Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 39
Текст из файла (страница 39)
6.6 и 6.7); он в случае больших систем ни в чем существенном не меняет физики задачи. При этом решение в виде бегущей волны имеет вид сс, = и(0) ехр(с'(зКа — сок/)], а разрешенные значения К таковы: К=О, .4- —, .+ ь, ~ ' (6 20) 2л 4л бл Лсл Этот прием дает то же число состояний (по одному на способный смешаться атом), что и (6.18), ио теперь К принимает как положительные, так и отрицательные значения, а интервалы между соседними значениями К одинаковы и равны ЛК = 2лД.. В случае периодических граничных условий число мод на единичный интервал значений К равно А/2л для К в интервале — л/а < К ( л/а и нулю для всех остальных значений К Если для удобства расчета мы хотим ограничиться положительными значениями К, то опять придем к значению Ил.
Ситуация в случае двумерной решетки и,тлюстрируется на рис. 6.8. 2!7 Рнс, 6.6. Рассмотрим Л' частиц, расположенных по пруту на равном расстоянии друг от друга, причем нх движение ограинчено зтнм кольцом н сводится к колебаюшм относительно полозкенпй равновесия, как если бы онп были соединены упругнмц пружвнамн. Случай нормальных колебаниИ отвечает перемещению и, атома з, описываемому Функцией з1п зКа или соз зКа; зтн колебания независимы. Вследствие периодичности вдоль кольца граничвое условие имеет вид: и, =и, т.
е. ~игл» .УКа должно быть целым крат- У-~-3 м ным 2п. Лля сну чак У = 8 допустимые независимые значения К таковы: О, 2я/Яа, 4п/Яа, Ял/Яа, Вл/Ва. Значение К = 0 имеет смысл только для Функции соззКа, поскольку з!пзОа О. Значение К=Вп/Ва имеет смысл также только для соз зКа, поскольку з)п (зВяа/Ва) = Мп зп = О. Три остальных значения Л' годятся как для з)п, так н для соз н дают в целом восемь допустимых нормальных колебаний (мод) в случае восьми частиц. Итак, периодические граничные условия приводят к тому, что число допустимых нормальных колебаний оказывается равным числу частиц, т, е, точно тот же резуль.
тат, что и для грзничных условий закрепления концов цепочки (рис. 6.6). Если функции, опнсываюшие нормальные колсбання, записать в комплексной ФоРме: ехр (/зКп), то периодические граничные условия привели бы нас опять- таки к восьми нормальным колебаниям со следующими значениями К: О, .ьйп/Уа, -ь 4ч/уа, шбя/Уа, Вя/уа (для Л' = 8) — тот же результат, что и (6.20). Рис. 6.7. Допустимые значения волнового числа К для периодических граничных условий в случае линейной цепочки данной Л (одномерной решетки) прн Л' = В (из восьми атомов). Решение К = 0 отвечает однородной моде. Точки =~-Уя/Л отвечают одному и голу же решению (ем" совпадает с е "Я!); поэтому нмеетсн восемь разрешевных мод; смешепве атома с номером з описывается функциямн: 1, ехр (ш/ла/4), ехр (ш/лз/2), ехр (ш/Знз/4), ехр (!яз).
Нам необходимо знать функцию Ы(ш) — число мод на единицу длины интервала частот. Число состояний Ы(ш)с(оз в интервале с(оз вблизи ш можно записать в виде Ь г/К Л Ым Ы(ю) Й»= — — с(ю= — — ° и уы и уы/л'К ' (6.21) Групповую скорость ~/г»/дК мы можем получить из закона дисперсии аз(К). Функция Ы(со) имеет особенность и тех слу- .218 О О о а а о о~ о а о о чаях, когда график функции со(К) пдст горизонтально, т. е, на горизонтальном участке групповая скорость равна нулю.
В приближении Дебая, когда среду можно считать непрерывной, полагают ш(К) = оК. так что дгго(с(К = и — постоянная скорость звука. В одномерном случае из (6.21) для Ы(ш) по лучам: Ы(ш) = — при го» (— (6.22) и Ы(ш) = — 0 в остальных случаях. Спектр обрезается при шо — — ьл(а, чтобы полное число нормальных колсбаний было правильным, т. е, равным Л' — числу частиц. Выражение (6.22) есть плотность мод для каждого типа поляризации.
