Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 137
Текст из файла (страница 137)
Сейчас имеется достаточно много экспериментальных данных, свидетельствующих я пользу именно такого представления о характере перехода металл — диэлектрик, Мы рассмотрим трп теоретических соображения относительно таких переходов. Рассмотрим два атома водорода в вакууме, находящихся на большом расстоянии друг от друга. Зиергия, которую необходимо затратить для удаления электрона из одного атома, называемая энергией ионизации, равна Е! .= — те'/26' = 13,60 эВ.
При присоединении элентрона к другому атому энергия выделяется, она называется эаергией электронного сродства; обозначим ее через Ев. Величина Ев = 0,77 эВ. Экспериментальные значения Ез приведены в табл. 3.4. Таким образом, энергия, необходимая лля возникновения полярного состояния Е, (энерзия образования полярного состояния), в случае водорода равна разности указаннмх энергий: Е =Е! Ед=1360 0,77=12,83 эВ. (Н.З) Из Приложения Р, где было рассмотрено приближение сильной связи в применении к вопросу об образовании энергетических зон в металле простой кубической структуры, мы знаем, что энергия основного состояния электрона в зоне проводимости меньше, чем энергия электрона в !з-состоянни в свободном атоме, на величину Еы у,й чъ Ь ч ъч г(й 2 )уееапеееее реееегеение и ее.
Ь Ггее г Рис. Н.1. Зависвмость от меэказомного расстояния энергии перескока Ен и энергии образования полярного состояния Ер в случае двух атомов водорода в основном состоянии. Величина Ер принята раиной 12,82 эВ. Величина Ез вычислялась длн простой кубической решетки из атомов водорода. Учет энергии кулоновского притяжения в паре электрон — дырка (т.е. ион Н- и протон) уменьшает знергшо образования полярного состояния Ег. Заштрихованная область значений а соответствует диэлектрическому состоянию твердого тела, в котором, однако, существуют подвижные электронно-дырочные пары (зкситонный диэлектрик).
где у — энергия, обусловленная перекрытием волновых функпнй соседних атомов. Величину Ен часто называют энергией перескока. В случае двух атомов водорода, находящихся на расстоянии а, для энергив перекрытия (см., например, формулу (42.12) в книге Полинга н Уилсона (5)) имеем: У 2 ~ 2йт ) (1 + ) (1).б) 12 (1 ) ) е-а/ае (Н.б) 24 Ч. Кнттель 741 Гнпотеза Мотта состоит и том, что кристалл будет металлом, если энергия перескока Ен будет больше, чем энергия образования полярного состониия, т.
е. если бу ) Е,. Применение этого критерия иллюстрируется графиком на рис. Н.1. Если пренебречь Ее по сравнению с Е, в выражении (Н,З), то критерием перехода пожег служить выполнение соотношения: Рассматривзя (Н.б) как уравнение для а и решая это уравнение атно. сительно а, получим: ао яа 4 1ао (Н,7) Это значение близко к значению а* св 4,2 ао, иоторое получается, если счи. тать, что значение Ер определяется соотношением (Н.З). Эиергин образования полярного состояния будет меньше, если элеитрои, удаляемый из атома, переходит затем к соседнему атому. Энергия Ео, с по. правкой иа образование такой пары электрон — дырка, будет иметь значение е' ео ао Ер (а) = Ер — — — — Ер — — — о, а а, а ' (Н.8) где е' те' — = — = 2)(у. до (Н.9) Кривая, соответствующая этой энергви, также показана на рис.
Н.(. Легко заметить, что она пересекается с кривой Ео прн а 4,8 ао В области значений а между 4,2 аз н 4,8 ао в диэлектрике могут, по-видимому, существовать связанные пары электрон — дырка, обладаюгцне подвижностью. Такой диэлектрик называют иногда эксатонно~м диэлектриком (экситоны рассмо. трепы в гл. 18). Лля меди оценка энергии образования полярного состояния Е, дает величину 2 эВ; соответствующая оценка энергии перескока Ео дает величину 6 эВ. Величина отношения Ео/Ео яв 1/3 вполне совместима г тем фактом, что медь, естественно, ведет себя как металл.
