прп е = ег = р. 77ри лтооот! телгггерагугзе ) О прц е = — р (й()нкпия ) (е) ровна !!2, поскольку знаменатель (7.7) при Еспп е,— омы пз )зязрзшспппк урояпсй, то прп гпобой гсмпср гуре должпо иметь кесто ряееистпо )(е,) = йг, пзп и пптегряльной форме: Не ) (е) й» (е) = )т', и где аз(е) — функция плотпости состояний, определепияи паже и основком тексте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
