Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 140
Текст из файла (страница 140)
йс (К.25) Видно, что величина тока зависит от магнитного потока Ф. Ток достигает максвмальных значений при еФ вЂ” гя, где г — целое число. (К.26) йс Примеры графиков периодической зависимости тока от напряженности магнитного поля показаны на рис. КА Более воротний период (случай В) Диззгзтлллгг а Рве.
К.З. Схема эксперимента (хаа включенных параллельно джозефсоновских перехода) по обнаружению манроскопической квантовой интерференции. Магнитный поток Ф проходит через внутреннюю часть петли (магнитное пале В направлено пер. пендикулярпо к плоскости рисунка на читателя). зуизлезя(лагг Ь 756 Из выражения для частоты (К.21) следует, что фотон с энергией йго = 2с'г' будет испускаться или поглощаться прн пересечении барьера электронной парой.
Из измерений напряжения и частоты можно получить весьма точное значение отношения е(й (см, работу Паркера и др. [19]). Макроскопическая квантовая интерференция. В Приложении 3 мы уста. повили, что разность фаз Оз — 8, после прохождения оа замкнутому контуру.
пересекаемому полным магнитным потоком Ф, выражается соотноц синем — Д(гГ -г!й! В Ыгг йтгй Айг 'г(огннюное лоле, нГ. Рис. КА. Полученная экспериментально запись зависимости тока У„., от напряженности магнитного поля, иллюстрирующая эффекты интерференции и дифракпип для двух пар джоэефсоновских переходов. Периодичность изменения поля 39,5 мГс (для случая А) и (6 мГс (для случая В). Приближенная опенка максимальных токов дает ! л[Л (для А) и 0,5 мЛ (для В). Б обоих случаях расстояние между переходами 3 мм, а толщина самих переходов 0,5 мы. (Из работы Яклеввча и др, (20).) соответствует интерференцнонному эффекту двух переходов и отвечает соотношениям (К.25) и (К.25) Более длинный период (случай А) — случай дафракпиониого эффекта и является следствием конечных размеров каждого перехода; по этой причине бз зависит от конкретного пути интегрирования.
Дифракпиопный эффект весьма затруднял наблюдение туниелировання пар в ранних эхспериментах по туннелнрованию неспаренпых электронов. Дифракпионные эффекты на неспаренных (отдельных) алек~ренах не удавалась обнаружить, пока не были приняты особые меры предосторожности (как прн конструировании установки, так и по экранированию посторонних магнитных полей); следует также иметь в виду, что вклад туннелирования пар сильно искажается дифракпионными эффектами. Ь ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДНИКА С ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ЩЕЛЬЮ (ТЕОРИЯ БКШ) Теория Бардина — Купера — Шркффера (БКШ) в ее оригинальной форме [2)! не трудна для понимания и выглядит еще проще, если при ее изложении использовать метод спинозой аналогии, предложенный П. Лндерсоном.
Подробное изложение имеется в гл. 8 книги Киттеля (22]. Сущность теории основного состояния можно уяснить, не прибегая и сложной математике, а просто сделав дополнительные упрощения в предположекиях, служащих базвсом теории. Сначала мы сформулируем математическую задачу, полезность которой состоит в том, что она облегчит нам последующее изложение. Эта вспомогательная задача, с которой мы начнем, не есть проблема сверхпроводимости, по достаточно тесно с ией связана. Вспомогательная задача на собственные значения. Рассмотрим некоторую невозмущенную одночастичную систему с таким спектром энергетических 757 Предположим, что составленные таким способом волновые функции являются точнымн решениями уравнения Шредингера в случае наличия воз- мущения (дб,+ и>ф,= ир,=е(фр (1..2) Здесь учтено, что Яаф~=О в силу специального выбора начала отсчета энергий.
Взяв фг в виде (В.1] и подставляя в ((..2), получим; с/5Утя — — а( ~ с)тфм Ю 5 (1.3) Умножим теперь ((..3) с обеих сторон на ф и проинтегрируем по объему. Для интегралов, содержащих У, введем обозначение (т>У>з), обычное для матричных элементов. В результате получим систему уравнений стт (гл 1 (Г ) з) = агс)иг, ( Л) где правые части иыеют простой внд, поскольку подразумевается, что функции г( ортогоиальны и иормнрованы Итак, мы имеем Р уравнений (1.4), каждое из которых отвечает одному из Я выборов функции грж, на которую ыы умножалп (В.З).
Лля каждого значения > мы имееъг систему из Й одновременно независимых уравнений относительно >с неизвестных с „. Эта система однородна и поэтому имеет нетривиальные решения лишь при равном нулю детерминанте системы, составленном из коэффициентов при с„л <1>и>1) — е...
<1~ и>>с> ((..5) (Р( У(1) ... <)с> У> г() — е ') Это как раз первое приближение теории возмущений квантовой меха. ники для задачи с вырождением. 758 уровней, в котором одни уровень >с-кратно вырожден и резко отделен (по энергии) от всех остальных уровней. Иначе говоря, в нашей системе (г независимых состояний с одной и той же энергией. Пусть теперь в системе воз. пихает дополнительное взаимодействие в виде слабого возмущения. Это воз. мушение может расщепить вырожденный уровеяь, в результате чего вместо одного вырожденного уровня образуется полоса уровней, заииъгающая некоторый энергетический интервал, где состояния уже не будут обладать одной и той же энергией. Обозначим через грь ~рг, ..., грз волновые функции ц.
