Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 38
Текст из файла (страница 38)
грр лБ зрр Температуре, '.~' Теплоемкосгь при постоянном объеме определяется соотноше- нием (6.1) где 5 — энтропия, Š— внутренняя энергия, Т вЂ” абсолютная температура. Экспериментальные факты, относящиеся к теплоемкостп типичных неорганических твердых тел, можно резюлмзровать в следпощцх трех пунктах: 1. Прн комнатных температурах значения теплоемкости почти всех твердых тел близки к ЗЛгйз, т.
е. 25 Дж1моль град, нли 6 кал(моль град. 2. При низких температурах теплоемкость заметно уменьшается 1см. рнс. 6.1) и в области аосолютного»уля температур приближается к нулю по закону Т' для диэлектриков и по закону Т для металлов. Если металл переходит в сверхпроводящее состояние, то закон уменьшения теплоемкости более резкий, чем Т. 3. Б твердых магнетиках во всем температурном интервале, где имеет место упорядочение в системе магнитных моментов '), значительную долю полной теплоемкости составляет вклад, связанный с магнитным порядком. Ниже 0,1еК упорядочение ядерных моментов также может дать весьма значительный вклад в теплоемкость.
Нормальные колебания решетки являются независимыми, если для данного твердого тела можно считать применимым закон Тука. Энергия нормальных колебаний решетки в этом случае зависит только от их частоты еь квантовых чисел и фононных состояний и не зависит от заполнения каких-либо других собственных состояний решетки 1ыод). В состоянии теплового 212 ') Изменение степени упорядочения всегда означает изменение величины зптропин, а следовательно, и появление вклада в теплоеьпсость, 'е 1 '5Е 1/5-1 3 Рас.
6лв График функции распределения Планка. Видно, что прн высоких температурах зависимость среднего значения квантового числа и от температуры имеет линейный характер. График функции (а) + '/з, ко. торый здесь не изображен, при высоких температурах аспмптотически щшближается к пунктнрной прямой. Пунктирная прямая соответствует классическому гределу 5 -.; т/45, равновесия при температуре Т средние значения квантовых чи- сел п даются формулой Планка (и) —,, или (а)+ —, с!)т, ., (6.;) в представляющей одновременно функцию распределения фононон по частотам; здесь символ (...) означает среднее при тепло- вом равновесии, йв — постоянная Больцмана. График зтоп функ- ции распределения приведен на рис.
6.2. -Л '5 (т = Л (6.3) йл тогда для отношения числа осцнллшоров, находящихся в л-и чвшповом со. стоянии, к общему шолу осцпллягоров имеем: 5 ,ьшт (6.4) у Х вЂ” 5 5 МИ Х е 5 О 5 О Из (6.4) видно, что для системы осциллятороп среднее значение ивантового числа и, отвечающего возбужденному состояшпо, равно: Х- -зла!г (л) = х — 5аи/т е (6.6) ') Сьс главы 9, !Б н !6 в книге Кнттеля Щ. 2(3. Вывоц функции распределения Планка '). Рассмотрим систечу нденщ;чных гармоническцх осцилляторов в состояния теплового равновесия. Отношение числа осшшляторов в (л+!)-ч возбужденном квантовом соС~ОЯНШ5 (Уищ) К ПХ ЧИСЛУ В Л.Н Кзаитезнц СОСтОЯННП (М„) РаВНО фаКтОРУ Б,льцмана. Выполнение суммирования в знаменателе сводится к суммированию члег нов бесконечной геометрической прогрессии; х'=— 5 (6.6) где х = ехр( — Ьы/т). Легко выполнить и суммпропанпе в числителе, поскольку ',"г'зх =К вЂ” ~~'х- (6.7) Итак, выражение (6.6) можно псрепасать в виде закона распределения Планка; х 1 (п) (6 8) 1 — х е"!т — 1 Из гРафика на Рис.
6.5 видао, что пРи вы <Япт иысемг (и) яа й Туйпь (6.9) поскольку е яа1+ — + зегт Ь» (6.10) Когда имеет место (6.91, говорят, что заполнение состовиий — класси ческое, в том смысле, что зпергия кагкдого оспяллягора равна (и) а»г яи йзТ, Грубо приближенно зто выполняется даже прп йс»!557 яе 1, Г!ри низких гем- ПСРатУРаХ ОтггпжсггггЕ аагазТ » 1, И ДЯЯ (И) МЫ ИМЕЕМ: (и) а (63 !) Модель Эйнштейна. Средняя энергия линейного осцнллятора с частотой ог равна (п)йы.
Энергия Е системы нз йг одномерных линейных осцилляторов, имеющих одну н ту же резонансную частоту ог, равна просто сумме энергий осцилляторов: Е = гг( (и) ггпу = г иж (6.12) Тогда теплоемкость Сп этой системы осцилляторов с, †( †) †.и,( †) (6.13) График этой функции подобен графику, приведенному на рис.
6.3. Таков, по эйнштейновской модели, вклад, который дают г)г', осцнлляторов одинаковой частоты в теплоемкость твердого тела. Если вместо х7 взять ЗЛг, поскольку каждый из тч' атомов имеет три степени свободы, и предельный случай формулы (6.13), отвечающий высоким температурам, то мы получим для С„значение 3)!!йа, т. е.
