Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Выражение для суммарного рассеяния в данном направлении от решетки точечных атомов можно получить с помощью суммирования выражения (2.!5) для Е„по всем точкам решетки. Интересуюшая нас величина является суммой фазовых множителей: эе =— 2 ехр ( — !р „д ° Лй). (2.16) тпд Для этой суммы определяются разрешенные направления рассеяния, как показано ниже. Наиболее типичным случаем рассеяния является рассеяние на распределении электронной плотности по всему кристаллу. Если рассеяние иа элементе объема кристалла с()' пропорционально локальной концентрации электронов а(р), то амплитуда рассеяния пропорциональна интег,ралу ~ с(!г п (р) ехр ( — !р ° Лй).
(2.!7) Рассеяние решеткой точечных атомов. Пусть в кристалле ко- нечных размеров, имеющем форму параллелепипеда, одинако- вые точечные центры рассеяния расположены в каждом узле 75 решетки (2.18) р,„„, = пга+ пЬ+ рс, где пг, и, и — целые числа, значения которых лежат в пределах от 0 до М. В этом случае кристалл содержит Мг примитивных ячеек. Из (2.16) видно, что величина суммарного рассеянного излучения пропорциональна .4 == 2„ехр ! — г (та+ пЬ+ рс) ЛЙ]. (2.!9) трр Величину .Ф называют амплитудой рассеяния. Сумма, взятая по узлам решетки, максимальна, когда р р ЛЙ = (ггга+ пЬ + рс) ° ЛЙ = 2п ° (целое число) (2.20) для всех узлов решетки, так как каждый член, имеющий форму ехр( — гр,р ЛЙ), равен единице.
Когда ЛЙ удовлетворяет выражению (2.20), сумма для амплигуды рассеяния в пределах кристалла, имеющего М' узлов решетки, даст: Мз (2.2 !) Отклонение значения ЛЙ от величины, удовлетворяющей соотношению (2.20), будет значительно уменьшать величину сутгы в (2.19). Отложим до решения задачи 2.5 рассмотрение того факта, что амплитуда рассеяния стремится к нулю по мере увеличения числа узлов решетки, если только ЛЙ не удовлетворяет точно условию днфракции (2.20). Условия дифракции.
Величина ЛЙ = Й' — Й удовлетворяет условию дпфракцпи (2.20), если следующие три уравнения одновременно удовлетворяются для целых чисел Й, Й, 1: а ° ЛЙ= 2пЙ, Ь ° ЛЙ = 2аЙ, с ° ЛЙ= 2а!. ~ (2.22) Эти уравнения называюгся уравнениями дггфрггкггии рУадэ. Онн могут быть решены относительно вектора ЛЙ. Если ЛЙ удовлетворяет уравнениям (2.22), то амплитуда рассеянной волны, выражаемая соотношением (2,19), может быть записана следующим образом: ,я! = Х ехр [ — 2п! (гпй + пй -! р!)] (2. 23) где сумма тй+ пй+ р! принимает только целые значения, поскольку Й, Й, 1, пг, п, р — целые числа.
Для кристаллического 7б образца в форме параллелепипеда с ребрами Ма, МЬ, Мс получаем: м-1м-1и-1 -й= Х 2. Х (1)=М'. (2.24) т-а а=о а=о где ЛЬ удовлетворяет уравнениям дифракции Лауэ'). Решение уравнений Лауэ особенно просто, если крнсталлографические оси а, Ь, с взаимно перпендикулярны. В этом случае вектор ЛЬ, удовлетворяющий этим уравнениям, есть ЛЬ=2п( — „" а+ ь Ь+ — с), где а, Ь, с — единичные векторы в направлении кристаллографических осей, а Й, Ь, 1 — целые числа, Если кристаллографические осн нс взаимно перпендикулярны, вектор ЛЬ, определяемый выражщшем (2.25), не является уже решением уравнений (2.22), так как в этом случае нс все величины типа а Ь равны нулю. Для решения этой задачи в общем виде нам необходимо ввести понятие векторов обратной решетки. Это понятие оказывается настолько полезным и краспвым и имеет столь общее применение, что мы будем систематически пользоваться им в нашем изложении при решении всех задач, связанных с волновыми процессами в кристаллах, включая теорию энергетических зон.
Понятие обратной решетки было введено Дж. Гггббсоаь (2.25) ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА Рассмотрим вектор ЛЙ = ЬА + 1гВ + 1С, (2.26) где )г, Ь, 1 — целые числа, входящие в уравнения Лауэ (2.22), а А, В, С вЂ” подлежащие определению векторы. Подставляя (2.26) в (2.22), мы видим, что (2.26) есть решение уравнений (2.22), если выполнены следующие условия; А.а=2п, В а=О, С а=О, А ° Ь=О, В Ь=2п, С ° Ь=О, (2.27) А ° с=О, В ° с=О, С ° с=2п. Из первого столоца (2.27) следует, что вектор А должен быть перпендикулярен к Ь и с. Так как векторное произведение 77 ') Так же как и формула Брэгга, уравнения Лауэ представляют собой необходимые условия дифракпии.