Если для каждого значения К имеется три моды (для трех типов поляризации), то и (6.22) надо просуммировать по трем поляризациям, используя соответствующие значения скорости звука о для капы!ого типа поляризации. Для Л' эйнштейновских осцилляторов, имеющих частоту шя, получим: !У)(ш) = Л' б(ш — ше)г (6. 23 а) где б — дельта-функция Дпрака, Она обладает тем свойством, ,что ! с(х !"(х) б (х — а) = !'(а) (6.23б) для любой функции у(х)'. В пределе дельта-функцию Дирака можно рассматривать как функцию с единственным очень ост- рым пиком, 2!9, Рис. 6.8. Разрешен~не значения фононного волнового вектора К в фурье- пространстве для плоской квадратной ешетки с постоянной решетки о ериодические граничные условия применимы здесь только внутри квадрата со стороной ь = !Оп. Однородной моде отнечаег значение К, помеченное двойным кружком. Элементу поверхности с плошвдыо (2л/1Оа)з = (2л!ь)' огне чает одно разрешенное значение К так по пнутри круга с площадьш лКз имеется округленно лКз (Ц2л)з разрешенных точек.
а а а -Ь о Ь а а о а о а о О О о о 01 К а о а о о о! о ! а 1а о о о о о о/ о l Дисперсионный закон для цепочки одинаковых атомов при учете взаимодействия лишь ближайших соседей обязателшю имеет вид (5.23) для взаимодействия параллельных слоев; ! ш = ш,„~ з!и — Ка~, 2 (6.24) где а — межатомнос расстояние, ш ,„ — максимальная частота. Разрешив (6.24) относительно К мы получим К как функцию ш: К = — агсейп —, 2 . О (6.25) а Ы~пат откуда аК 2 1 (6.26) аы а (ыз,,х — ы )ь Согласно (6.22) для плотности мод получим; ~ (ш)— (К И. ! Мах (6.27) пб, .4 (~ 6Р уа х" ' 2 ~/азааа Рпс. 6.9.
11лотность мод Ж(в) для фоионов н случае модели цепочки одинаковых атомов с учетом взаимодействия лишь блшкайших соседея (см. формулу (6.27)). Пунктиром показана для сравнения плотность состояний в дебаевском (континуальном) праближевии, рассчитанная из (6.22) для той же скорости звука в пределе низких частот.
Видно, что для цепочечной модели имеет ыесто особенность, которая в дебаевском приближение отсутствует. ахебаевский спектр должен быть обрезан на частоте ы =пыш, /2, поскольку общее число разрешенных состояний должно быть равно числу атомов.
220 График этой функции приведен на рис. 6.9. Функция имеет особенность (разрыв) вследствие обращения в нуль производной с(ш)с(К при К = Ыа. Дпсперснонный закон для линейной попочки (одномерной решетки), составленной из атомов двух сортов, имеет вид (5.36), г(ри этом предполагается учет взаимодействий соседей, следующих за ближайшими.
Лля акустической ветви функция плотности мод будет подобна (6.27); для оптической ветви (той же цепочки) функция плотности мод имеет особенности на предельных (верхнем и нижнем) значениях частот. Если масса одного сорта ионов много больше массы ионов другого сорта, из (5.36) легко заметить, что частота колебаний оптической ветви приближенно не зависит от волнового числа. Здесь производная пш/г(К близка к нулю, и плотность мод на оптической ветви можно для соответствующего интервала частот аппроксимировать дельта-функцией.
Именно в этом случае мы имеем пример возможности использования модели Эйнштейна. Тепловая энергия акустических мод может быть аппроксимирована моделью Дебая, а энергию оптических мод можно трактовать на основе модели Эйнштейна. Энергии и, следовательно, теплоемкости этих двух типов мод аддитивпы. откуда получим: Следовательно, на объем (2п/х'.)з в К-пространстве приходится одно разрешенное значение К, и поэтому число разрешенных значений К на единицу объема в К-гзространстве (для каждой ветви и данной поляризации) равно где )г = й' †объ кристалла. (6.30~ Вывод выражения для м>(ы) в общем случае ').
Здесь мы собираемся вывести общее выражение для Я(ы) — числа мод (нормальных колебаний) «а единичный интервал частот при известном законе дисперсии для фононов «ЧК). Число разрешенных значений К, для которых частоты фононов лежат в интервале между ы и ы+ г)ы, согласно (6.30) равно м>(ы)г)ы=(~ ) ~ с(зК.
