Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 40
Текст из файла (страница 40)
77йтгп Рис. б.!2. Функция плотности состояний фононов Ы (т) в алюиипни (т=ы(2а). Графики (гистограммы) для каждой из трех ветвей получены вычисяенпеи Ы (ч) по точкам для 279! вотиовых векторов. (Из работы Уолкера [7[. О дальнейших резудвтатах для алюминия си. работу Стедиана п др. [3] ) Для волнового числа Кр, соответствующего озр, имеем: (6.38) В модели Дебая исключены моды с волновыми векторами, длины которых больше Ко; число мод, имеющих К - Ко, исчерпывает число степеней своооды моноатомной решетки. Итак, в дебаевском приближении мы не только заменяем истинную плотность мод величиной (6.38), которая получилась как следствие линейного дисперсионного закона вз = пК, но н заменяем сферой область интегрирования в К-пространстве, которая, строго говоря, должна была бы быть зоной Бриллюзна.
Плотность мод (6,36) для дебаевского приближения изображена графически на рпс. 6.11; там лкс показан лод атой функции в случае «правидьпойв области интегрирования )зоиы Бриллюзна) для простой кубической решетки, но с сохранением прсдпологксния о постоянстве скорости звука. Если, например, о = = 6 10' сл!)Сск и Л~)!.а =!О" атомов на 1 сл!а, то с и = 1 10" ра:!ггсс!с Ко-2 10' см '=2 10ы и и !6.39) Ф) ПКДИЯ РЗСПРСДСЛИ1ПЯ ЧаСТОТ Я !И) МОГКС' СЫТЬ Таягне ВЫ- числ'па из ы!Спорил!снт !льны, данных илп пз достаточно рса.,Псисрси!1, Пайдсииото теорстггЧССКИ.
Однако затрат!я труда !го!От о газгться зна и!Тсльп !»и. п часто д..я рсшсппя задачи прп юга!от и помощи ЭВ.Т!. !1)жпо находить апас!синг. ы на узла.; о !сиь л:елкой трсхмсрпоп сотки в К-грсстрапс" ьс, а затем носссз" авить ю!стограмм ., Даюшую число го. чек в малы, одп!иковых интервалах з;л гений оь Пр! л!сргг» могут сл гнить расчеты д.гя алюминия, рнзультать! которых п грифпчсской фор.,!с прппсдсны на рпс. 6.12 г 613 (зфгрскггг, свпзапп!1 с спиг)лярпостял1п ван ХО!та, здесь Очсвплпы).
Рис, 8,)3. Поверхьости постоянной частоты для атпоыиння !для п роли тынах Фоно. ов). Г!о!газани сечение, параллельное плоскости !100) ойрагпой реьче тки, зяте!!ен!гые круги!г!г аелгат на одной и той тке спстспе седловых то гек. !По Уолкеру ) 8 Ч, Киттель 225 в (6.11). Тогда пол)чп;1: нд С,, =",, 1 )м ',""'"",=Оуй,Я'1,)х ь (6.46) Зпз:сгпя Е, С, и другие величины лебаепской теории оылп тзб1тт1С1овзпь1; Оии пппвслспы в спраиочнп!!ах ЛИ51лольтзлбгсриш.1йиа и У(пкс — Энде — Пбшс. График !1авпсимостп тсп.1осмко ти ог 1миошепия Т,'О дан па рис.
6.!4. Вили!, что при Т Ъ О тс1шос115юсть прпбл:1жаетс51 к классическому:и1а '1сиию Зй /'з, Закон Т! Дебая. Прп очс1'ь низких температурах прин!ли!5!сивое выра!1.сине для э!~Оргии Л1ожпо поз!учить пз (6.44), полок;ив е!рхп11и прслел и!ггеграла равным бссконе'!ности. Тогда ингег. рал вьп1ислястся, и мы получим: ~ 51х, =~ г(хх' Ге "=-6 ~ —,, =- — ", (6.16) о 3=-1 1 где величина суммы з"! берется пз любых математических таолпц. 1Лтак, для Е имеем: З55!1У11 Т' Е,," при Т((О, а для теплосмкости Ск ф— „и1К/гз (- —,) = 23415!1!а ( В ) . (6.47) Это и ссть приближенный закон Т' Дебая.
При достаточно низких температурах приближенный закон Дебая соблюдается вполне хорошо, поскольку в этой области температур возбуждены лишь колебания акустической ветви, отвечающие длишым волнам, Это именно те колебания, которые можно трактовать как упругие колебания непрерывной упругой среды (континуума), описываемой макроскопическими упругими постоянными. Энергии коротковолновых фоканов слишком велики, чтобы они в сколько-ниоудь заметном числе моглн согласно (6.П) заселять соответствующие уровни при низких температурах. Закон Т' можно пояснить на основе следу1оших простых соображений (см. рнс.
6.15), При низких температурах возбуждаются в заметном количестве лишь те моды решетки, энергия которых й!о ~ Ь,Т. Характер возбуждения этих мод приближенно классический, посколькУ их энеРпш близки ккзТ, и описываются законом (6.9) (см. рис. 6.2). Объем К-пространства, содержащий точки, отвечающие этим возбужденным модам, занимает !5* 227 Рвс. 615 Наглядное пояснение за- кона 'Г' Левая. Прес!поло!кнм, по все вб фонояные моды с волноаыч вектороч, нТ длина которого меньше К, име!Ггт ю энергию, равную классическо!!у тея !звонуу зяачеяГ~!о йн7', а иоды с воляовыия вектораия в янтернале мазилу К и К яе возбузклаются вообшс.
