Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Направление смещения частицы совпадает с направлением 1110] и перпендикулярно к вектору К Значения адиабатических постоянных упругой жесткости Сг, Сза н С44 ряда кубических кристаллов при низких температурах и при комнатной температуре приведены в табл, 4.2. Отметим обтцую тенденцию для постоянных упругой жесткости: они уменьшаются с увеличением температуры. Температурная зависимость постоянных упругой жесткости серебра показана иа рис. 4.10, а Ваге — на рис. 4.11. Постоянные упругой жесткости для других кубических кристаллов при комнатной температуре приведены в табл, 4.3. 164 Лныаз Ка 1.! бс 81 ба36 !036 5100 КвС1 Рьпг НЬ1 Свпг С51 10,76 0,073 0,135 1,285 1,66 0,885 0,672 2,83 0,487 0,317 0,256 О,ЗОО 0,246 1,25 0,062 0,114 0,483 0,633 0,404 0,367 0,8? 0,124 0,042 0,03! 0,078 0,067 5,76 0,0!2 0,088 0,680 0,796 0,433 О,:302 1,48 0,12о 0,033 0,023 0,076 0,062 :[ 7.УКР ез ь' йзгтг 7[7Ю с У 7З)7 гап Теклехгтл14тгг, 'К 7[Ж7 Ю 7гтр гну у717 7емплпог~урн, К Рнс.
4.10. Температурная завпсимость постоянных упругой жесткости серебра [б[: а) '/з (Сы + Сы+ 2Сы); б) Сзп а) '/з [Сы — Сд), Эти комбирапии постоянкых находятся из измерения скоростей трех типов упругих волн, распространяющихся в направления [!10[. Рис. 4.11. Температурнзя завнскмость постояаных упругой жесткостк ВаЕт [6[. Полезные таблицы упругих постоянных приведены в работах [7, 9, 10).
Для волнового вектора К, имеющего данную величину и данное направление, в кристалле имеются три вида собственных колебаниг!. Вообще говоря, направление этих колебаний (их поляризация) не строго параллельно или перпендикулярно К. Для частных направлений распространения упругих волн в куоическом кристалле — направлений [100[, [[11[ и [!1О[ — два вида собственных колебаний (из трех) таковы, что для данного волнового вектора К направление колсбшшя строго перпендикуляр. ио к К, а в третьем направление колебания строго параллель. но К.
Лпаг!изпровать характер распространения упругих волн в кристал,тах В зтн! частик|к иг!Прап:!синях намиг,'!о проню, чем в произвольных направлениях (см. [11[). ЭКСПЕГИЕПЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ УПРУШ!Х ПОСТОЯННЫХ 1С!асси:!осипе методы измерения упруп!х постоянных кристаллов описаны в обзоре Хпрмоиа [12[. После появлсния этого обзора пол; шл широкое распространение метод ультразвуковых пмп) льсов (с', например, работы [13, 14[), ко!орь:й отл!и!антса большпмп )дооустваын и может бь!ть использован в самых разнообразных эксперимента.!ьпь!х )слов:!нт.
1!сн!ользуются, однако, п мноп!е друп!е, ис менее подходя!цие .зстоды. В ультразвуко!юм ме!оде ульП!пзвуковон имиу.!ьс от ьварцспого ') преобразователя проходит через исследуемый кристалл и отразившись от его за.шсй грани, возвраишется об(!г!Тпо к прсобразова!сл!о (рпс. 4.12). И«те[!взл времен;! меж..!у испусканием импульса и его приемом пзмсряс.гся с помощью стандартной зле!с!ровно(! схемы (рпс. 4.13 — 4.15). Скорость распространения пол) !ается от деления общего пути па время прохождения. В описываемом устройстве шстота может составлять 15 ййГП, а продолж!Пельность импульса 1 мксск.
Длина волны порядка 3 10 ' см. Линейные размеры образца мо! ут быть порядка ! см. Библиография по ультразвуковой экспсриу!ентнльно!! мета.тике на микроволновых частотах дана Якобсоном (Б. Н. Засойзеп) в книге Бака [16[; см. также [17, 18[. Три постоянные упругой жесткости С,1, Сы и Сы можно определить, зная скорость распространения трех типов волн, которые были нами отмечены выше. Для всех трех типов волн может быть использован кристаллический образец одной и той же ') Пластинка из кристалла кварца может быть вырезана такиы образом, что через пес будет распространяться либо продольная, либо поперечнан волна при возбуждении высокочастотным электрнческин полем, Это поле подается на пластинку через электроды, расположенные на ее противоположных поверхностях.
