Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(!4)) зависит ог природы твердого тела и от энергии рентгеновского фотона, но, как правило, составляет примерно 1 см. Дифрагированный пучок при отражении Брэгга обычно будет образовываться на значительно меньшем расстоянии, возможно, на расстоянии от 10-' до 10 ' см в идеальном кристалле, РЕЗЮМЕ Эта весьма длинная глава имеет большое значение. Будет полезно перечислить основные положения, на которые мы опирались, устанавливая соотношения между кристаллической структурой и относительной интенсивностью максимумов дифракционной кар~ины, обусловленной этой структурой.
Предположим, что мы «угадали» структуру. Теперь мы хотим предсказать дифракционную картину, создаваемую предполагаемой структурой, и проверить ее соответствие реально наблюдаемой. Для этого в нашем распоряжении есть наблюдаемая картина, имеюгцая вид карты в пространстве обратной решетки, что дает нам возможность найти те величины Лй — = й' — й, для которых обнаруживаются дифрагированные пучки. Первый шаг. Выберем тройку векторов трансляций а, Ь, с предполагаемой структуры, причем не обязательно, чтобы этн векторы были векторами примитивных трансляций.
Исходя пз векторов а, Ь, с, образуем векторы А, В, С вЂ” основные векторы обратной решетки. Строим ее узлы: 6 = ЬА+ ЬВ+ 1С, где Ь, Ь, 1 — целые числа. Часть из ннх или все узлы должны совпасть с полученными на экспериментальной карте точками ЛЙ. Если совпадаюШих точек нет, то, по всей вероятности, мы неверно выбрали векторы а, Ь, с. Можно подбирать а, Ь, с и, соответственно, А, В, С до тех пор, пока часть узлов 0 не совпадет с экспериментально наблюдаемыми точками Ля. Полученные векторы а, Ь, с будут определять кристаллическую решстку. Второй шаг.
Теперь каждая точка Лй совпадает с каким- либо узлом б; однако если структурный фактор Я для этих значениИ С равен нулю, то эти узлы 6 не будут совпадать с наблюдаемыми точками Лй. Находим У для предполагаемого базиса нашей структуры с векторами а, Ь, с и смотрим, всегда 103 ли нулевое значение У соответствует узлу б, для которого нет дифрагированного луча. Подбираем координаты атомов хь у;, х; в предполагаемом базисе до тех пор, пока нулевые значения .'Р' не совпадут с положением «отсутствующих» отражений. Соответствующие атомные координаты хь пь г, определяют базис, связанный с кристаллической решеткой. Третий шаг.
Значения форм-фактора 1 для атомов и интересующие нас величины 6 можно найти в 1п1егпабопа1 1аЫез 1ог х-гау сгуз(а11опгарЬу, т. 111, стр. 201 — 227. Точные индексы, соответствующие нулевым значениям У, обычно можно найти, не уточняя выражений для 1. Следует сравнить, хотя бы качественно, теоретически предсказанные и наблюдаемые значения относительных интенсивностей в дифрагированных пучках. Для того, чтобы произвести это сравнение, используем значение величины 1 прн расчете !ьр'(пй1) !'. Затем умножаем эту величину на температурный множитель Дебая — Уоллера (см.
формулу (2.72)) и получаем в весьма приближенном виде ожидаемую относительную интенсивность. Уменьшение интенсивности дифракционной линии означает перераспределение исходного значения интенсивности между этой линией и появляющимися в ее окрестности протяженными ккрыльями» малой интенсивности, Еше раз повторим основные положения этой главы: 1. Закон Брэгга можно сформулировать различными способами. Эти формулировки могут быть записаны так: 2й з!и 0 =- п~.; Ай = б; 2Й ° б = бз 2. Уравнения дифракции Лауэ имеют следующий вид: а АЙ= 2пй, Ь ° АЙ =2пй, с АЙ= 2п1.
3. Векторы примитивных трансляций обратной решетки равны Здесь а, Ь, с — векторы примитивных трансляций кристаллической решетки. 4. Вектор обратной решетки имеет вид б =ЬА+ 1гВ+ 1С, где 6, Й, 1 — целые числа или нули. 5. Амплитуда рассеяния в направлении Ай =й' — й= бь Ф = 9'о Х 1г ~„ехр ( — (р „б) ). хтлр 104 6. Геометрический структурный фактор: й'а= — 2, [гехР( — !Р! б) =~„[гехР[ — 12п(хгй+Угй+г;1)), где индекс / изменяется от 1 до М, У вЂ” число атомов базиса и )т — атомный форм-фактор (2.65) )хго атома базиса.
Выражение в правой части написано для отражения (Ая(), для которого б = АА + /гВ + (С. 7. Произвольная функция, которая инвариантна относительно операции решеточной трансляции, может быть разложена в ряд Фурье следующего вида; и(р) = ~. п ехр ()б . р). а 8. Первая зона Брпллюэна является примитивной ячейкой Вигнера — Зейтца обратной решетки.
Любая волна с волновым вектором й, проведенным из начала координат и заканчивающимся на поверхности зоны Бриллюэна, будет дифрагирована кристаллом. 9. Кристаллическая решетка Первая зона Бриллюзна Куб Простая кубическая Объемноцентрированная кубическая Гранецентрированная куби- ческая Ромбододекаэдр (рис. 2.26) Усеченный октаэдр (рис. 2.28) !О.