Экранирование электронно-дырочных пар. Переход металл — диэлектрик можно рассматривать и с другов точки зрения. З(ы можем исходить из металлического состояния и <раздвигать» решетиу зодородоподобных атомов до тех пор, пока твердое тело не станет диэлектриком. Предположим, что изменения в системе начинаются с того, что электроны проводимости металла образуют с ионами связанные состояния. й(ы увидим, что эта задача связана с проблемой экранирования кулоновского взаимодействия другими электронами проводимости: при уменыпении плотности кристалла могут образовываться связанные состояния, и поэтому металл становится диэлектриком. Экранированная потенциальная энергия электронно-дырочной пары нли же пары электрон — протон дается выражением (8,25): е' У(г) = — — е г (Н.10) где бииОЕ 4гиззи~а Г З Чцо 4ией в, (Н.1! ) (НЛ2) Л ( 1/ао.
742 Здесь использовано выражение для энергии Ферми: еи — — (йо/2т) (Зяои ) /'. Известно (см. (14]), что потенциал (Н.10) приводит к образованию связанных состояннй электронов в поле фиксированного положительного заряда е при условии, что 'Если принять во внимание (Н.!1), то неравенство (Н.12) примет вида 4 и~о — < —; 2 ао аз или, поскольку л, = !/аз, мы получим диэлектрик, когда а ) 4аа (Н.13) Видно, что полученное этим путем условие весьма близко к результату (Н.8). Модель зкситониого состояния Кокса. Экситапы а полупроводниках с не. прямой энергетической щелью рассмотрел Нокс (см, его книгу [15)). Энергия образования экситона равна Е,— Ез, где Ев — энергия связи зкситона. Ллгг водородной модели экснтона (см, гл, 18) имеем: Е = мех(2езйз, в (Н 14) где Р— прнведенная масса электроняо-дырочной пары, определяемая соотно.
шепнем 1 1 1 1г лт ' лг (Н.!5) а е — диэлектрическая проницаемость. Для непрямой энергетической щели величины Р н е мало чувствительны к ширине и!ели, но онн сильво от неа зависит в случае прямой энергетической щели Разумно предположить, что под действием давления ширина Ег непрямой щели может уменьшиться н стать сколь угодно малой, тогда как Ев остается конечной величиной.
Когда Е, станет меньше Ез, энергия, необходимая для образования экситана, окажется отрицательной и нормальное основное состоянве кристалла по отношению к образованию зкситонов будет неустойчивым. !. ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ С ИМПУЛЬСОМ ПОЛЯ, КАЛИБРОВОЧНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И КВАНТОВАНИЕ ОРБИТ зз 2х( (Л вЂ” — А) +Схф, 2 где Π— заряд, М вЂ” масса, А — векторный потенциал, ф — электростатический (скалярный) потенциал (вывод формулы для зв дается ниже, см.
(!.18)). Выражение (1.1) справедливо как в классической, так и в квантовой механике. Поскольку статическое магнитное поле не изменяет кинетической энергии частицы, может показаться неожиданным, что в гамяльтоииан входит векторный потенциал магнитного поля. Однако, как мы увидим ниже, это легко обьяснить, поскольку импульс р представляет собой сумму двух членов: первый член — зто знакомое нам количество движения. В», — — М»г (!.2) 748 Это приложение включено в книгу, во-первых, потому, что нелепхо взйтн в литературе достаточно хорошее описанве магнитного векторного потенцна. ла, и, во-вторых, потому, что нам оно необходимо для нзлогкення теории сверхпроводимости. Может показаться загадочным, что гамильтонван часмщы в магнитном поле имеет вид а второй член — это потенциальный импульс, или импульс поля: () с ПВ) Таким образом, полный импульс (1.4) Теперь.