состояний вырожденного уровня Эти волновые функции удовлетворяют уравнению Шредингера иевозмушеинай задачи. Начало отсчета энергий мы можем выбрать так, чтобы уравнение имело вид Жьф = О. В первом приближении волновые функции при наличии возмущения (1 можно записать в виде линейных комбинаций из исходных волновых функций иевозмушецной задачи '): ф( = ~ с(зф,. (1..1) 5 ! Задача сводится к нахождению корней в этого детерминантного уравнения. Решение может оказаться достаточно сложным и потребовать чисаеииых методов. Имеется, однако, простой частный случай, для которого корни можно найти сразу, зная лишь вид уравнения. Предположим, что все матричные элементы одинаковы и равны единице. Тогда (Е.б) причет аид: ! — е ! ... ! 1 1 — в ...
! О. (1..6) 1 1 1 — в Тогда собственные значения (Е.б) можно найти простым приемом. В алгебре есть теорема, которая утверждает, что сумма всех корней детермииантцого уравнеивя равна сумме всех диагональных элементов (/)(/)/), Сумма диагональных элементов (1..6) равна /7; следовательно, и ~". а/ =/7. (Е.7) / 1 Согласно другой теореме сумма квадратов всех корней детермннантного )равнения равна сумме квадратов всех элементов детерминанта. В нашем случае получаем: я 2 /(2 (1..8) /=1 Теперь сделаем предположение, что один из корней (Е 6), например еь ранен /7, а все остальные /7 — ! корней равны нулю. Такое решение удовлетворяет и первой, в второй теоремам, т.е.
(Е.7) и (Е8). Убедимся в том, что один из корней действительно равен /т. Составим симметричную комби. нацию базисных векторов (волновых функция) грм „! /7-1/2 ~ (1..9) Эта волновая функция описывает состояние с энергией ем ° =(ф,(и)ф,>= — 7 (/!и!з>= — /( =/(.
! ч, ! '=/7~ /7 /з (1..1О) (Е.!!) для всех пар состояний !, з. Здесь 8 — положительная константа. Тогда, учитывая (1.,6), (1..8) и (1,10). получим: а, = — /тй. (1..12) 759 Ио это значение корня исчерпывает сумму в (1.8), и поэтому действительно все остальные корни оказываются рзвнымн иул:о. Иго и требовалось доказать. Если потенциал возмущения (/ является потенциалом притяжения и описывает четко локализованное взаимодействие, то матричные элементы в (ЕИ) в (Е.5) будут отрицательными и почти равнымн. Предположим, что О!и)з>=- — 5 ,=ббВВВВВуЛЛЛ()р-77 Е э- эрл ууфайлд, г Рис.
)..1. Энергетический спектр одночастичной системы (в исходном состоянии Я-кратно вырожденной) при наличии возмущения У, для случая, когда матричные элементы ())У)з) = — Ь, т.е. равны для любой пары состояний ! и з. Характерна, что один уровень (вг) отделен от остальных энергетической щелью шириной Е, = Еб.
На рис. )..! схематически изображен получившийся спектр: уровень е~ отделен ат остальных )! — 1 уровней; энергетическая щель Еа между уровнем основного состояния в = О и первым возбужденньгм уровяем имеет ширину М, Даже при слабом взаимодействии У (еслп кратность вырождения Е велика) уровень в, обладает, очевидно, заметной стабильностью, поскольку величина г)б может быть при этом достаточно большой.
Электронные пары и сверхпроводящее состовнне. В только что рассмотренной задаче волновые фувнцин йь описывали состояния одночастичной системы. Предположим, что мы имеем систему нз М свободных электроноа, первоначально не взаимодействующих между собой. Различные состояния Ф этой системы из Ж электронов можно описывать наборами одноэлектронных состояннй, всходя нз того, что числа заполнения в силу @ринципа Паули могут принимать лишь одно из двух значений либо О, либо 1, Будем обозначать одпоэлектронное состояние через й); здесь й — волновой вектор электрона.
а стрелка указывает, что спин этого электрона направлен вверх. Удобно записать волновую функцию системы У частиц (электронов) через валногые функции одначастичных состояний, используя для них обозначение Ф, н имея в виду, что оно относится лишь к заняызьг состояняям. В отсутствие взаимодействия между электронами каждое одночастичаое состояние будег либо занято, либо вакантно. Волновую функцию йг.частичной системы Ф, можно записать а виде б'*="гт'' йгэ "зф ' ймф где индексы у й относятся к частным значениям волнового вектора, кадифи. нация которых достаточно произвольна.
Пусть теперь электроны взаимодействуют между собой; будем считать это взаимодействие парным и энергию взаимодействия % записывать в виде суммы энергий парных взаимодействий '): И= ~ и(г — г„). ') В сверхпроводниках важный вклад в величину У вносит кулоновское отталкивание, а непосредственная связь между электронами обусловлена нарушениями идеальности решетки, которые обеспечивают электрон-фононное взаимодействае.
Суммарное взаимодействие проявится в виде притяжения электронов„ находюцнхся вблизи поверхности Ферми, в частности тех, ното. рые на поверхности Ферми обладают дебаевскай энергией ~йгоэ. Это те электроны, которые формируют основное состояние сверхпроводника )см. ниже формулу (Б.!6) !. 760 Каждый член суммы, трактуемый как оператор, проводит к рассеяшпо двух электронов (мапрпмер, находящихся па р п г местаь в наборе одна- частичных функций в волновой функции Фз) и нх переходу в другие двв одпозлектранпые состояния, подразумеваемые вакантными, т. е, состояння, которые не представлены как занятые в Фз. Тогда олин акт рассеяния перводит изстему йг частиц нз состояния Ф, в другое Лпчастнчное состояние, например Ф,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