Если элементарная ячейка кристалла содержит более одного атома, та эти уравнения не являются достаточными условиями, так как необходимо также, чтобы структурный фактор (определение его дано ниже) пе был равен нулю. Если оп равен нулю, то амплитуда рассеянной волны будет равна нулю Ь Х с есть вектор, перпендикулярный и к Ь, и к с, то для определения А остается только пронормировать вектор Ь Х с, чтобы удовлетворить уравнению А а = 2п. Выбрав мы можем удовлетворить всем условиям (2.27).
Это и будут основные векторы обратной решетки'). Они ортогональны только в том случае, если а, Ь, с также ортогональны, Все знаменатели в выражениях (2.28) записаны в виде а Ь Х с, так как из векторной алгебры известно, что Ь сХа=с аХЬ=а ЬХс. Эта величина есть объем элементарной ячейки. Любой произвольный набор векторов примитивных трансляций а, Ь, с приводит к той же самой обратной решетке. Необходимость отчетливого представления столь же существенна для обратной решетки, как и для реальной кристаллической решетки. Каждой кристаллической структуре соответствуют две решетки: кристаллическая решетка и обратная решетка.
Они связаны между собой соотношениями (2.28). Можно сказать, что дифракцнонная картина представляет собой карту обратной решетки кристалла, так же как микроскопическое изображение представляет собой карту реальной структуры кристалла. При повороте кристалла поворачиваются как кристаллическая (прямая), так и обратная решетки. Векторы кристаллической решетки имеют размерность длины, а размерность векторов обратной решетки (длина) '. Кристаллическая решетка — это решетка в обычном, реальном пространстве; обратная решетка — это решетка в пространстве Фурье. Введение понятия «пространство Фурье» ооосновывается ниже. Положение узлов кристаллической решетки р л„определяется выражением; р „р — — та+ иЬ+ рс (т, и, р — целые числа). (2.29) Аналогично определяются положения узлов обратной решетки, или векгоры обратной региегки хх, в пространстве Фурье: сг =ЬА+ ЬВ+ (С (й, (г, ( — целые гисль).
~ (2.30) ') Кристзллогрзд ы обычно опускают н этих соотношеннпх множитель 2л и обоэнзчзют зекгоры обрезной решетки кзк Ьь Ьь Ьэ, но большинство физикон, ззнимзющихси георией твердого тела, сохрзняюг множитель 2н. Ме. жду крнстзллогрзфзмн н физиками-тзердотельщиками рззгорзюгси по этому вопросу ожесточенные споры, з один из ныдзющнхсн кристзллогрзфон даже скзззл, что Гиббс будет крутиться з могиле со зсе зозрзегзющей скоростью, пока фнзннн-тзердогельщнкн гзк глумятся нзд эзмечзгельным изобретением, кзконь:и является обратная решетка. (Рзсскзззно Эвальдом.) 78 В пространстве Фурье каждая точка имеет смысл, однако узлы обратной решетки, определяемые выражением (2.30), особенно существенны.
Выражение для 6 (2.30) совпадает с выражением для Лм (2.26), так что если Л)т равен какому-либо вектору обратной решетки кт, то при этом удовлетворяются уравнения дифракции Лауэ. Для того чтобы понять, какое значение имеют векторы тх, составим скалярное произведение: 6 ° рт„= (/гА + (еВ + (С) ° (та + пЬ+ рс) = = 2п (йггг+ кп+!р) = 2п ° (целое число). Отсюда следует, что ехр(г'6 ° р „,) = 1. Пример. Фурье-анализ период»»чеонг»к распределений.
Концентра»гггго элок. траков в крнсталле н(р) можно вьгразить в виде ряда Фурье ') л(р)=~ и.е (2.31) к где р — радиус.вектор произвольной точки кристалла. Докажем важную теорему: для нроизволыюй функции, обладающей в решетке трансляционной не. риодичностыо, толг.ко те величины К, появляющееся а соответствующем ряду Фурье, явля»ется векторами обратной решетки 6, которые определены соотно. шенком (230). Запишем п(р+р...], где р„„, = та+ нЬ+ де — трансляция кристаллической решетки: и (р + ртнр) = ~ ик ехр (»К р] схр (1К рашн). (2.32) к Эта фйякция будет иметь»келаемжо трансляциоияжо периодичность и будет равна л(р), только если выполняется следугощсе усчовне К (те+ пЬ+ ре,' =.2л (целое шюло).