'г ' 'О Из 3 У возмо киых мод дота возбу>хлен;ых равна (К -/К )' = (770!з, аз. скол,ку эта ае.шчнна равна отнои сяшс! ооъсма внутренней сферы ш!уса К кот!вез!у сферы радиуса К„з, для ввергая в этот! с.!учае и!!с«! Е Гг! Г Х ЗЛ' (770)'", а для теял:с,Г- косе! СГ, — диудг =а 4Л'lг (770)з, дол!О порядка (7(Г//хс), 1дс Кг — нОлповой вектор, Огцзедслясмый соотношением йвК! — — ФвТ, а Ко — величина волнового вектора, характеризующая дебаевское приближение и определяемая соотношением (6.38). Эта доля составляет (Т)0)а всего объема К-пространства.
Число возбужденных мод будет порядка Л (Т,'О)', а энергия каждого состояния йаТ. Тогда внутренняя зперш!я .Ггйн7'(7'/0)з, а теплоемкость -4ИГ!з(Т/0)з. Большой численный множитель, равный 234 в (ОА7), появляется по те"! :ке причинам, что и множитель (Опв)" в определении деоасвской температуры О в формуле (6.43). Методы выбора подходящего среднего значения скорости звука, нужного для вычисления О, обсуждаются в раооте БлекмаГш [9]'). Дс!я реальных кристаллов температуры, при которых спраьсдливо приближение, приводя!нее к закону Т', отиосзпся к области достаточно низких температур. Е!еобходимо поиизпп температуру ниже Т = О,'50, чтобы ход изменения теплоемкостГ! был достаточно близким к закону Тз.
Заметим, однако, что тсплоемкость относительно мало чувствгпельна к изменениям ф)и;Г- ции плотности мОД. В практике расчетов лучшим способом определения функции плотности мод является использование измерений, дающих дпсперспонный закон для выбранных направлений в кристалле, например неупругого рассеяния нейтронов; затем нз этих даншях можно, используя тсоретпчески! соображения и аналитические методы, определ!пь вид дисперспопного закона для произвольного направления, а уже из последнего, используя ЭВМ, можно вычислить вид функции сс) (го) . Некоторые типичные значения О приведены в табл.6.!.
Отметим, что, например, у щелочных металлов чем больше атомный !) Сравнение значений дебаевской температуры, вычисленных яз упругих ностояииьнн с одной стороны, и из калорнмегричсскнх данных, с другой, имеется в обзоре [10!. 226 а о о ю о о О й~ Ф~ 63 О. й й $ о О Р с Л '' :,Б й д а с 3 а ~ О о Ю з- й Ю о У' й Р 1 13,зз, 'ст я со сс я ,2 7'здккуз Ргс б 10. Тес..осек ытг, г;пи к ~ о р.соз б пзкпе тезгпсрогуры) кск йункшгк Гз.
и мгв, оплесгн зсапс рз:' р жспсвепжпзлкпме,гзпвмс зекозггзск в пм васы г вог согле"вн с звк ", рз Г:,а1еггзв, сслп полокопь 0„=920'К. 1Е 1': "„Ш, К ГС Р1Н116 ) номер, тем мспьпгс вели шпа 0; дело ь том, что скорость звука прп возрзсгапин плотности уменьшается. Эгсспсрнменталшгыс данные для твердого аргона — днэлсктрп шского кристалла с одним атомом па элементарную ячейку — приведены на рис. 6.16. АНГАРМОНИЧЕСКИВ ВЗАИМОДГгИСТВИЯ В КРИСТАЛЛАХ Прп рассмотрении теории колебаний решетки в предыдущих главах и в данной главе в выражении для потенппальиой энергии мы ограничивались членами, квадратичными по межатомнь1м смешениям.
Постросннрю на этой основе теорию называют гармошшсским приближением. Отзлетим следуюшие сс следствия и особенности: 1. Тепловое расширение отсутствует. 2, Адпабзатические и нзотсрми веские упругие константы соответственно равны между собой. 3. Упругие константы не зависят от давления и температуры, 4. Тсплоемкость при высоких температурах (Т~ 6) становится постоянной. 5, Две упругие волны в решетке не взаимодействуют между собой, отдельная волна с течением времени не распадается н нс изменяет своеяформы. 230 В реал! ных криста,ттах пп Одио пз этих слс.!сзпий то'!но не выполняется. Эти отклоиения связаны с тем, !то в гармоническом приближении мы греиебрегли апгармоиическими членами 1т. с, более высокимп, чем квадратичные) по межагомиым смешениям.
Ниже мы рассмотрим лишь искоторыс простсйпшс явления, спя" анпыс с ангармоипчиостью, За более полиымп п гю1- !зООПЫМ!! СИ ДСШ ЯМИ Чптатело С ТСДУЕт ООРатпт ЬСЯ К ДРУГ!!М ИСТО П!И гПМ. УПЗЗаИИЫМ Ь СППСКС,1П ЕРатУРЫ К ДаИПОй Главе. Йг)п!' '' !НОЙ ломо'.!С!рапи(Й ап!а(зх!ОБ!!чсскпх эффсктОН мОГ!'Г сл! жить эгхсперпз1СН~11 по вз;1пх!Ото!!с!Ни!о .!Нух !бгзнгзиОГ! с об!ртзоп; наем трс!!шо фоноиа с частотой ы, равной с.ммс час исходи!ях, Сиги!Ов! ы =- ы! + !1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
