Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Выражение для амплитуды рассеяния можно теперь записать так: Фдр = Х Х [/ехр[ — /(Р/ + Р л,) Лй[ = тлр / = 1' ~: ехр( — /р „, Лй)1 [ ~„1/ехр ( — /и, . Лй)) ~,тл,л l ~. / пли 4а = М'~'а, (2.59б) Пря записи последнего выражения мы использовали полученный выше результат [см. формулу (2.21)[, что ехр( — /Р лр Лй) тлр не равно нулю только тогда, когда ЛФ равен вектору обратной 99 решетки.
Сумма Уа= х !гехр( — гр! ° 6) г (2.59в) так что структурный фактор для указанного отражения можно записать так; У(йИ) = х 1гехр( — г2ч(хгй+ уг!г+ хг1)), (2,6!) г Структурный фактор не обязательно должен быть вещественной величиной; в значение интенсивности рассеянной волны входит У'У, где У*- †величи, комплексно сопряженная У. Нас прежде всего интересуют нулевые значения величины Уг при нуле У интенсивность отражения, определяемого вектором С и разрешенного пространственной решеткой, ранна нулю.
Структурный фактор может уничтожать некоторые отражения, которые разрешены пространствсниов решеткой, н эти недостающие отражения помогают пам в определении структуры. Структурный фактор Ог1гх решет!си. Базис ОЦК решетки состоит из двух одинаковых атомов. Их координаты в обычной ! ! 1 элементарной кубической ячейке равны 000 и — †, †,, т. с, для 9 9 9 ' одного из атомов х, = у! — — зг = О, а для другого хг — — уг = = зг = па Тогда (2.6!) принимает вид У(!гИ) =1(1+ ехр( — гп(й+ й+ 1)]), (2.62) где 1 — рассеивающая способность отдельного атома. Величина У равна нулю в тех случаях, когда значение экспоненты равно — 1, т.
е, во всех тех случаях, когда ее показатель есть нечетное число, помноженное на — ги. Тогда имеем: У = О, если сумма Ь+ !г+ 1 равна нечетному целому числу; У = 21, если эта сумма равна четному целому числу. В дифракционной картине металлического натрия, имеющего ОЦК решетку, отсутствуют отражения, обусловленные плоскостями (100), (300), (11!), (221), однако отражения, определяемые плоскостями (200), (110) и (222), будут присутствовать; указанные индексы плоскостей (йИ) соответствуют кубической ячейке.
93 называется структурным фактором базиса. гггы называем некоторое произвольное отражение отраженисм (ггИ), когда вектор обратной решетки равен 6 =. йА+ + йВ+ 1С. Для этого отражения, используя вырангегггге (2.57а) для рь имеем: р! ° 6 =(хга+ гггй+ хгс) ° (йА+ йВ + 1С) = 2н(хй+ уй+ (2. 60) Роаоооота Ьтоа 2тт Рис.
2.30. Схема, поясняющая отсутствие отражения (!00) на днфракциопной картине для ОЦК решетки. 1, 2, 3 — рассеивающие атомные плоскости Разность фаа для лучей, отраженных от двух соседшм плоскостей, равна и, так что амплитуда отражения от двух соседних плоскостей равна 1+ ь =! — 1=0 Каков жс физический смысл того, что в дифракционной картине для ОЦК решетки отсутств)ет отражение (100)? Отражение (100) обычно имеется тогда, когда лучи, отраженные от первой и третьей плоскостей на рис. 2.30, имеют разность фаз 2н. Эти плоскости огранпчинают элементарный куб. В объемноцснтрированной кубической решетке имеется дополнительная промежуточная атомная плоскость, обозначенная на рисунке цифрой 2, рассеивающая способность которой такая же, как и у плоскостей ! и 3.
Но так как эта плоскость расположена посередине между ними, отраженный от нее луч сдвинут по фазе относительно луча, отраженного первой плоскостью, на и радианов, вследствие чего отражение от иее гасит отражение от первой плоскости. Гашение отражения (100) в ОЦК решетке происходит потому, что плоскости (!00) состоят из одинаковых атомов. В структуре СзС! (рис. 1.26) такого гашения не будет: плоскости ионов Сз и С( чередуются, но рассеивающая способность ионов Сз значительно больше рассеивающей способности ионов С1, так как Сзж имеет 54 электрона, а С! — только 18.
Струкгррныа! фактор ГЦК решетки. Базис ГИК решетки состоит из четырех одинаковых атомов. Их координаты в ооычной 1 1 1 1 ! элементарной кубической ячейке: 000; 0 —, —, ' — 0; — ' —, —,О. Тогда 22' 2 2' 22 (2.6!) принимает вид 9'(Ьм!) =1(! +ехр( — гн(Уг + 1)]+ ехр! — (п(л+ Е)]+ + ехр] — ?п(й+ й)]), (2,63» Если все индексы — четные целые числа, то У'= 4(; тз же самое получается, если все индексы нечетные. Однако если только один из индексов четный, то в показателе двух экспонент будет произведение нечетного числа на †(п и У' будет равно нулю. Точно так же, если только одно из целых чисел будет нечетным, то по той же причине У будет равно нулю. Таким 94 Рис 231 Сравнение интенсивностей отражений при дифракцпи рентгеновских лучей на порошках КС! я КВг В КС! ионы Ке и С! имеют одинаковое число электронов.
