Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Г л а в а 5. ФОНОНЫ И КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ 171 ''Нз 174 КВАНТОВЫЙ ХАРАКТЕР КОЛЕБАНИЙ РЕШЕТКИ Энергия колебаний решетки, или энергия упругой волны, является квантовой величиной. Квант энерп(и упругой волны называется фононо,н, который назван так по аналогии с фотоном — квантом энергии электромагнитной волны (рис. 5.!). Вспомним вначале историю возникновения понятия с<фотон». Почти все концепции, используемые в применении к фотонам, например концепция корпускулярно-волнового дуализма, в равной степени хорошо подходят и к фоионам, Звуковые волны в кристаллах можно рассматривать как распространение фоионов.
Тепловые колебания атомов в кристаллах можно рассматРивать как термическое возбуждение фононов, по аналогии с термическим возбуждением фотонов, из которых состоит излучение абсолютно черного тела, !7! Кнантовый характер колебаний решетки . Импульс фонона Неупругое рассеяние фотонов на акустнческах фоно(зх Прпнср. Гспсрання фононов (17бх Неупругое рассеяние рентгеновских лучей на фоновая........, 177 Неупрутое рассеяние нектроноа на фонопах.....,........
178 Колебания в решетке нз одинаковых агомоа ...,....,... 181 Первая зона вриллмэаа ((аз(. Групповаа скорость (1а71, о(ласт» болывнх л нш полн, нли континуа«р,нос приближена ((а71 (зыэисл .шг аэ)овых постоянны из экшыринсатально аалсаято лвсасрснонного закона ((ьэг. Решетка с двумя атомами в прнхплпвной ячейке.......,... 189 Оптические свойства в инфракрасной области спектра ..
.., .. . , 193 Нули и полюсы диэлектрической функции а(ш) .. ., .. ., .. . . 195 Локальные фоноиные колебания 203 Резюме 208 Задачи,.......,...,... 207 Литература, ...,...,,...,,,...,,... 774 Заз аякс«В Гв т Н* СГС (П Гауе«асти Гн.т т 1 О=Г:, Г: Г Ь Э Га ЛяЭЛЗК- огнолнеяьпо ыкутлэ . ~ля (э«раз,уа, се гэбэ! кэ=г(., лэ . (э, г глс с ...э к( нээьгвается пнэлзктрняесков ошшпнса. н а:теис си 17=-ее1.
глс е —.эяэгсктрихсукая ироюо паепо гь н е, .гнэлсктрпчс.кэ ~ про ш юг с э. ъ .эобэгиого пэос ршытаэ; ан. логан Гэ(ы К(=е(ы К(е и (ы К(. Н пышны е н е (ы К( тонге«тасэкы э ыах гсух сн гетрах. Сн. такэкс псрсэеш, сотерн«(анггя в гл 14 («тр. 4Ш(, Рис. 5.1. Некоторые важвые элементарные возбуждения в твердых телах. Условные обозначения этих возбуждении показанные на рисунке, пспопнзумтся в тексте. Происхождение названий зтпх возбуждений обсуждается в работе Уолкера и Слака 11], Квантовая теория возникла в 1900 г., когда Макс Планк показал, что кнантованием энергии можно было бы объяснить экспериментально наблюдаемую зависимость от частоты энергии электромагнитного излучения абсолютно черного тела при тепловом равновесии.
Планк предположил, что энергия каждого видя колебаний электромагнитного поля в полости пропорциональна величине йо. Энергия одного фотона равна и = йп; энеры>я п фотонов в моде колебаний частоты т равна (5.1) а =ийч, где и — положительное целое число или нуль, а постоянная й (иазванная впоследствии постоянной Планка) имеет величину 6,6262 1О зт эрг сек. Для удобства в (5.1) не включен нулевой член '/зйт; однако это не меняет дела.
