Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Подставив зги результаты в (2.2В), получим: ! А=ил — — яу, 8=яд, 2 что схематически изображено на рнс. 2.)9. Построение Эвальда. Име!отея два условия дифракцин: первое — условие для частоты, второе — условие для волнового вектора. Объединение этих двух условий приводит к наиболее удачному геометрическому выражению условия дифракцни. Обозначим через й и ш, соответственно, волновой вектор и частоту падаюшего луча, а через й' и ш' — аналогичные величины для рассеянного луча. Тогда: а) Рассеяние происходит упругим обоазом, так что энергия кванта рентгеновского излучения не меняется: ггш = ггоь (2.36) Л поскольку диспсрсионные соотношения для электромагнитных волн в вакууме имеют вид а' = с))' н ш = сй, то й' = й.
(2,37) б) Условие дифракцин есть Лй = 6, или, используя (2.14), это условие можно записать так: й'=й+ О. (2,38) В действительности (2.38) представляет собой правило о~бора для волнового вектора рассеянной волны '). ') Правило отбора й' = й+ 6 можно рассматривать как олпу из форм закона сохранения импульса в кристалле В свободноч пространстве нпп)лье фозоиа, имеющего энергию Лго, равен ага)с, цлн Лй Пусть плоская волна е'з'г в свободном пространстве модулнруется после входа в кристалл периодическим распределением электронного заряда илп локальпь|м показатс. лем преломления, так что в кристалле нюг аш г2 6 о где Со — константы, зависящие от распределения электронной плотности.
Мы видим, что плоская волна в крнсталле по сравнению со свободным пространством будет содержать добавочные компоненты волнового вектора й + 6. Зтн компоненты образ)чот двфрагпрованные волны. Отдельная днфрагированная волна ведет себя так, как если бы она была фотоном с импульсом Л(й+ 6). Условие сохранения общего импульса системы выполняется, если кристалл затем исвытывает отдачу с импульсом — а6, как показано на ркс. 2.20а, Отдача кристалла слишком мала, чтобы ее можно было обнаружить, хотя аналогичные процессы отдачи были зарегистрированы для атомов и для ядер. Скорость отдачи кристалла, имеющего массу ! г, для отражения с вектором обратной решетки длиной ! )О-з см равна о = а6/М ~ !О Ш см/сек Эта величина янляется слишком малой для того, чтобы быть зарегистриро- ванной.
Дглери иийф лдииигили и -р Оолио5о1 бенто~ л ииигииии,ииаииойигий Кихгимгиии хэиигии л аигйтиу Рис 220а Нри отражении, которое подчиняется условшо й' =й+ хг, кристаллический образец испытывает отдачу с импульсом — ЬС; импульс йй' — ЬО системы «образец+ фотон» после отражения равняется общему импульсу системы в началышм состоянии, прн котором кристалл находится в покое. Импйльс падающего фотона равен йй, где й = азгс Возведем обе части соотношения (2.38) в квадрат и получим: и' = (ге+ 6)'= нз+ 2)е 6+ 6', (2.
39) нли, поскольку с учетом (2.37) й" = й', ( 2н ° 6+ 6'= О. (2.40) Мы постоянно будем встречаться с соотношением (2.40) при рассмотрении процессов распространения волн в периодических решетках. Можно видеть, что соотношение (2.40) эквивалентно а о о о о о о о о о о о о о о о о а о о о о о о о о а о о о о о о о о а о о о Рис 2.20б. Точки в правой части рнсунна — это узлы обратной решетки кристалла Направление вектора й совпадает с направлением падающего на кристалл рентгеновского луча. Вектор й заканчивается на произнольиом узле обратной решетки. На рисунке показана сфера радиуса А=йп/Л с центром в начале вектора й.
Дифрагггрованный луч образуется, если эта сфера пересечет какой-нибудь другой узел обратной решетки. Сфера, показанная на рисунке, пересекает узел, связанный с концом вектора й вектором обратной решетки б Днфрагированный луч распространяется в направлении вектора й' = й + 6 Это построение называется построением Эвальда. 83 закону Брэгга 2й гйп 0 = и), и по этой причине принято ссылаться на него как на закон Брэгга, Здесь мы не доказываем эквивалентность этих двух соотношений, и в дальнейшем мы всегда будем пользоваться условием дифракции в форме соотношения (2.40).
Это соотношение используется в дальнейшем изложении прн построении зон Бриллюэна, В фурье-пространстве правила отбора, выражаемые соотношениями (2.37) и (2.33), имеют геометрическую интерпретацию, иллюстрируемую рисунком 2.20б. Заметим, что длина вектора й' будет равна длине вектора й, если й' ограничен где-нибудь па сферической поверхности радиусом й. Кроме того, если оба вектора, Й ги йй заканчиваются на узлах обратной решеткв, то они должны быть связаны с вектором обратной решетки, откуда следует, что й' = Ь+ 6. Построение, выполненное на рис.
2.20б, известно как построение Эвальда и широко испочьзуется в рентгспоструктурном анализе и иейтрон-дифракционных исследованиях. В следующем разделе описано построенне Бриллюзна, которое часто используется для описания электронных состояний в твердых телах н, хотя довольно редко используется в рентгеноструктурном анализе, тем не менее даст ясную картину условггй днфракции. ЗОНЫ БРИЛЛЮЭНЛ Зона Бриллюэна представляет собой ячейку Вагнера — Зейтца в обратной решете. (Ячейка Вигнера — Зейтца прямой решетки показана на рис.
