Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 28
Текст из файла (страница 28)
! (4А) В случае неоднородной деформации (рис. 4.3,б) величины а, о и ш должны обозначать локальные деформации. Выбираем начало вектора г в рассматриваемой области, тогда, сравнивая (4.3) п (4.4) и используя разложение )т в ряд Тейлора (с учетом того, что )с(0) = О), имеем; дп ди (4.5) Производные в (4.5) не зависят от начала, выбранного для )т. Обычно пользуются коэффициентами е„р, а не в р. Определим компоненте~ деформаг)ыи е„, еан, е„, используя (4.5), посредством соотношений да дга е = — а = —,; е = — и = —,. (4.6) ду' х' хх дг' ди ех = — е хх — хх— Остальные компоненты тензора деформации е,д, ея„е„можно определить как изменения углов между осями; используя (4,1), Однорядная хетрарнааая Ипаансаадяая дпахарнааая аз 152 рис.
4,3. а) Смещение векторов Ю [формулз (4.4)1 при однородной деформа. ции и б) прн неоднородной деформеции. Нвчзло выбрзно в точке О, в) Произведение А ВХС равно объему параллелепипеда с ребрами А, В, С. Напомним, что произведение ВХС вЂ” вектор, перпендикулнрный к плоскости, в которой лежат векторы В и С, н по величине равный плошади параллелограмма, построенного нн В и С как не сторонах. можно записать: дд дх ' дд +е„= — + хд д дд + ад.= — + дг / ехд=х 'у едх дм ду ' ддд дх едх у г ехд (4.7) ди е„= — г ° х ж е„+ а„, = —. + дг Мы можем заменить знаки приблизительного равенства знаками равенства, если пренебречь членами порядка ад. Шесть коэффициентов е,а (=ее„) полностью определяют деформацию.
Определенные таким ооразом деформации безразмерны. Расширение. Относительное увеличение обьема, нызванное деформацией, называется расширением. Расширение отрицательно для гидростатического давления. Единичный куб с ребрами х, у, г после деформапии будет иметь объем Г=х' у'Хг' (4.8) в соответствии с хорошо известной формулой для объема параллелепипеда с ребрами х', у', г' (см.
рис. 4.3,е). Из (4.1) имеем: 1 + ахх ахд ххх х' . у'Х г' = хдх 1 + хдд дд - -1 + е„ + е д + е„. (4.9) дхк ахд 1 + дхх При получении выражения (4.9) мы пренебрегли произведениями компонент деформации. Таким образом, для расширения получим: Компоненты напряжений. Силу, действующую на единичную площадку в твердом теле, называют напряженнем. Имеется девять компонент напряжения: Х„Хд, Х„У„Уд, У„Х„Хд, 2,. Большие буквы указывают ось координат, вдоль которой направлено действие силы, а индексы указывают ось координат, вдоль которой направлена нормаль к плоскости, к которой приложена сила.
На рис. 4.4 компонента напряжения Х, есть сила, приложенная в направлении оси х к единичной площадке иа плоскости, нормаль к которой направлена по оси х. Компонента напряжения Х„есть сила, приложенная в направлении оси х к единичной площадке па плоскости, нормаль к которой направлена по оси у, Нетрудно показать, что число независимых компонент напряжения уменьшается с девяти до шести. Рассмотрим силы, действующие на элементарный куб (рис. 4,5). Рдз Из условия, что угловое ускорение отсутствует'), следует, что полный момент должен быть равен нулю; следовательно, У, = Хд, Л, = Х„Ху = У„.
(4.11) Итак, в качестве независимых компонент напряжения останутся лишь Х„У, Л„У„Л„Х„ Компоненты напряжения имеют размерность силы на единицу плошади или энергии на единицу объема. Компоненты деформации равны отношениям длин и поэтому они безразмерны. ПОСТОЯННЫЕ УПРУГОЙ ПОДАТЛИВОСТИ И УПРУГОЙ ЖЕСТКОСТИ Закон Гука утверждает, что если деформации достаточно ма. ы, то они пропорциональны напряжениям, т. е. компоненты деформаций являются линейными функциями компонент напряжений: е„= 5нХ» + 5юуу + 5гзХ» + 5ыу» + 5щХ. + 5шХд едд = 5мХ» + 5ю) д + 5г»Х» + 5г»У + 5ИХ» + 5»еХу е». = 5зг Хх + 5зз1 д + 5ззХ*+ 5м)»+ 5ИХ» + 5зеХд еу» 5» ~ Хх + 5»зуд + 5,з2» + 5ИУ» + 5»зЕ» + 5„аХд, (4.!2) е»„= 5мХх + 5муд + 5ззХ» + 5м)'» + 5зз2» + 5зеХд еду =5шХ»+ 5щ)'у+ 5зз2»+ 5м)'»+ 5ИХх+ 5ьвХу.
') Указанное обстоятельство не исключает задач, в которых есть угловое ускорение; это лишь означает, что для определения упругих постоянных можно использовать статический подход, 154 Рис. 4.4. Компонента напряжения Хх есть сила, приложенная в направлении оси х к единичной площадке на плоскости, нормать к которой направлена по оси х; компонента напряжения Хд есть сила, приложенная в направлении оси х к единичной площадке на плоскости, нормаль к которой направлена по оси у.