Соотношение (5,1) чаще записывается через угловую частоту: е = пйсо, где и> = — 2пн — угловая частота, й — = й/2п ж 1,0546 10-" эрг.сек. С одной стороны, из многочисленных дифракцпонных экспериментов следует, что электромагнитное поле обладает многими свойствами волн, а с другой стороны, из планковского закона распределения энергии излучения по частоте следует, что энергия электромагнитного поля является квангованной.
Аналогичная ситуация существует и в случае упругих волн, Первым экспериментальным доказательством квантования энергии упругих воин явилось наблюдение того, что вклад решетки в теплоемкость твердых тел (гл. 6) всегда приближается 172 к нулю по мере того, как температура стремится к нулю; это можно было объяснить только предположением, что энергия колебаний решетки квантуется.
Рентгеновские лучи и нейтроны испытывают неупругое рассеяние при взаимодействии с кристаллами, в результате чего энергия и импульс изменяются таким образом, что эти изменения соответствуют возникновению или поглощению одного или более фононов. Точное измерение эффектов, связанных с такими процессами, позволяет определить свойства отдельных фоионов и в частности установить зависимость частоты от волнового вектора, т. е. закон дисперсии. ИМПУЛЬС ФОНОНЛ Фонон с волновым вектором К взаимодействует с другими частицами или полями так, как если бы он имел импульс ЛК'). В действительности фонон в решетке пе имеет импульса; мы увидим при решении задачи 5.5, что только фоион с волновым вектором К = О имеет физически существующий импульс для типа колебания, соответствующего равномерному перемеьцеиию системы, Однако для большинства практических целей поведение фонона можно рассматривать так, как если бы он обладал импульсом 6К. Ияогда ЛК называют квазиимпульсом.
Для кристаллов существуют правила отоора для значений волнового вектора К, соответстпующие разрешенным переходам между квантовыми состояниями. В гл. 2 указывалось, что для упругого рассеяния (брэгговской дифракции) рентгеновских фотонов на кристалле справедливо следующее правило отбора для волнового вектора: (5.2) где ег — вектор обратной решетки, й и й' — волновые векторы падающего и рассеянного фотонов. При рассеянии кристалл в целом будет испытывать отдачу с импульсом Лег, однако этот вопрос обычно подробно не рассматривается.
Суммарный волновой вектор взаимодействующих волн сохраняется в периодической решетке, ио только с возможным добаплением вектора обратной решетки. Истинный импульс всей системы атрого постоянен. ') Этот достаточно тонкий вопрос обсуждается в работах (2 — 4). Прнчина того, что фононы в решетке не кмеют нмпульса, заключается в том, что координаты фононов (за нсключеннем фонона с К = О) выражаются через относительные ноордннаты атомов. Так, в молекуле Нг каорднната межьядерного колебания г1 — га нвляется относительной координатой н фонон, соответствующнй атому колебанию, не обладает импульсом; координата пен. тра масс )а(г, + гг) соответствует равномерному колебанпю н может иметь импульс.
Если фотон испытывает неупругое рассеяние, при котором образуется фонон с волновым вектором К, то правило отбора для волнового вектора имеет вид') й'+ К = й + 6. (5.3) Если же в рассматриваемом процессе фонон с волновым вектором К поглощается, то вместо (5.3) имеем следующее соотношение: й'=й+ К+ О. (5.4) Соотношения (5,3) и (5.4) аналогичны соотношению (5.2). НЕУПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ФОТОНОВ НА АКУСТИЧЕСКИХ ФОНОНАХ Рассмотрим фотон с частотой м = ш)2л, который распространяется в кристалле. Если кристалл рассматрнвазь как сплошную среду с показателем преломления и, то волновой вектор фотона определяется соотношениями сй с ш= —, или Ху= — ', (5. 5) и ' ' ' н где с — скорость света. Импульс фотона равен р =йй.