Лмплитуды рассеяния для этих ионов ) (К ) и ! (С! ) почти равны, так что дифракцаонная картина для КС! имеет тот же вид, что и дифракционная картина для одноатомной простой кубической решетки с по. стоянной решетки а/2. Индексы отражений при дифракцин на кубической решетке с постоянной решетки и являются только четными целыми числами. В КВг форм-факторы К и Вг отличны, и в дифракционной картине присутствуют все отражения, присущие ГЦК решетке, (Кооег! чап Хогба1гапд.) 1г Я7 й1 ДЗ ЙЗ йз йз Дз Д7 48 з)г.У л Рис.
2,32. Абсолютные эксисричентальные атомные факторы рассеяния для металлического алюминия. Помечено каждое наблюдавшееся отражение Падающим излучением являлось излучение МоК« с 3=0,709А. Видно, что индексы в обозначениях отражений либо только четные, либо только нечетные, а это как раз то, что мы ожидаем для ГЦК кристалла в соответствии с (2.63). образом, в ГЦК решетке не могут иметь место отражения от плоскостей, для которых часть индексов — четные числа, а часть — нечетные.
11а рис. 2.31 приведена прекрасная иллюстрация этого: и КС1, и КВг обладают гранецентрированной кубической решеткой, однако решетка КС! аналогична простой кубической решетке, потому что ионы Кг и С!- имеют одинаковое число электронов. 1!а рис. 2.32 приведены разрешенные отражения для алюминия, имеюшсго ГЦК рснгетку. АТОМНЫЙ ФАКТОР РАССЕЯНИЯ, ИЛИ ФОРМ-ФАКТОР В выражение (2.01) для геометрического структурного фактора входит величина )1, которая, как мы определили, является мерой рассеиваюшей способности 1-го атома элементарной ячейки. Чем же определяется 112 При рассеянии рентгеновских лучей основную роль играют электроны атомов, так как масса ядра слишком велика, чтобы «почувствовать» рентгеновский квант.
Величина ) зависит от числа н распределения электронов атома, а также от длины волны и угла рассеяния излучения. Эти множители появляются вследствие интерференционных эф- фектов, обусловленных конечным размером атомов. Произведем расчет фактора рассеяния в рамках классических представлений. Излучение, рассеянное единичным атомом, должно учесть интерференционные эффекты внутри атома. Выше [см. формулу (2.59а)) мы определили функцию 1 =)Л' (г)е ", (2.64) где интегрирование осушествляется в пределах электронной плотности с(г), связанной с единичным атомом, Назовем величину ) атомным фактором рассеяния или форм-фактором.
Пусть г образует угол а с 6; тогда г 6 = г6 соз а. Если распределение электронной плотности обладает сферической симметрией относительно начала координат, то е'~ е [а = 2п г'г1г д(сова) с(г) е га'"'" = 2п с1гг'с(г) гдг где мы проиитегрировали по д(соз а) в пределах от — 1 до 1. Таким образом, величина атомного фактора рассеяния опреде- ляется выражением: [а .= 4л 1 агг с (г) г' "0 (2.65) Если тот же самый электронный заряд был бы сконцентрирован в начале координат, где г = О, то в интеграле выражения (2.65) только произведение 6г = О должно было бы вносить вклад в подинтегральное выражение. В этом предельном случае (ебп 6г)г'6г = 1, и для всех 6 1а=4п г)дгс(г)ге=Я, (2.66) где л' — число электронов в атоме.
Поэтому [а — это отношение амплитуды излучения, рассеянного реальнылг рас~ределснием электронов о атоме, к амплитуде излучения, рассеянного одним электроном, расположенньгм э точке, При 9 = О из аналогичного рассуждения следует, что 6 = О и Го принимает значение, равное Л.
Из решения задачи 2.3 также следует, что при очень малых длинах волн интерференционные эффекты сильно уменьшают амплитуду рассеянной волны '). 4 Ч, Кнттель ') Более точными рзсчетзми можно показать, что амплитуда н фаза рзссеянного излучения несколько иные длн тех внутренних электронов, энергия снязи которых блнзкз к энергии квантов реитгенпесного излучения. Этот хорошо известный эффект, носящий название «зномельнзн дисперсия», усложннет исследонзние, но, тем не менее, при определение структуры твердого тела может оказаться очень полезным.
5 'ч й йг й Ц Ф 1 Рис 233. Электронная плотность н окрестности средней точки между даумя ближайшими соседними атомаин чц н напрааленни (111] а кристаллической решетке. Сплошная кривая построена на осноае набл1одаемых иеличин 1; пунктирная крииая предстазляет собой суперпозинню рассчитанных для свободного атома плотностей заряда. Различие зтих дзух кривых обуслоалено, с одной стороны, протяженностью распрелслений заряда з кристалле, а с другой стороны, избыточной кокнентрадней заряда а химической связи [10] Полное распределение электронов в твердом теле очень близко к распределению электронов в соответствующих свободных атомах. Это утверждение не означает, что электроны, наиболее удаленные от ядра, или валентные электроны не пере- распределяются при образовании твердого тела; это означает лишь то, что интенсивности отражений рентгеновских лучей хорошо описываются величинами форм-факторов свободных атомов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