1.8.) Определенная таким образом зона Бриллюэиа является наглядной геометрической интерпретацией условия дифракции 2й.б+ 6>э = О. Сначала удобно в это условие подставить — 6 вместо 6, чтобы записать условие дифракции в форме 2й ° 6 = 6'. (2А1) Эта подстановка не меняет существо условия дифракции, поскольку, если 6 — вектор обратной решетки, то и — 6 также является вектором обратной решетки. Перепишем (2.4!) следугощпм образом: (2А2) (/2~) (/з6) . Построим плоскость, перпендикулярную к вектору 6 и проходящую через его середину; тогда (рис. 2.2!) произвольньгй вектор Ь, проведенный до этой пл>оскости из точки, выбранной за «ачало координат, будет удовлетворять условшо дифракг(ии. Построенная таким образом плоскость образует часть границы зоны Брнллюэна.
Вектор обратной решетки имеет определенную длину и определенное направление относительно кристаллографических осей а, Ь, с рассматриваемого кристаллического образца. Рентгенов- 84 Рнс. 2 21 Узлы обратной решетки н окрест, ости точки О, выбранной за начало координат Векзор обратной решетки 6с связывает между собой диа узла обратной ре. щетин — О н С, а нектор 6 — узлы О и О и Плоскости ! и 2 проведены такич образом, что о.ш перпен/гикулярны соогиетстиенно к иектор .
6, 6п лят н: пополам. Произ" вольные нек оры, проведенные нз начала коордн. ат н оканчпна>ощнеся па плоскостях ! н 2, наприз>ер некторь> й, н йь будут улоилегиорять услозпям днфракцни 2 ° ! ° й: - ) 6с!2) = (6с)2) й»'6 )2) = — (6 /2)з Рпс. 2.22. Квадратная обратная решетка. Тонкичп сплошными лпниямн показаны аекторы обратаой решетки. Пунктярные линии перпендякуляркы к аз им векторам п делят их пополам. Квадрат, расположенный н центре рисунка, имеет наименьшу>о площадь нз всех квадратов, расположенных н окрестности начала координат, и полностью замкнут пунктирными линиями.
Этот квадрат является примитинной ячейкой Вигнера — Зейтца н обратной решетке. ский лу'>, падающий иа кристалл, будет дифрагнроватзы если его волновой вектор имеет величину н направление, удовлетворяющие соотношению (2.42), и дифрагированный луч будет распространяться в направлении вектора й+ 6. Набор плоскостей, которые, будучи перпендикулярны к различным векторам обратной решетки, делят их пополам, играет' особо важную роль в теории распространения волн в кристаллах, поскольку волна с волновым вектором, проведенным из начала координат и оканчивающимся на какой-либо из этик плоскостей, будет удовлетворять условиям дифракпии.
Эти плоскости делят фурье-пространство кристалла на неравные части, Рис. 2.23. Построение первой зоны Бриллюэна для двухмерной косоугольной решетки Кристаллическая решетка имеет вяд, показанный иа рнс 2Л9 Вначале проводим векторы. соединяющие точку О с ближайшими узлами обратной решетки Затем проводим линие, перпендикулярные к этны векторам и делящие их пополам Получаемый при этом многоугольник с наименьшей площадью является первой зоной Брнллюэна как показано для двухмерного случая на рис. 2.22.
Квадрат в центре иа рис. 2.22 есть примитивная ячейка обратной решетки; видно, что этот квадрат был построен по правилам построения примитивной ячейки Вигвера — Зейтца, изложенным в гл. 1, за исключением того, что там зта ячейка была построена в реальном пространстве, а здесь — в фурье-пространстве. Центральная ячейка обратной решетки играет особо важную роль в теории твердого тела, и мы называем ее первой зоной Бриллюзна. Первая зона Бриллюэна является зоной с наименьшим объемом; она полностаю ограничена плоскостями, котораге делят пополам перпендикулярные к ним векторы обратной Лвлейлея нлилталлвееснвя гвлгетка гтсллтлея лететмт с Рис. 2.24 Одномерные кристаллическая и обратная решетки.
Базисным вектором обратной решетки является вектор А длиной 2п/и Кратчайшими векторамн обратной решетки, проведенными из начала координат, являются векторы А и -А Линии, перпендикулярные к этим векторам и делящие их пополам,— гранины первой зоны Бриллюэна Иа этик гранииак й шп/а. вб Рис, 2.26. Пипггитггвггые базис:гые Рис.2.26.1!ерваи зона Нрнааюэна ОЦК векторы ОЦК решетки решетки, имегошая фортгу правильного ромбододекаэдра решетки, проведенные из начала кооодинат.
Первая зона Бриллюэна для двухмерной косоугольной решетки показана на рис. 2,23, а для линейной одномерной решетки — на рис. 2.24. Гранггцами зоны линейной решетки являются значения гг = ~ига, где а — модуль вектора примитивной трансляции кристаллической решетки. Исторически сложилось так, что зоны Бриллюэна практически не используются в днфракционном рентгеноструктурном анализе, однако в теории электронных энергетических зон в кристаллах (гл. 9 и 10) их применение совершенно необходптго. Особая важность первой зоны станонится очевидной в гл. 1О. Построение Бри глгоэна показывает волновые векторы й всех падагогцих лучей', которые могут быто отражены кристаллом посредством брэгговской дифракиии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