(5.6) Пусть фотон взаимодействует с пучком фононов илп звуковой волной в кристалле. Фотон может рассеиваться звуковой ьолной. Это взаимодействие может произойти из-за того, что ') Как пример, мы ззогкем привести математические соотношения, содержашпе различные правила отбора для решетки н для коппзнуума. Предположим, что дэа фонона с аолноньпш пекторазш К, н К азанмодейста) ют так, что этому нзаимодсйстэию соозаегстэуют ангармоничсскпе члены третьего порядка н аыраженнн для упругой энергии (см. гл.
б), н н результате образуется третий фонон с волновым нектором Аз, В эыражение для эероягностн (У столкновения этна фононоа будет эходить пронзаедепне эалноаых амплитуд трех фононоэ, просумзшронанное по эсен узлам решетки: -ГК, г -ГК .г зК г )У ~ е ' "е з "е ' н=~ехр(з(Кз — Кз — К) гн). и и Эта сумма при большом числе узлов стремится к нулю, если только не эы полняются условия Кз = Кз+ Кз илл Кз = Кз+ Кз+ О. Первое услоане является частным случаем второго, Если жс эти условия эьшолняются, то сумыа ранна числу узлоа решетки К. Лналогичная сумма была рассмотрена н задаче 2,5.
Для нонтинуума матричный элемент н той же задаче содержит величину снх ехр (з (Кз — Кз — Кз) г) = (2м)з б (Кз — Кз — Кг), где б — дельта-фуикпия Дирака. Для континуума понятие векторов обратной решетки не вводится; если же их определить как некие предельные характе. ристики, то наикратчайший неиуленой вектор имел бы бесконечную длину. !74 Рнс. 5.2. Схема неупругого рассеяния фотона с волновым вектором л. В результате образуется фонон с волновым вектором К. Фотон, испытавший расссянае, имеет волновой вектор й'.
поле упругих деформаций звуковой волны изменяет локальную концентрацию атомов, а, следовательно, и показатель преломления кристалла. Таким образом, звуковая волна модулирует оптические свойства ср~ды, И, наоборот, электрическое поле световой волны модулирует тпругис свойства среды. В кристалле фотон может испытывать рассеяние, что может привести к образованию или поглощению фонона. При этом волновой вектор фотона и частота изменяется; й — ~й', ез — ~-аз', Предположим, что при рассеянии фотона образуется фонон с волновым вектором К и угловой частотой О.
Схема это~о процесса (рис. 5.2) довольно проста. По условию сохранения энергии йш = йш' + )ть). (5,7) где для простоты пс учтена возможность сочсташш гизоцессов рассеяния и орэгговсзлй дифракцпи, и поэтому соотношение (5.8) пе содержит вектора обратной решетки, который присутствует н (5.3).
Если скорость звука о, постоянна, то П = пзК, так как 7(з/2п = пз. Из-за большого различия скоростей звука и света лишь малая часть энергии падающего фотона мо ьет быть передана фонону. Для фонона с волновым вектором К, сравнимым по величине с волновым вектором фотона й, тюжпо записать, що сй )) » п,К. Л так как ш = сй и ьз = и К, то а » (). Из (5 7) следует, по ш' = аз и й' ж й.
Рнс. 5.3. Диаграмма, нлл~острнрующая правило отбора для пропссса, нзображснного на рнс. 5,2. Волн Ге=я', то треугольник является равнобедренным. Основаннем треугольняка является волновой вектор длиной К = 2к яп(ф/2), пион зг озплгпгг гз 175 Правило отбора для волнового вектора запишется в виде Й=-Й'+ К, (5.8) Если й' ж /з, из рис.
5.3 видно, что К ж 2)г 3!п (ф/2), (5.9) илп, поскольку /е = шп/с [см. соотношение (5.5)1, можно записать: о,К ж — "' з!и(р/2). (5.10) Л так как ь) = взК, то фононы, образовавшиеся при неупругом рассеянии фотонов под углом ф к первоначальному направлению падения, будут иметь частоту о - ' з(п (ф/2), 2а,ыл с (5. 11) где и — показатель преломления кристалла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