имея в виду (!.4), запишем кинетическую энергию: 1 1 1 / () 2 2М 2М гт. с будем считать, что мы имеем дело с иемагнитным материалом и поэтому иет необходимости различать В и Н. Уравнения движения Лагранжа. Согласно предписаниям класснческой механики, чтобы найти гамильтопиан, мы сначала должны выписать лагрзижиаи. В обобщенных коордииатал для лаграпжиана имеем следуюшее выражение: й = — Мде — гор (4) + — 4 А (4). '2 2 с (1.7) Сейчас мы увидим, что зто — правильное выражение для Ь, ибо оно приводит к правильным уравнениям движенвя заряженной частицы при наличии одновременно и электрического, и магинтного полей.
Запишем уравнения движения Лагранжа в декартовых координатах: д). д(. — — — — =0 д( дх дх н аналогично для осей у и х. Пользуясь (1.7), найдем необходимые производные: дй дйг 4) / ддх ддд дАз'т — — 4) — + — (х — + у — + 2 — ), (!.9) дх дх с т. дх дх дх )' — =Мх+ — А„, дь . (Г (1.10) дх с дй - Я ддх - !Р У дАх дАх . дАх . дАх Х вЂ” — Мх+ — — = Мх+ — ( — +х — "+у — +х — ), дг дх с Ж с х д( дх ду дх )' (1А 1) Итак, уравнение (1.8) примет вид Мх + !7 — + — ~ — + у ( — — — ) + х ( — — — Я = О, (1.12) или М вЂ”,=ЯЕх+ — (з Х В)х, д'х сг (1.13) ') Элементарная трактовка векторного потенциала дана в учебнике Парселла !!6).
744 Векторный потенциал ') А связан с магнитным полем В известным соотношением В гог А. (1.6) где дф 1 дАх Ех = —— дх с д! (1.!4) В=го!А (1.15) В правой часта уравнения (1.!3), как легко заметить, стоит выражение для силы Ларентца. Этот факт подтверждает правнльность выбора лагранжиана в форме (17). Заметим также, что согласно (!.!4) электрическое поле Е состоит нз двух частей: первая определяется злектростатичесним потенциалом ф, а вторая — производной по времени от мапштнога аекториога потенциала А. Вывод гамильтониаиа. Импульс Р определяется как производная лагран- жнана по д; — = Мя+ — А дь .
Я дл с (1.16) Это выражение находится в согласии с (1.4). Гамильтониан эв"(Р,д) опреде. ляется, как азвестно, соотношением: М(Р ч) ив м Р ч — 1. (1.!7) Раскрывая правую часть получим с ! 2 1 / 1) Я = Мдз -[- — а А — — Мг)з+ фР— — д А — !хр — — А) + геф. с 2 с 224 х с (!.18) (1,!9) Мы работаем в нерелятивистском приближении, т е. считаем, чта скорость частицы о « с. Прн малых значениях отношения а)с мы можем считать, что поле В обусловлено лишь внешними истопниками, а поле Е создается лишь зарядом частицы.
Если заряд 1и находится в точке г', то В = — Чф, Чтф = — 4п() й (и — с'). (!.20) СЛЕДОВатЕЛЬНО, ДЛЯ ИМПУЛЬСа Рн,ы ИМЕЕМ: Р, а= — — дУЧфХго1А (1.21) Используя стандартное нектарное тождество для Чф Х го!А, получим: дУ Чф Х го! А = — ~ др [А Х го!(Чф) — А сИт Чф — (Чф) б!т А). (1.22) На, поскольку го!(Чф) = О, мы всегда можем выбрать калибровку так, чтобы гВт А = О. Эта калибровка называется поперечной. Итак, имеем: Рг ы = — — ~ дУАЧ ф= — ~ др АЯ Ь(г — г') = — А. (1.23) а () 4пс с с Импульс поля.
Импульс в электромагнитном поле, сопутствующий частнпе, движущейся в магнвтном поле, определяется пнтегралом по объему от вектора Пойнтннга: Этот результат раскрывает смысл вклада поля в полный импульс: р = Ме+ Г2А)с Калибровочное преобразование.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