Теория пьезоэлектрического возбуждения кратко рассматрввается в гл. 13. 166 ЯПЫЧ~аЗбУМдсй гржьтжсскр4 РйРЛУУДЗ аягггосеад адсьтзей Ядггдглл>т ,тЯпгу Рис. 4.12. В методе ультразвуковых импульсов, используемом для определения скоростей упругих волн, ультразвуковой импульс генерируется пьезоэлектрическим преобразователеи. Импульс проходит через исследуемый кристалл и, отразившись от его задней грани, возвращается обратно к преобразователю.
Фиксируется интервал времени между моментом испускания импульса и его приемом. " Яу г)'"наш Рис. 4.13. Блок-схема >стаиовкн, используемой для измерения скоростн внука методом отраженного ультразвукового импульса 115], Генератор пусковь>х импульсов с периодом 1000 мксек запускает тиратронный переключатель, который разряжает конденсатор через АС-цепочку, н импульс указанной 1на Рисунке вверху) формы приклалывается к кварцевому преобразователю, пРиклеенному к образцу, Высокочастотный радноимпульс преобразуется в ультразвуковой импульс, который распространяетси внутри образца, образуя серию отраженных сигналов на экране осциллографа.
Генератор меток времеви н внешний запуск развертка запускаются так, чтобы время между несколькими последовательными отраженными сигналами было измерено достаточно точно. Рк. 4.14. Фотография монокрнсталла алюминия, пох1ещсиного в нружианый держатель для нзмереяця скорости звука методом отраженных ультразвуковых импульсов. Верхняя поверхность кристалла — зто плоскость(110). К этой поверхности ирпклееп кварцевый преобразователь с петаллнческнм электродом для подачи высокочастотного электрического поля. Рис.
4.15. Последовательные ультразвуковые импульсные сигналы, отраженные от граней кристалла. Интервал вреыенп между последоватсльнынп випульсапн измеряется при иаблюдещщ картины на экране осциллографа. Этот интервал — время прохождения ультразвуковым иппульсои двойной длины образца. Затухание волны можно найти по уыеньщени о высоты последовательных иппульсов с учетом потерь на отражение па гранях образна.
Напряжение, снпиаеыос с преобразователя, прямо пропорционально пехаипческоцу напрчжению в ультразвуковой волне. 1Н. 3. МсЗЫщ)п,) ориентировки, но необходимо изменять срез и установку кварцевого кристаллического преобразователя, для того чтобы создать требуемое направление движения частицы в кристаллическом образце. Упругие постоянные третьего порядка. В области применимости закона Г)жа плотность упругой энергии квадратична относительно компонент деформации (см.
выражение (4.14)1. Вне этой области появляются произведения деформаций более высокого порядка. Постоянные упругой жесткости третьего порядка связывают упругую энерпзкз с произведениями трех компонент деформации. Этп постоянные являются постоянными самого низшего порядка из всех постоянных, входяших в описание нелинейных эффектов (гл. 6), таких, например, как взаимодействие фононов и термическое расширение. Эти постоянные третьего порядка могут быть определены из измерения скоростей звуковых волн с малыми амплитудами в статически напряженной среде. В 119, 201 установлено, что экспериментально определенные постоянные упру~ой жесткости третьего порядка находятся в хорошем соответствии с теоретическими предсказаниями.
168 ЗДДДЧИ 4.1. Модуль Юнга н коэффициент Пуассона,. Кубический кристалл подвергнут растяжешно в направлении [100). Найти выражения для модуля Юнга и коэффициента Пуассона через постоянные упругой жесткости. Определение модуля Юнга и коэффициента Пуассона для рассматриваемого сл)чая содержится в подписи под рис, 4.16. Рнс.