Тепловое движение атомов не уширяет дифракционную линию (не делает ее менее резкой), а только уменьшает ее интенсивность. Уменьшение интенсивности дифракционной линии означает перераспределение исходного значения интенсивности между этой линией и появляющимися в ее окрестности «крыльями» малой интенсивности. ЗАДАЧИ З.!. Зона Бриллюзна ромбической решетки. Пусть ромбическая решетна имеет три примитивных осевых вектора а=бл, Ь 2у, а=л, !об .ллины которых выражаются в А.
Определить размеры и форму первой зоны Брнллюзна, Ъ'Зп- ал= 2 2 ' х+ — и ч73 а - а- Ь вЂ” — х+ — р, с=се. 2 2 а) Показать, используя формулу (г =)а Ь 7(с), что объем примитивной ячейки равен (Ч73(2)а'с. 4 ф ф ~ 3 ф м ч." е 477г) Еб г7 /077! 7Я7 (7У77 же (772) е утг ',э з(п зг -г Д Рис, 2.36. Экспериментальные и теоретические атомные фарм-факторы для рентгеновских отражеаий в кристалле алмаза (15).
Теоретические форм- факторы определены для решетки атомов, имеющих сферическую симметрию в распределении заряда, Расчет проводился методом Хартргь Наличае запрещенного отражения (222) указывает на нзбыточнучо концентрацию электронов, (порядка 0,4 электрона), участвующих в связи между соседнимн атомами; величина этой концентрации выше той, которая может быть найдена с учетом простого перекрытик двух сферических распределений заряда.
106 2.2. Гексагональная пространственная решетка. Векторы примитивных трансляций гексагональной пространственной решетки можно выбрать следующим образом: б) Показать, что векторы пркмитпвцык трансляций обратной решетки -равиы 2п - 2м- А = — х+ — р. зггЗ а а 2и - 2п- 8= — — х+ — р, >/За а 2мс= —., с -так что решетка есть ее собственная обратная, ио с повороточ осей в) Описать в начертить первую зону Бриллюэиз гексаговальиой простраиствекиой решетки. 2.3. Форм-фактор одвородиой сферы. Найти атомный форм-фактор [ для однородного распределения Я электронов внутри сферы радиуса )т.
зказакиг: В формулу (2.65) подставить с(г) = с; тогда [=(4ис/бз) ~ х з|п х Их| О теперь начислить интеграл. Лля 6)! дь 1 0 э соз 6)г. так что амплитуда рассеянной волны уменьшается с возрастанием 6 2.4. Структуриый фактор алмаза. Кристаллическая структура алмаза описана в гл. 1 Если элементарной ячейкой является обычный куб, то бззпс содержит восемь атоыов. а) 1!айти стр>ктуриый фактор этого базиса, б) Иайти пулевые значения 9' и показать, чго индексы разрешеипык для структуры алмаза отражеппй удовлетворяют равенству й+ 4+1= 4л, где все индексы являются четиыци целыми числами, а л — произвольное целое число.
Однако зифракшюпиая картина будет содер>кать запрещенное отражепие с индексами (222), если посередине между двумя ближайшими соседипчи атомами углерода имеется избыточнаи концентрация электронов (см. рис. 2.36). 2.5. Ширина дифракциоииого максимума. Предположим, что линейный кристалл имеет одинаковые точечные центры рзссеяния в каждом узле решетки р = ша, где лз — целое число. По аналогии с (239) полная амплитуда рассеяивого излучепия в точке К будет ой = ~ екр ( — ипп Лй). Сумма по М узлам решетки имеет величину 1 — екр [ — |М (а Лй)) о( ! — ехр [-1(а. Лй)[ 102 Ряаксп и хлгл Рис.
2.37. Днфракцвонная картина, получаемая от одномерной решетки с межатомным расстоянием а с помощью монохроматического рентгеновского пучка, перпендикулярного к решетке. а) Интерференция с усилением имеет место, если асозО=лЛ, где л — целое число. б) Для данного и дифрагнрованные лучи лежат на поверхности конуса. Ова получена с использованием ряда а) Интенсивность рассеянного излучения пропорпиональна 1 А 1'. Показать, что а1пз '/зМ (а Лй) з1пт '/3 (а. Лй) б] Мы знаем, что дифракцнонцый максимум возникает, когда а Лй=2лйы где Л вЂ” целое число.
Мы немного изменяем Лй и определяем е в а.бй = 1 = 2пй+ в так, что е дает положение первого нуля в сйп — М(а Лй). Пока- 2 зать, что е = 2п/М, так что ширина дифракпионного максимума пропорциональна 1/М и он может быть крайне узким для макроскопических величин М Такой же результат справедлив для трехмерного кристалла. 2.6.
Дифракция от одномерной (линейной) и квадратной (плоской) решеток. Получение дифракционной картины от одномерной решетни с постоянной, решетки а показано на рис. 2.37 '). Структуры, до некоторой степени похожие ') Полезно также взглянуть на это и по-другому: для линейной решетки дифракционная картина описывается одним уравнением Лауэ а Лй = 2по, где о — целое число. Для этой решетки не существует решеточных сумм, которые приводят к другим уравнениям Лауз. Уравнение а Лй=сопз1 являетси 108 Рнс. 2.38 а) Картина обратно рассеянных электронов с энергией 76 эВ, падающих перпендикулярно к грани (110) кристалла никеля, б) Модель поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