«д Рис. 4.й. Схема, поясняющая смысл условия У»=Хд для тела, находящегося в равнонесии Сумма сил. действующих н направлении оси х, равна нулю Сумма сил, действующих в направлении оси д, также равна нулю. Полный вращающий момент относительно начала координат также Равен иУлю, если У» = Хд С другой стороны, компоненты напряжений являются линейными функциями компонент деформаций: Х = Спехх + Сме и + Сые„+ Смена+ С„е х+ С!аех„, Уд — — С,!ехк+ С„ела+ С,,е„+ Сэаеак+ С>эехх+ Саеех„, Л, = Сэ,ех„+ С ае, „+ Сазе,к + С,„е„, + Свае,„+ Сэее„„ (4,13) Ук = С„!ех„+ Ск,е„„+ Сазе,к + Сх„е„+ С„е„+ С„ехп, Х х = Смеха + Сьаед, + Саге„+ Са„ех, + Сэаекх + Сэьехп, Хп —— Смеха + Сме„п + Сгае„+ Смен, + Сеэе,х + Сапе„„.
Величины 5г!, 3!э, ... называются постоянньгми упругой пог)атлиеосги, или упругими постоянными; величины Сп, Снь ... называются постоянными упругой лсесткости, или модулями упругости. Применяются и другие наименования. Размерность величин Зос [плегпаль) [объем) [сола) г! [энергнп1 ' Размерность величин Сгг. [он 1 [плошадь) С ° [эпергна) или [объем[ 155 Плотность упругой энергии. Число постоянных 5г! и Сн, которос в общем случае равно 36 [уравнения (4.12) н(4.13)], можно уменьшить с помощью некоторых соображений. Плотность упругой энергии У в приближении закона Гука является квалратичной функцией деформаций (вспомните выражение для энергии растянутой пружины), Таким образом, для Сг можно записать следующее выражение: е е СГ = 2 ~~' ~ Схнгъгн, ь=! н где индексы от 1 до 6 определяются как 1 == хх; 2 = — уу; 3 ==- ««; 4 =— у«; 5 ===- «х; 6 — = ту.
(4.16) Как мы увилим ниже (формула (4.17)], коэффициенты С просто связаны с ввеленными ранее коэффициентами С [см. (4.13) ]. Компоненты напряжений можно найти из производных упругой энергии по соответствующей компоненте деформаций, что следует из определения потенциальной энергии. Рассмотрим напряжение Х, приложенное к одной из граней единичного куба таким образом, что противоположная грань остается неподвижной. Тогда д[> дбг - 1 Хх = — — = — =С!ге!+ — ) (С! + С„) е, (4.16) дехк дег " 2 в=а Заметим, что в соотношения (4.16), которые связывают иапряжеиия и деформации, входит только комбинация '/э(С,в+ + Св ).
Из этого следует, что постоянные упругой жесткости симметричны относительно перестановки индексов: ! Саа = ч (Саа + Сра) = Саа В результате из 36 постоянных упругой жесткости остается лишь 2!. Постоянные упругой жесткости кубических ьристаллоа. Число независимых постоянных упругой жесткости может быть уменьшено и дальше, если кристалл обладает теми или иными элементами симметрии. Покажем сейчас, что для кубических кристаллов остаются лишь три независимые постоянные.
Плотность упругой энергии кубического кристалла можно записать в виде (I = — С„(е'„', + е';„+ е'; ) + —, С„(е-', + е";„+ е-', ) + + С,а (е„, е„+ е„е,„+ е,лона). (4. 18) Это выра>кение ие содержит никаких других квадратичных члеиов, т. е, в ием отсутствуют члены (е„„н„ч+ ...), (е„,е,„+ ...), (е„е„, + ...). (4.19) Кубические кристаллы имеют, как минимум, четыре поворотные оси симметрии третьего порядка '). Эти оси совпадают с направлениями типа (11! ) (рис. 4.6). Вращение иа угол 2л/3 вокруг этих четырех осей приводит к следующим перестановкам осей х, д, 2: Х вЂ” »Р — »2-» Х, — Х вЂ” 2 — — д- — Х (4.20) Х вЂ” 1' 2 — » — Ц - -» Х вЂ” Х вЂ” » ~/ — » 2 — » К, в зависимости от того, какую из осей выбрать за ось вращения.
Если воспользоваться, например, первой из этих перестановок„ то Лиалогичиые операппп могут быть выполнены и для других членов выражения (4.18), заключенных в круглы:. скобки, Таким образом, выражение (4.!Ь) является иивариаитиым относительно рассмотренных операшш. Но каждая из сумм в (4.!9) является непарной в отношении одного и более индексов. Среди перестановок (4.20) может быть найдена такая, которой соответствует вращение, при котором будет изменяться знак сумм ') См. станлартные стсреографпческпе проекнин элементов симметрии точечных групп кристаллов кубической сппгопии в книгах по кристаллографии; класс нубйческнх крис~аллое, имеющнрэ наименьшее шсло осей симметрии, обоэаачаетсп 23.
!56 Рис. 4.6. Врашеиие кубического кристалла вокруг оси 3 иа угол 2л)З приводит к перестановке осей: х †> р, К -э г, г -Ф к ,у в (4.19), так как, например, ек„= — еж уь Таким образом, суммы в (4.19) не являются инвариантными относительно рассматриваемых операций, Теперь остается только проверить, правильны ли числовые коэффициенты в (4.!8). Используя (4.16), получаем: = Х„= Сие„, + С„(е„„+ е„). (4.
21) Появление в (4.21) члена Сне„„согласуется с (4.13). При дальнейшем сравнении мы видим, что Си=Си, Си=Си —— См=О. Далее, нз (4.18) получаем: сц — =Х =Сме,; деку у 'у1 сравнивая с (4.13), имеем См = Се = См = См = Сев = О', Саа= С44 (4.24) (4.22) Таким образом, из выражения (4.18) следует, что для кубических кристаллов набор постоянных упругой жесткости сводится к следующей ма~рице: екк гуу ггг еуг ггк еку х с с с о уу с с; с о г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
