Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Обратнаи региетка простой кубической решетки. Векторы примитивных трансляций простой кубической решетки могкно записать следующим образом: а=ах, Ь= ау, с=-аг. (2. 43) Объем элементарной ячейки равен а.Ь Хс = аз. Векторы примитивных трансляций обратной решетки находятся с помощью соотношений (2.28): ЬХа 2л" 2л" 2л" А=2л = — 'х, В= — 'у, С= — г. (2.44) а ЬХс а ' а ' а Таким образом, обратная решетка сама является простой кубической решеткой, но с постоянной решетки, равной 2л/а. Первая зона Бриллюэна будет ограничена плоскостями, перпендикулярными к следующим шести векторам: 1 л" 1 л- 1 л" ~ — А=~ — х, ~ — В=~ — у, ~ — С=~ — х. (2.45) 2 а ' 2 а ' 2 а 87 Этп шесть плоскостей являются гранямн куба с ребром 2л/а и объемом (2п/а)', этот куб и будет первой зоной Бриллюзна простой кубической кристаллической решетки.
Обратная решетка ОЦК решетки. Век~орами примитивных трансляций ОЦК решетки (они показаны на рис. 2.25) являются а'= —,а(х+ у — г), й'= — а( — х+ у+ ), (2 Аб) с'= —,а(х — у+а), где а — сторона обычного элементарного куба, х, у, г — ортогональные единичные векторы, параллельные ребрам куба. Объем примитивной элементарной ячейки равен )т = — ~ а' о';к', с'~ = л а'. (2. 47) Используя определение векторов примитивных трансляций А, В, С обратной решетки (2.28) и соотношения (2.46) и (2.47), получаем: А = — ' (х+у), В = — (у + а), С= — (х + а).
(2А8) Сравнивая с рис. 1.18, можно видеть, что эти векторы являются векторами примитивных трансляций ГИК решетки. Таким образом, ГЦК решетка является обратной для ОЦК решетки Если /ц й, 1 — целые числа, то произвольный вектор обратной решетки можно записать так: б = йА + /еВ + 1С = — '!(Л + 1) х + (й + Я) У + (й + 1) х). (2.49) Кратчайшими отличнымн от нуля О-векторами обратной ре- шетки являются следующие двенадцать векторов; — (~- х~ У) (-+ У ~ х), — 'х (~ х ~х). (2.50) Знаки следует выбирать независимо для каждого вектора. В качестве примитивной ячейки обратной решетки можно выбрать параллелепипед с ребрами А, В, С, определяемыми соотношениями (2.48).
Объем такой примитивной ячейки равен 1А В У( С) = 2(2п/а)з. Примитивный параллелепипед содержит один узел обратной решетки, так как каждый из восьми узлов в его вершинах является общим для восьми соседних параллелепипедов, и, таким образом, на каждый параллелепипед приходится одна восьмая часть от каждого из восьми узлов. Однако в физике твердого тела принято выбирать примитивную ячейку вв Рнс.
2.2а Зоны Бриллшзна ГЦК решетки. Изображены ячейки в обратном пространстве. Винно, что обратнан решетка является объемнонентрированнов кубической решеткой. 1зис. 2.27 Примитивные базисные век- торы ГПК решетки обратной решетки в виде ячейки наименьшего объема, каждая грань которой проходит через середину соответствующего вектора О, имеющего минимальную длину, перпендикулярно к нему.
Каждая из этих (новых) ячеек содержит один узел решетки, который расположен в центре ячейки. Указанная ячейка представляет собой ячейку Вигнера — Зейтца для обратной решетки, и она является первой зоной Вриллюэна ОЦК р;щетки. Грани этой зоны перпендикулярны к двенадцати векторам, определяемым выражениями (2.50), и проходят через их середины. Зона имеет вид правильного двенадцатиграиника — ромбододеказдра (рис. 2.26).
Векторы, проведенные из начала координат к центру каждой из граней, - -это половины векторов, определяемых выражениями (2.50), или — (-1- х -~- у), — "и (-~ у ь х), — (~ х -1- х). (2.51) а ' а и ! 1 1 а'= — а(х+у), Ь'= — а(у +х), с'= —, а(х+х). (2.52) Эти векторы параллельны векторам А, Н, С (2.48). Объем при- митивной элементарной ячейки У =1а' Ь' рс', с' ) = — аз. 4 Г!оскольку выбор знаков независим, общее число векторов— двенадцать. Обратнал решетка ГЦК решетки. Векторы примитивных трансляций ГЦК решетки, показанные на рис.