4 !б Для показанного на рисунке случая, когда на образец действует одкооспое растягиваюшее напряжение, модуль Юнга определяется как отношение напряжения к деформашш; стороны ооразца не закреплеяы. Коэффццг сит Пуассона прп этом определяется как (бш(ш) . (б)(1). ) ж ч, гс 'ф Ъ~, чь м ш-сгш ш .) ~уфз'~ 4.2. Скорость продольной волны. Показать, что скорость продольной вглны, распростраишошейся в напранленпн [111) в кубическом кристалле, равна оз = ['/, (С„+ 2Сы + -! Сы)гр) ", Уяпзалгге: Для такой волны и = и = ш. Положить и =из ехр [(К (х + р+ з~ьЗ) ехр ( — (ы() и использовать уравнение (4.32а). 4.3. Скорость поперечной волны.
Показать, что скорость поперечных волн, распространяюцшхся в направлении [111) в кубнчсско ~ ~ ристалле. равна оз = [ /з (С~ ~ — Сы + С~ ~)/р) ') Э,чемецты детерминанта равны ал =! — Хбш где Х вЂ” корень детерчинантного уравнения; см. Приложение ).. Здесь б~г — дельта-функция Кроне. кера. Укпзалгге См. задачу 4.2 4,4. Эффективная постоянная сдвига. Показать, что постоянная сдвига (Сы — См)(2 в кубическоь~ кристалле определяется нз условия, что е„ = — е„, = ег2, а все другие компоненты дефорчацнн равны нулю (си.
рпс. 4.17). Указание: Воспользоваться выражением (4 18) для плотности упругой знершш; искать постоянную С' из условия, что () = С'е",2. 4.о. Детерминантный подход (метод определителей). Известно '), что )С-мерная квадратная матрица, все элементы которой равчы единице, имеет корни (т и О, причем значению (( равен один корень, а пулю равны )( — ! кор. ией.
Если псе элементы имеют величину р, то корни равны )(р и О. а) Показать, что если диагональные элементы равны д, а все другие элементы равны р, то имеется один кореяь, равный ()с — !)р + 4, и й — ! корнев, раиных 4 — р.
Неуе(еолнороронлое тело г — т Рис. 4.17. Показанная на рисунке деформация является результатом совместного действия двух сдвиговых деформаций езх = евь б) Показать (используя уравнения (4.32) ) для волны, распространяюшеися в направлении [!11) в кубическом кристалле, что детермпнантное уравнение, в котором ы' рассматривается как функция у(, имеет вид ! Ч вЂ” ы Р Р Р Р Ч ыр Р Р Р О 'зр где 1 3 1 д=- —, К' (Сы + 2Сы), Р ==- —, Кз (С„+ С, ). 3 Это отвечает уславшо, что система пз трех личейиых однородных алгебрап. ческнх уравпеннй для трех компонент смеше»ия и, Ш ш нх1еет пзтривналызые решения Используя результат, получе шыи в пункте (а), найти грн корня ыз; сравнить с результатами, полученными в задачах 42 и 43 4.6.
Произвольное направление распространения упругой волны. а) Подстановкой в (4,32) найти детерыпиаптное ураш.ение, ко1орое отвечает услонию, чго смешение 17(г) =[пел+псу+ шье[ехр [1(К г — а1)) является решением уравнений для упругоя волны в кубпчсскохг криста,т.те. б) Сумма корней детермпнаптного уравнения раппа сумме днагочальиых злечентов ао. Показать, используя результат (а), что сул1ма квадрагов скоростей трех типов упрушж волн, распросграншощ:шея в пронзвольноы иаправлс- 2 з! з ннп в кубическом кристалле, равна (Сы + 2Сы)((з Напомним, что о = ы )К .
4.7". Критерий устойчивости, Критерием устойчивости кубического кристалла, имеюшега один атом в элеь~ентарной ячейке, под действием малых однородных дефорыацвй является положительность значения плотности знергин (4.18) для всех комбинаций компонент деформапнп. Какие ограничения тел~ самым накладываются на значения постоянных упругой жесткости? (Дйатеыатпческн задача сводится к нахождению условий, при которых действительная симыетричиая квадратичная функция будет иметь положительное значение. Решение содержится в курсах алгебры; см, также [21).) Ответ: С > О, См > О, С вЂ” С, > О и Сы + 2С|з > О. Пример неустойчивости, которая наблюдается, когда См яв Сы, приве« ден в [22).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