(2.33) Последнее выраженно в точности совиадает с условием 0 р„„= 2л (цслас число), которое встречалось нам выше. Таким образом, (2.31) можно ') Разложение в ряд Фйрье вещественной нериодической фуякцнн и(х) в одномерном случае обычна записывается следующяя образом. л (х) = С, + ~ (Ср соз рх + ал зги рх), э>о где все коэффициенты С и Я вЂ” действителг ные числа. Ряд и(х) =на+ 2л ллегл"= р ть Е = пь + 2 [нр (соз рх + г зги рх) + н (соз рх — ! 5»а рх)) р>а (2 3(б) Ср ггй (ия + и л) Яр Гн» гл Я (и и лр — — и (2.3! в) 79 можно привести к виду (2.31а), выбран соответствующим образом веществен- ную и мниыую части коэффициентов и, и л м которые являются комплекс- ными числами: и Рнс 2 17 переписать так: и (р) = ~ ап ехр ()О Р) с (2 34) где С =- ЬА+ ЬВ+ (С есть произвольный вектор обратной рсшетки.
Величины 6, Ь, 1 являются целымн числами, как следуег из определения вектора О. Набор величин пп полностью описывает распределение электронной плотности в кристалле, з таиже дифракпшо рентгеновских лучей. Для того чтобы продемонстрировать эту связь, подстаиим в (2.17) выражение (2.3Ч): 3(/и (р) схр ( — (р ° Лй) = ~ пп ~ АГ ехр ((6 ° р) ехр ( — (Лй ° р). (235) и Интеграл равен объему 1', если ЛЬ ранен вектору обратной решетки 6, и можно показать, что ннтеграл будет равняться пулю, если Лй не равен вектору обратной решетки.
Соотношение (2.35) убеждает нзс в том, что величина ло является мерой величины амплитуды днфрагированчого луча. На рис 237 и 2.18 приведен пример фурье-анзлвза периодического распределеяия в кристалле. На рис. 2.17 показана отдельная прямоугольная при. митивная ячейиа с осями а и Ь и базисом, состоящим из двух одинаковых атомов. Контурными лвннячн соединены места с одинаковой электронной концентрацией, На рис. 2.18 заштрихована ячейка обратной решетки. Около каждого узла обратной решетки приводится зяачение пп для коэффициентов Фурье распределения заряда, показанного на рис. 2.17, '>3 Ог бо >бб бз Рис. 2.18 Плотность вероятности можно выразить через ряд Фурье и (г) = = ~ лиехр (>С г), и где С вЂ” вектор ы обратной решетки На рисунке приводятся значения ! по ! 1О' и узлах обратной решетки, расположенных 2 > Особ ° ООЗ ог О Сг ° б Ос„ ° оаг г Л гг з ог ог ° оы сз ° гг ба ° гг ° оз Оаг Збб ° бб Зб ООЗ ! ! Зюа 2лто з з оз а.аз ° особ вблизи начала ! ! ! ! ! фурье - простран.
ства, для распре>о О бто 2О>о Зобо деления заряда, показанн на рпс 2 17. В действительности существует бес:боне>кое число узлов ооратпой решетки Обратите нннманне па го, как быстро уменьшаются коэффициенты Фурье по мере уд"пения от С = О. Это характерное уменьшенве коэффицяентов затрудняет обнаружение дифрагированных рентгеновских лучей при больших значениях С Распрсдблепие заряда было взято в виде гауссова распределения дтя упрощенна вычислений. Распределение вокруг атозза водорода пе является гауссовызг, а отличается от последнего множителем е ', где и — константа (У Тэапьр) Пример. Лорхмериоя оброгнол решетка. Россмотр>ги некоторую двухмсрну>о решетку (рис.
2.!9), ямсющую основные векторы и.= 2х, Ь = х+ 2д. Найдем основные векторы ооратной решетки. Для того чтобы при решении этой двухмерной задачи мы смогли воспользоваться нашими определениями для трехмерных решеток, предположим, что вектор с параллелен оси а; в этом случае плоскость, а которой будут лежать векторы обратной решетки А и В, совпадает с плоскостью, в которой располо>кены векторы а и Ь.
Положим с = х. Тогда еХи=хХ(2х)=2у; ЬХс=хХх+2уХх= — у+2х; а ЬХс=4. 7>ппппгппппчппппя Пешепгпп б>йпппгппя Ппптппгпп 81 Рнс. 2.19. Двухмерная обратная решетка Векторы А и В перпендикулярны к системам плоскостей (в проекции на плоскость чертежа — к ливиям) в кристаллической решетке, а именно: А и В перпендикулярны к системам плоскостей, которые проектируются на плоскость чертежа в виде линий, параллельных векторам Ь и а соответстиенно. Произвольный вектор, соединяюпшй узлы обратной решетки, перпендикулярен к некоторой плоскости в кристаллической решетке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
