Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Например, Баттерман с сотрудниками (71 (см. также (8]) обнаружил, что интенсивности отраженных при брэгговском рассеянии рентгеновских лучей в металлическом железе, меди и алюминии с точностью до одного процента совпадают с теоретическими значениями интенсивностей, рассчитанных для соответствующих свободных атомов с помо:цью волновых функций. Результаты, полученные для алюминия, показаны на рис.
2.32. Бь!ло сделано много попыток получить с помощью рентгеновских лучей непосредственное реальное распределение электронов, участвующих в образовании ковалентной химической связи, особенно в кристаллах со структурой алмаза (см. работу Карпентера (9] для алмаза и Гетлихера и др. (10] для кремния), Однако эта задача находится на грани возможностей рентгеновских дифракционных методов. Исследования, проведенные для кремния, дают некоторые указания на то, что посередине между двумя ближайшими соседними атомами электронная плотность заметно выше, чем та, которая рассчитана теоретически по перекрытию волновых функций электронов двух свободных атомов (см.
рис, 2.33). ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ЛИНИИ ОТРАЖЕНИЯ «,.Я прпшсл к заключению, что четкость пнтерференннонных линна ие должна изменяться, а пх интенсивность дшокиа уненьшаться с увеличением угла рассея.шя; причен чел выше тенпсратура, тен зтог пропесс должен бы, ь занетнее». и. д:зла По мере повьппения температуры кристалла интенсивно.ть лучей, испытавших брэгговское отражение, уменьшается, од. пако угловая ширина линии отражения (дифракционной линии> ие изменяется.
На рис. 2.34 приведен экспериментальный график температурной зависимости интенсивности линии отражен>ш кристалла меди. Удивительно, что можно получить чет>ле отр.- жение при дифракции рентгеновских лучей на кристалле, атомы которого совершают неупорядоченные теплоьые колебания относительно своих положений равновесия; амплитуда этих колебаний достаточно велика, в рсзультате чего при комнатной температуре мгновенные значения расстояний между ближайшими соседними атомами могут отличаться на 10с>ю Эвальд рассказывает, что в период, когда еще только готовился знаменитый эксперимент Лауэ, Фридриха и Книппинга, было высказано возражение, что мгновенное расположение атомов в кристалле прп комнатной температуре сильно отличается от правильного периодического расположения вследствие больших тепловых флуктуаций.
Поэтому, рассуждали далее, нельзя ожидать появления явно выраженного дифракционного максимума. Но четко выраженный дифракционный максимум существует[ Важное доказательство необходимости его существования было сделано Дебасм в 1912 г. Рассмотрим выражение (2.19) для амплитуды излучения, рассеянного кристаллом; пусть положение атома в момент времени 1 задано выражением р(1) = Р, + и(1), (2.
67) где ро отвечает равновесному положешпо атома, а и(>)— й 04 й )оз чй01 В 141 й Ч О 0 100 100 004 400 500 зж Рве. 2.34. Температурная зависимость интегральной интенсивности рентгеновского излучения МОКР, отраженного от плоскостей (800) меди [111. величина, изменяющаяся во времени. Мы предполагаем, что колебания каждого атома около своего положения равновесия происходят независимо '). Тогда среднее значение амплитуды рассеянной волны !формула (2.59в)) в направлении дифракционного максимума можно записать так: (Ф) = Фо (ехр ( — г'и С)), (2.68) где С вЂ” вектор, равный изменению волнового вектора при отражении, и (...) означает среднее значение при тепловом равновесии. Наличие множителя м'.о обусловливает то, что все дифракционные линии будут четкими.
Экспонеициальный множитель в (2.68) уменьшает интенсивность. Разложим экспоненциальный множитель в ряд: (ехр( — ги С)) = ! — Е(и С) — — ((и С)') + ... (2.69) Но (и С) = О, так как и соответствует хаотическому тепловому движению, не скоррелированному с направлением С. Далее, ((и .
С)') = — (и') С'. (2.70) Множитель 1/3 появляется в результате геометрического усреднения по трем направлениям, так как нас интересует только компонента и вдоль направления С. Мы можем ограничиться выражением (2.69) для того, чтобы выяснить физический смысл рассматриваемого явления, но полезно заметить, что функция ехр~ 0 (и)С ~= ! — 0 (и)С'+ (2.7!) для первьгх двух членов имеет то же самое разложение в ряд, как и (2.69).