2.27, равны По определению (2.28) векторы примитивных трансляций А, В, С обратной решетки для ГЦК решетки таковы: 2л А = — (х+ у — х), 2л В = — ( — х+ у+ х), (2.53) 2л С = — (х — у+ г). Это векторы примитивных трансляций ОЦК решетки. Следовательно, ОЦК решетка является обратной для ГЦК решетки. Объем примитивной элементарной ячейки обратной решетки равен ~А В)с', С~ = 4(2л/а)в. Для векторов обратной решетки получаем следующее общее выражение: б = — [(Ь вЂ” Ь + 1) х + (Ь + Ь вЂ” 1) у + ( — Ь + Ь + 1) х), (2.
54) где Ь, Ь, 1 — произвольные целые числа. Кратчайших отличных от нуля векторов 6 — восемь: — (~ х~ у ~а), (2.55) Примитивная ячейка обратной решетки почти полностью ограничивается восемью плоскостями, перпендикулярными к указанным векторам и проходящими через их середины. Однако вершины такого октаэдра оказываются срезанными плоскостями, которые перпендикулярны к другим шести векторам обратной решетки ') — (~ 2х), — '(-~- 2у), — (~ 2я) (2.56) и делят эти векторы пополам. Таким образом, примитивная ячейка является ближайшей к началу координат ячейкой с наименьшим объемом и представляет собой усеченный октаэдр, показанный на рис. 2.28. Это и есть первая зона Бриллюэна 1ЦК решетки.
СТРУКТУРНЫЙ ФАКТОР БАЗИСА Уравнения (2.22) определяют все возможные отражения для данной кристаллической решетки. Эти отражения можно описать с помощью узлов обратной решетки, задаваемых векторами обратной решетки 6(ЬЬ1) = ЬА+ЬВ+ 1С, и обозначить отражения как (ЬЬ1). Интенсивности различных отражений зависят от 2л ') Заметим, что вектор —.2я является вектором обратиой решетки, и так как ои равен Л+ С. Рис. 2.29. Положение /-го атома в элементарной ячейке задано вектором р, = х а+ И а+ з с, где х р, а.— ь /' / константы состава элсментарной ячейки, т. е.
от числа н располоокения атомов в ячейке и от распределения нх электронной плотности. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Допустим, что каждая ячейка состоит из з атомов и положение ядра /-го атома ячейки (рис. 2.29) определяется вектором р/ — — х/а + р/Ь + г/с, (2.57а) который проведен из узла решетки р „, =/па+ пЬ+ рс.
Этот узел жестко связан с рассматриваемой ячейкой, так что последнюю можно обозначить тпр. Выберем начало координат в узле рооо = б. Относительно этого начала координат положение /-го атома в ячейке тпр определяется вектором р/+ рмл . Как известно, электроны в атоме не концентрируются вблизи ядра, а располагаются в его окрестности. Распределение электронов в кристалле можно описать с помощью суперпозиции функций электронной плотности с/, каждая из которых связана с отдельным атомом. Так, функция с/(р — р/ — р щг) (2.57б) определяет концентрацию электронов в точке р вблизи /тго атома ячейки тпр.
Таким образом, полная электронная плотность п(р) в кристалле может быть записана в виде суммы п(р) = Х Х с/(р — р/ — р .,), а|ад / / где первое суммирование (/ = 1, ..., з) производится по всем атомам базиса, а второе — по всем узлам решетки, число которых, определенное выше, равно М'. Выражение (2.57в) для 91 (2.57в) и (Р) ие является однозначным, если распределения зарядов различных ионов перекрываются: в этом случае мы не всегда можем определить долю заряда, связанную с каждым атомом, но это не является существенным затруднением. В соответствии с (2.17) общую амплитуду рассеяния в кристалле для вектора рассеяния Лй можно записать так; /Фдр = — ~ с()///(Р) ехр ( — /Р ° Лй) = ~ /1)/с/(Р— Р/ — Р л )ехр( — /Р Лй).
(2.58а) тлр / Вклад в,~Ф единичного члена с/(Р— Р/ — Р лр) в выражении (2.58а) равен /()/с (Р— р; — Р „,)ехр( — /Р Лй)= = ~/()/с/(Р')ехр( — /Р' Лй)ехр[ — /(р/+Р л,) Лй[= = — //схр [ — /(р, + о л,) Лй]. (2.58б) При записи выра>кения (2.586) мы сделали подстановку Р:Р Р/ Р р п ввели величину (2.59а) которая называется итол/ным фактором рассеяния или форм- фактором (рассмотрению этой величины посвя'.цен следующий раздел).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
