Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 35
Текст из файла (страница 35)
39) Зависимость ю от К показана на рпс. 5.17а для случая М~ ) М . Колебания частиц в поперечной акустической (ТА) н поперечной оптической (ТО) ветвях показаны на рис. 5.18. Для оптической ветви при К = 0 из (5.34) и (5,37) можно найти: и м. (5.40) с М, Этот результат показывает, что атомы при оптических колебаниях движутся навстречу друг другу, причем так, что центр пх масс в ячейке остается фиксированным. Если ионы зарягкеньг противоположно, то движение ~акого типа можно возбудить электрическим полем световой волны '); по этой пРичине верхняя ветвь кривой на рис.
5.17а и была названа оптической '). ') Влиянием на воны магнитного поля световой волны можно пренебречь, так как в выражение для силы, действующей со стороны магнитного поля на электрический заряд нона, входит отношение э/с, где с — скорость движения иана в решетке. а) Частоты поглощения в оптической ветви лежат в инфракрасной обла. сти спектра. 192 Рис.
Б,!8. Поперечные оптические п поперечные акустические волны одинаковой дгишы волны в двукатомной линейной решетке, нллюстрирурошпе колебания частиц двух видов колебаний (оптического и акустического] 0алрдргллл рв рл Лкудпрчаглпн гроул Н=О. В этом случае атомы (и центр их масс) движутся вместе, как при длинноволновых акустических колебаниях (5.38); отсюда и возник термин: акустическая ветвь, ОПТИЧЕСКИЕ СВОИСТВА В ИНФРАКРАСНОЙ ОБЛАСТИ СПЕКТРА Теперь рассмотрим, как действует электромагнитное излучение в инфракрасной части спектра (инфракрасные фотоны) на р рл. ,„> р Ром фотон рассеивался с образованием илн поглощением фонона, Ка гтель 193 Если кристалл поглощает фотон с образованием одного фопона '), то условие сохранения волнового вектора приводит к раВСНСтву Йфатое = Кфоиое, ЗИВЧСННН ВОЛНОВЫХ ВСКТОров фОТОНОЗ на соответствующих частотах (-10" Гц) имеют порядок величины 10' см' ', но значения волновых векторов фононов доходят до 1О' см-'.
Таким образом, фононы, образованные фотонами в прямых процессах, имеют малые волновые векторы. Заметим, что из рис. 5.!7а вытекает отсутствие решений уравнения для волн, распространяющихся в двухатомной решетке, когда частоты заключены в интервале между у2С/,11, и г Тгг2С!Мз Этот факт является характерной особенностью распространения упруггьх волн в многоатомиой решетке. Можно сказать, что в этом случае имеется заггреы1еннпя об.гнсгь частот, расположенная у границы Кп„„= гвл/а первой зоны Бриллюэна. В этой области не существует решений для вещественных значений К и Волновой вектор является комплексной величиной, так что любая волна с частотой, попадающей в запрещенную область, сильно поглощается.
Лпалогичный эффект для фотонов описан в Приложении А. Другое решение, помимо (5.40), соответствуюгцее малым значениям К, отвечает равенству амплитуд При больших значениях длин волн или при К = 0 смеще. ння и„в, не зависят от индекса з. Уравнения движения (5.34) в локальном электрическом поле Ее ' ' с добавлением членов, описывающих действие этого поля, примут внд — ааМ,и = 2С (о — и) + еЕ, — ааМгв = 2С(и — о) — еЕ. (5.41) Разделив первое уравнение на Л1ь а второе на Мз и вычитая второе уравнение из первого, получим: ед1н и — о= "г (5 А2) где 1 1 1 з аС 31, +М, г (ог.43) Здесь р — приведенная масса пары ионов, а аг — частота, соответствующая К-э-0 для оптической ветви. Из (5.42) видно, что при а = аг будет наблюдаться резонанс.
Приложенное электрическое поле вызывает смещение положительных и отрицательных ионов в противоположных направлениях и полярнзует кристалл. Диэлектрическую поляризацию Р можно определить как дипольиый момент единицы объема. Если в единице обьема имеется Л' положительно и Л' отрицателшю заряженных ионов, то вклад в поляризацию в результате относительного смещения этих ионов можно записать так: Л'ез,'В Р= 1Х'е(и — о) =,, "., Е. аг (5.44) аз е (а) == е (оо) + —,—, [е (О) — е (оо)), "г (5.45) что показано на рис.
5.19а. Этот результат справедлив для кубического кристалла, имеющего два атома в примитивной ячейке. Здесь а(0) — статическая диэлектрическая проницаемость, а ') В гл. 13 показано, что локальное электрическое поле в узле кубике. ской решетки равно Е+ 4лР13 в системе СГС или Е+Р)зее в системе СИ, 194 Заметим, что прн а = <в, наблюдается резонанс. Электрическое поле Е, входящее в )равнения (5Л!) — (5.44), есть локальное электрическое поле') и оно не осязательно совпадает со средним макроскопическим электрическим полем, входящим в уравнения Максвелла. Этот вопрос будет обсуждаться в гл.