Для гармонического осциллятора фактически все члены в рядах (2.69) и (2.71), как можно показать, одинаковы. Таким образом, интенсивность рассеянной волны, равная квадрату амплитуды, есть 7 = )о ехр ~ — з (а') Сз~, (2.72) где (о — ранее полученная нами интенсивность излучения, рас- сеянного неподвижной решеткой. Экспоненциальный множитель называется множителем Дебпя — Уоллера. ') Это зйнштейновская модель твердого тела; такая модель не очень хороша прп низких температурах, однако хорошо описывает поведевне твердого тела при высоких температурах. Для того, что иам требуется сейчас, опа приводит к достаточно простым результатам. Расчеты для реальных случаев, учитывающих рассеяние на термических флуктуацнях, см, в гл.20 книги (12).
100 Здесь (и~) — среднеквадратичное смещение атома. Среднее значение потенциальной энергии (У) классического гармонического осциллятора в трех измерениях при тепловом равновесии равно з/,/гвТ, откуда ((/) = — С (и') = ~ /!(в' (и ) = ~ йвТ, ! з ! з 3 (2.73) где С вЂ” силовая постоянная, М вЂ” масса атома и 㻠— частота осциллятора. Мы использовали здесь равенство ы' = С/М. Таким образом, интенсивность рассеянного излучения равна ьвтс' -! /(пй() = /э ехр [— (2.
74) где й, я, 1 — индексы в выражении С = пА+ йВ+ 1С. Этот классический результат является хорошим приближением при высоких температурах. для квантовых осцилляторов (из) не равно нузно даже прн Т = О, вследствие нулевых колебаний. Мы продолжаем использовать модель независимого гармонического осциллятора для характеристики движения (колебання) атома: при температуре .абсолютного нуля это движение можно описать через нулевую энергию з/зйв.
Это энергия трехмерного квантового гармонического осциллятора в его основном состоянии, отнесенная к величине классической эпергин того же осциллятора, находящегося в покое. Половина энергии осцнллятора есть потенциальная энергия, так что выражение (2.73) дает для средней потенциальной энергии в основном состоянии: ((/) = — МоР (и') = — Лв 2 4 (2. 75) (и') = Зл/2Ма, (2.76) откуда, используя (2.72), получаем при Т = 0: ЬО' /=/осхр~ ~у<~] (2.77) Если С = 10з см — ', ы = 10м сек — ' и М =!Π— тз г, то показатель экспоненты равен приблизительно 0,1, так что!//с ж 0,9.
В этом случае при абсол!отном нуле 90% пучка испытывает упругое РассеЯние, а 10с/е — неУпРУгое РассеЯние. ЭнеРгиЯ, потеРЯннаЯ при неупругом рассеянии рентгеновского пучка, переходит к атому, который переходит при этом в возбужденное излучатель.ное состояние. Из выражения (2.74) и нз рис.
2.34 видно, что интенсивность дифракционной линии уменьшается (хотя и не очень резко) с Ростом температуры. На отражениях, соответствующих малым !О! й7 у о М х ч й й 3 ь й г ф Рис. 2.33, Температурная. ззвнсимасть интенсинности лвфракцнонвых максимумов (ЛОО) для алюминия. Отражения (в00) с нечетными значениями Ь запрецтеньь в ГЦК структуре [131, Я' ИО 150 100 уеду Л7Р ззтт 7 7' 102 значениям 6, это уменьшение менее заметно, чем на отражениях, которым соответствуют большие значения 6. Мы рассчитали интенсивность рассеянных пучков при когереитной дифракции или при упругом рассеянии по строго определенным, полученным из условий Брэгга направлениям.
Потеря части интенсивности лучей, дифрагированных по этим направлениям, по мере увеличения температуры обусловливается до некоторой степени появлением диффузного фона и вызвана неупругим рассеянием фотонов, которое обсуждается в гл. 5. При не)пругом рассеянии кванта рентгеновского излучения создается или уничтожается квант колебаний решетки; при этом изменяется как направление, так и энергия падающего фотона. При данной температуре множитель Дебая — Уоллера дифракционной линни уменьшается с увеличением величины вектора обратной решетки 6, связанного с отражением, Чем больше ~6(, тем слабее будет отражение прп высоких температурах. Температурная зависимость интенсивности отраженною излучения для отражений (000) в алюминии показана на рис.
2.35. Теория, разработанная нами здесь для описания отражения рентгеновских лучей, столь же применима для описания эффекта Мессбауэра (см. гл. 20 кнп~и (12]), который заключается в упругом испускании у-квантов (у-лучей) ядрамп. .атомов, находящихся в узлах кристаллической решетки.
Теория также применима для случая рассеяния нейтронов. Рентгеновский луч также может быть поглощен в кристалле посредством неупругих процессов, связанных с фотоионизацией электронов атомов и с комптоновским рассеянием. При фото- эффекте квант рентгеновского излучения поглощается и электрон покидает атом. Эффект Комптона заключается в рассеянии электроном кванта рентгеновского излучения (рентгеновского фотона): фотон теряет энергию и электрон покидает атом. Глубина проникновения рентгеновского пучка (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