(6.31) зьси Здесь интеграл беретсв по объему слон (зьеп) в К-пространстве, ограничен'Ч Пг, „~„„„;„н ни 221 Плотность мод в трехмерном случае. Рассмотрим трехмерный случай, когда модель кристалла представляет собой куб со стороной Ь, содержащий Лгз элементарных ячеек, и применим периодические граничные условия. Разрешенные значения К в этом случае определяются условиями; ехр [1(К,х+ Кзу+ К,з)) =— == ехр (1(К„(х+ Е) + Кз(у+!.) + К,(г+ 1))), (6.28) плэй Рис. 6.10а. Элементарная"площадка г(5„на поверхности постоянной !астоты в К-пространстве.
Объем слоя между двумя поверхяостями постоянной гзстоты ю п са + гйа равен ~ г(5 Ыеэ((йгабдю) Рис. 6.106, Величина г)Кх есть расстояние меасду поверхностями постоянных частот ю и ю + с(ю, взятое вдоль нормали к ним, поверхности частота равна са, иа другой ю + г)ю. Задача в сущности сводится к определению объема этого слоя. Пусть 35„— элемент площадв иа поверхности в К-пространстве (рис. 6.!Оа), на которой частота постоянна в равна ю.
Элементом объема слоя между поверхностями постоянных частот га и ю + сгю будет прямой пилиндр с основанием т)5а н высотой с(Кх! следовательно, и'зК = ~ г(5 с(Кд (6.32) зьеи Здесь дКх — расстояние между поверхностямн ю = сопя( и ю+ г(ю = сопя(, взятое вдоль нормали к ним (рпс. 6.106). Значение 3Кх при переходе от одной точки поверхности к другой может изменяться, Градиент в К-прострап. стае частоты а, т.е. ртгю, тзкэке направлен вдоль нормали х поверхности и = сопз1, п поэтому величина ) т ~ ю ! с(К „= с(ю (6.33а) представляет собой разность значений частот в точках, где нормаль дКх пересекает поверхности, Итак, за элемент объема слоя моэкио принять произведение 65 с(К, =35 =35 Нв г(ю ° ((ткю( = (6.336) где о =((утгю( — вели'шнз групповой скорости фопона. Тогда (6.31) можно и записать в виде г й чаГ г(5е и! (ю) г1ю = 1Ч вЂ”,' ) и! — ~ г(ю.
2п ох (6.33в) Разделив на г(ю правую и левую части этого соотношения и вводя (объем крнсталла), для плотности мод получим: (6.34) В контпнуалыгом (дебаевском) приближении скорость звука считается постоянной; ю(К) = пК. Полное число йг мод с волновым вектором, меньшим К согласно (6.30) равно произведеникз ооъема сферы радиуса К на число мод, приходящихся на единицу объема, т. е. па (ь)2я)з) итак, для каждого типа поляризации имеем: й(= ( —.,',) — ',.'" К'= ( —,;„)' ';";„' = —,'„'",„,, (6,36) Следовательно, плотность мод Ы(со) для каждого типа поляризации равна Ы(ю) = — „' (6.36) Если образец содержит йг элементарных ячеек, то общее число мод акустических фопонов равно йг, и частота ао, па которой обрезается непрерывный спектр, определяется соотношением ,(6.35); (6.37) Г„зозы юз = й )/ 0(гэу Рис.
6.11. Плотность нод Я (ы). Если принять скорость фононов постоявной, то при интегрировании в К-про. странстве по сфере Дебая получим заштрихованную область; прн интегрировании по нервов зоне ьрнллюаиа (для моноатоиной простой кубической решетки) вместо разрыва при ы = ы, нолучим в этой области по~званную тонкой сплошной лидией кривуаэ, 223 Здесь ш~теграл берется по поверхности и = сопМ в К-пространстве.
Этот резульгат относится к одной ветви дисперсаонно'о закона и может быть использован также в теории элентронцых энергетических эон (сн. главы 9 и 1О). Особенно интересен вклад в Ы(ы) от тех точек, для которых групповая скорость равна нулю. Такне кргп ические точки явля1огся особенностями функции распределения (они известны как сннгулярносгн ван Хоза (см. [4), а также (5, 6)). Элементарное рассмотрение вопроса дано в Приложении С, где показано, что седловые точки поверхности ы(К) имеют особенно важное значение. Ро РР РР 1Р Чюспщпт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