13. Однако уравнение (5.44) всегда приводит к частотной зависимости диэлектрической ь1 оницаемости, которую в общем виде можно записать так: Х з«м д Рис. 5.19а. Граф««к зависимости е(а), выражаемой уравнением (5Л5) при е (со) = 2 и е (О) = 3 Диэлектрическая проницаемость отрицательна в интервале частот от ы = еэ да ы = ь = ы = ('lз) Ьыг, т. е.
между полюсом функш!и е(ы\ и нулем этой функции. Падающие на поверююсть среды злектромагвнтпые волны с частотой в интервале ю < а < «э не будут распространяться в среде, а будут отражаться от се границы. Здесь для всех двэлектрнческих функции е приведены относительные значения. э Хч Рис. 5.195. Относительнак диэлектрическая функция (вешественная часть) Эгиду измеренная для широкого диапазона частот, показывающая уменьшение ионной полярнзуемости па высоких частотах.
(А. топ Н«рре«.) урз ур' гааз тря;ры уд ' уу' «игл«спи, е(сю) — высокочастотная (оптическая) диэлектрическая проницаеу«ость, обусловленная смещением электронных облаков. Экспериментальные результаты показаны на рнс. 5.19о. МУЛИ И ПОЛЮСЫ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ФУМКИИИ е(«э) Неожиданным результатом, который следует из (5.45), является то, что электромагнитные волны не могут распространяться в некоторой (запрещенной) области частот шз <ю <ют — ю е (О] г ь — ге( ) (5.46) Соотношение в правой части (5.46) определяет частоту юь) знаИен««е юь мы дадим ниже„С учетом (5.46) соотношение (5.45) 7э 195 можно переписать так: „2 2 е (в) = е (оо) 'г (5.47) Для частот в интервале от вг до вь диэлектрическая функция отрицательна.
Соотношение ьгегкду частотой и волновым числом для электромагнитных волн в диэлектрике имеет вид (СГС) саКа = е(в) в'; (СИ) К' = е(в) еов'. (5.48) Это следует из уравнения электромагнитной волны. Если в является вешествепной и е(в) отрицательна, то К должно быть мнимым, и волна принимает форму ей~я ь е-|К ~ к (5.49) Такая волна затухает в пространстве и не распространяется через кристалл. Она может пройти только через тонкую пластинку, имеющую толшину порядка 1)~К!.
Отсюда и возникает выражение запрещенный интервал: если на кристалл падают волны с частотами, заключенными в интервале между вг и вы то онн будут отражаться. Этот запрешениый частотный интервал 'А'( о-г/ Е Е1 + + Е~ — ь- Е 70 фонан 1.0фонон 196 1гнс. 6.19я. Наборы стрелок предстанляют относительные смеще>шя положительных ионов и определенный момент аременп для волны а оптической моде, распространяющейся вдоль осн з. Показаны плоскости узлов (нуленое смещение); для длнннояалноных фононоа узлоные плоскости отделены друг от друга многнмя атомными плоскостямн. В поперечной оптической фононпой моде, показаннон на рисунке слева, смещение частицы перпендикулярно к волновому вектору К; макроскопяческое электрнческае поле а бесконечной среде будет дейстаоаать только а напразленнн щ х для показанной моды, н сямметрней задачи обусловлено, что длх/дх = О.
Отсюда следует, что б!ч Е = О для поперечных оптических фононон. В продольной оптической фононной моде, показанной на рисунке справа, смещения частицы н, следоаателыв, диэлектрическая поляризация Р параллельны волновому аектору. Макроскопнчсское электрическое поле Е удоалетаоряет соотношению хг = Е -~- йпР = О и системе СГС н а,Е+ Р = О а системе СИ; симметрией обусловлена параллельность Е н Р осн я, н ОЕя)дяФО. Таким образом, Рйт Е~О для продольных оптических фононон, н а (ге) Шу Е разно нулю, только если е (гя) = О.
существенно отличается от интервала, в котором наблюдается брэгговское отражение, потому что инфракрасное отражение не связано с периодичностью кристаллической решетки, Верхней границей запрещенного частотного интервала является частота оэс, при которой правая часть соотношения (5.47) обращается в нуль; е(ыс) = О. (5.50) Частоту оэс, определяемую соотношениями (5.46) нли (5.50), можно идентифицировать с длинновалновой оптической фононной частотой для малых К Эту на первый взгляд неожиданную связь можно подтвердить некоторыми обгцими рассуждениями, например, следующим образом.
Уравнение Максвелла с(!у14= 0 илп е(ю) с(!уЕ=О (5.51) имеет два типа корней. Для одного типа корней условие д!с Е = 0 всегда удовлетворяется, если вогшовой вектор .К перпендикулярен Е, как в случае поперечных оптических колебаний (см. рис. 5.19в). Другой тнп корней возникает, когда в(ю) = 0 !соотнопгенпе (5.50)]; для этого корня 1) = О, что характерно для продольных оптических колебаний '), После такого определения корней становится ясным физический смысл величины етс !соотноптение (5.45)]; итак, имеем; ыг е( (5.52) ыз е (О) где еэт — частота поперечных оптических колебаний, оэг — частота продольных оптических колебаний; оба значения — для малых К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