значение, соответствующее эмпирическому закону Дюлонга и Пти. При низких температурах резуль,тат (6.13) предсказывает уменьшение теплоемкости (см, рис, 6.3), но при этом (6,13) дает закон уменьшения вида Д14 чь ф Ц м 2 сф Р2 Щгт Рб ОВ у,гу д г Сг е-а ", тогда как эксперимент, как известно, дает для решеточного вклада в теплоемкость закон Сг — Т'. (Этот закон можно получить нз расчета по модели Дебая, рассматриваемой ниже.) Ограниченность модели Эйнштейна состоит в том, что его предположение о равенстве частот всех упругих возш в твердом теле является слишком сильным. Но тем не менее главное, что хотел показать и показал ') Эйнштейн, состоит в том, что колебания механических осцилляторов нужно квантовать точно так же, как Г1ланк квантовал осцилляторы излучения. Эйнштейн, применив модель твердого тела как системы осцилляторов, убедительно объясггил, почему при Т-ьО теплоемкость твердых тел резко уменьцсается до нуля.
Однако роль модели Эйнштейна этим не ограничивается: ее часто используют и теперь для аппроксимации той ветви фононного спектра, которую называют опти геской, т. е. для описания оптических фононов. Подсчет числа нормальных колебаний, При тепловом равновесии энергия Е набора осцилляторов с различными частотами шк Ранна сУмме их энеРгий Йшк1 Х 'тик) йшк (б. 14) где каждое значение (и ) относится к какому-то значению шк в распределении Планка.
Часто оказывается удобным сумми. рование в (6.14) заменить интегрированием. Пусть число нори ) Сл~ по этому поводу заметку Клейна, где он касается истории во" проса (31 215 Рис. 6.3. Сопоставление экспериментальных данных дтя температурной зависимости теплоемкости алмаза с теорети ~вской завнсптсостью (пунктирная нривая), построенной па основе зйнштейковской модели для случая, когда характеристическая температура 6 = Лы/й взята равной 1320 'К, с)з'обы перейти к единппам Дзк)моль оград, значения по ося ординат надо умножить на 4,186. (Из работы Эйнштейна [2).) Рис.
6УО Линейная решетка (цепочка) из й/+ ! атомов при йГ = 10. Гранич иые условия для конечных атомов отвечают случаю закрепления концов цепочки, т, е, атомов з 0 н з= !О При нормальных колебаниях частицы могут смещаться либо вдоль, либо поперек цепочки; смещение может быть описано функцией из мп зКа. для такой функции граничные условия автоматически выполнены: для а=о имеем сразу из=о, а пели«ииу К мозкио выбрать такой, чтобы смешение обращалось в нуль и на другом конце, т е, для з = 10.
мальных колебаний (мод) в интервале частот между ю и в+ с(ю равно Ы(ю)г(ю. Тогда энерп!я Е =- ~ Йо Ю (ю) (а (ю, Т)) йю. (6. 15) Зная Е, легко найти теплоемкость простым дифференцированием Е по Т, что сведется к дифференцированию (п(со, Т) ). Главной проблемой станет нахождение Ю(ю) — функции, даюцгей число состояний на единицу длины интервала частот. Згу функцию называют функцией плотности состояний или плотностью мод.
Функция плотности состояний в одномерном случае. Рассхзотрпм сначала задачу об упругих колебаниях одномерной цепочки частиц (см. рис. 6.4); пусть Лг + 1 — число частиц, а — расстояние между ними, Š— длина цепочки. Предположим, что частицы з =0 и з = М находятся на концах цепочки и закреплены, Каждое нормальное колебание (мода) являегся стоячей волной: иа = и (0) е ' " з )п зКа, (6.16) где юк зависит от К в соответсгвии с дисперсионным законом в смысле гл, 5. Здесь число допустимых значений К ограничено О гг Ьг % й7а Рве. 6.6.
Граничное условие закрепления, т. е. требование, чтобы Мп зКа = 0 при з = 10, может быть удовлетворено выбором значений К = я/!Оп, 2л/10а.... .. „Ои/1Оп, где 1Оа — длина цепочки /.. На рисунке изображено одномерное К-пространство для цепочки. Здесь точки — не атомы, а допустимые значения К.
Из /т'+ 1 частиц цепочки перемещаться могут только Л' — 1 частиц и в наиболее общем случае их движение может быть описано при помощи всех М вЂ” ! значений К. Квантование К не имеет ничего общего с квантовой механикой; это просто классическое следствие граничных условий для случая зикреплевия конечных атомов цепочки.
Лля каждого значения К имеются три тапа поляризации: два поперечных (одно — когда частицы перемещаются вверх и вниз в плоскости рисунка, другое — перпендикулярно к этой плоскости) н одно продольяое, когда частицы перемещаются влево и вправо вдоль цепочки, 216 и определяется граничными условиямп (в данном случае закреплением конечных частиц цепочки), а именно (см, рис. 6.5) получим следующий набор значений К: л 2л Зл !У вЂ” !)л (6.17) Функция, описывающая смещения и дающая решение для случая К=.-л//., имеет вид и, — з)п (зла/Л), (6.1 8) Она обращается в нуль прп з = 0 и при з = Лс, как того и требуют граничные условия. Для случая К = Лсл/Л = л/а = К„,„„ имеем: и, Йп зл.
(6.!9) В этом случае смещения ие допускаются ни для одного атома, поскольку з)п зч = 0 для люоого з. Итак, имеем согласно (6,17) Л' — 1 допустимых независимых значений К. Это число равно числу частиц, которые могут перемешаться. Каждому такому значению К отвечает решение вида (6.16). В случае одномерной цепочки частиц (одномерная решетка с постоянной решетки а) имеется одно нормальное колебание (мода) иа каждый интервал значений К, равный ЛК = л/С, так что чнсло мод на единичный интервал значений К равно Л/л для К ( л/а и нулю для К ) л,'а.
Имеется и другой прием подсчета числа состояний, часто используемый и по существу вполне эквивалентный. Рассмотрим неограниченно протяженную среду, но потребуем, чтобы решения были периодическими иа больших, но конечных расстояниях Л, так что функция смещения и(за) = и(за+ Л). Этот подход известен под названием периодических граничных условий (см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
