Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 135
Текст из файла (страница 135)
Моды продольных колебаний системы определяются (как мы установили ранее в гл. 5) нулями функции з(К, ы). В точках, где функция в(К, ы) обращается в нуль (учитывая, что ал — '/это~к), имеем: 4пи'е' 4иие' е, т ы = К = — — К = — отлК, Мдг М бпиег ЗМ (0.22) или ы=оК, о= .ч/ /3М. (0.23) 4ии| г 4иисг е(0, ы) =1 — —— Л(ыг гиюг (0.24) Эта функция обращается в нуль прн 4ииег И ! 1 1 — = — + —. 9 М т' (0.2б) Условие (Р.25) есть выражение для электронной плазменной частоты, где, однакв, вместо масси электрона стоит масса р, вносящая поправку иа движение положительных ионов.
Е. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРА!И вЂ” ДИРАКА Выражение для функции распределения Ферми — Дирака можно легко вывести, имея даже небольшой багаж знаний о статистической физике, Функция распределения Ферми — Дирака /(е) есть вероятность того, что одно- частичное состояние с энергиеи з является занятым, когда систеыа частиц, для которой указанное состояние — одно из возможных, находится в тепловом равновесии при температуре Т.
Воспользуемся распределением Гиббса, которое является обобщением распределения Больцманз; согласно Гиббсу ') вероятгюсть Р(К, е~) того, что система содержит Аг частиц и ее полная энергия равна зг, пропорциональна (Е.1) ехр ((Рйг — а )/йдТ1. ') См. книгу Киттеля 110). 73х Нетрудно заметить, что эти выражения описывают длиннаволиовые акустические фоноиы. Приведенная формула для скорости находится в хорошем согласии с экспериментальными значениями скорости продольных волн в щелочных металлах, Например, для калия формула дает о = 1,8.10' см/сск, а наблюдаемое значение для скорости продольных волн в направлении [!00) равно 2,2 10' см/сек (при 4 'К). Поскольку и « ог, условие применимости диэлектрической функции (Р.19) к электронному газу, а именно условие ы < огК, н данном случае выполняется. Имеется, однако, и другой тип нуля функции з(К,го), т.е.
другое условие, при котором в задаче о решетке положительных ионов, погруженных а электронный газ, диэлектрическая функция обрашзется в нуль. В случае высоких частот к диэлектрической функции в виде (Р.20) надо добавить диэлектрический вклад электронного газа -- юр/го из второго из выражений 2 г г (Р.!8) и воспользоваться полученным выражением выесго (0.19). А именно, получим: Здесь )з — химический потенциал, который должен быть определен так, чтобы соответствовать полному числу чзстип системы Ф (см. обсуждение этого вопроса в гл.
7). Применим выражение (Е.1) к случаю состояния, в котором может находиться не более одного электрона. Когда состояние не занято, будем считать энергию равной нулю; отсюда следует, что Р (О, 0) ез = !. (Е.2) Когда состояние занято электроном (в силу сказанного выше — единственным), то Р(1, е) екр 1(р — з)(~й 7'). (Е 3) Следовательно, вероятность того, что данное состояние занято, можно записать в виде Р(1, з) ( "в1 л Р(О,О)+Р(1, е) Рр — ей +'"р( й т ( в (Е.4) 1 ехр(~, т )+ Это и есть тот результат, который мы хотели получить. г. ПРИБЛИЖЕНИЕ СИЛЬНОЙ СВЯЗИ ДЛЯ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛАХ Вопрос об образовании разрешенных и запрещенных полос полезно рассмотреть также с иной точки зрения, не так, как это было сделано в основном тексте. Рассмотрим систему нейтральных изолированных атомов н нс энергетические уровни. Попытаемся выяснить, что будет происходить с уроннпми, если распределения зарядов соседнях атомов перекрывается, котла атомы сближаютси, образуя металл.
Причины расширения энергетических уровней свободных атомов в зоны цри сближении атомов можно понять, рассматривая систему нз двух атомов (зл Рл ° гй уз бу Рис. Г.1, а) Схематическое изображение волновых функций электронов днук атомов водорода, удаленных друг от друга. б) Волновая функция основного состояния двух атомов водорода, сближенных между собой. з) Волновая функция возбужденного состояния. 732 водорода, электроны которых находятся в основном 1з.состоянии. Е1а рпс Г.!,а схематически изображены волновые функции ф» и фз изолированных атомов.
Прн сближении атомов их волновые функции перекрываются, и мы приходим к волновой фуикцгш системы из двух атомов. Эта волновая функция в простейшем случае представляет собой линейную комбгшацию функций ф» и фз вила ф~ щфа, т.е. имеются две возхюжностн. В наждой комбинации электронное распределение между двумя протонами сохраняется, но энергия системы электронов в состоянии фи+ фа будет несколько ниже, чем в состоянии фз — фз.
Прячнны этого в следуюцгем В состоянни ф»+фа (см. рнс. Р,1,6) электрон часть своего времени находпщя где-то на полпути между двумя протона»ш, под влиянием потенциального поля притяжения одновременно двух протонов, тем самым увеличивая энергию связи.
В состоянии фг — фз (см. ряс, 121,в) плотность верзяпюсти на середине расстощшя между ядрами обращается в нуль и поэтому никакой добавки к энерюш связи пе возникает. Таким образом, прн сближении двух атомов каждый уровень изолированного атома образует два разделенных энергетических уровггя.
При сбли. женин йГ атомов каждый уровень изолированного зтома образует Л' уровней системы, н эти йГ уровней образуют одну или несколько зон. По мере сближения свободных атомов кулоновское взаимодействие ме. жду атомными остовами и перекрывающиеся части электронных распределений будут приводить к расщеплению энергетических уровней системы атомов и к расширению уровней в зоны. Состояние системы свободных атомов, характеризующееся ивантовыми числами п, з, «расплывается» в металле в энергетическую зону.
Здесь и овна. чает главное квантовое число, а з показывает, что орбитальный момент количества движения равен нулю. Ширина зоны пропорциональна интенсивности взаимодействия, или степени перекрытия электронных распределений соседних атомов, каждый из которых находится в состоянии и, з. Зоны образуются также из р, г(, ... состояний (1 = 1, 2, ...) свободных атомов, В сво. бодном атоме (21+!) состояний вырождены и образуют (21+ 1) зоц. Каж.
дая из этих зои, вообще говоря, будет охватывать разные области энергий для данного интервала значений волнового вектора. Лве пли несколько зон могут охватывать одну и ту же область энергий длн некоторой области волновых векторов й в зоне Бриллюэна. Прнблщкенную теорию, в которой исходят из волновых фучкций свободных атомов, называют приблизееииел сильной связи. Т1ростой пример ее применения дается ниже. Приближение сильной связи вполне себя оправдывает для внутренних электронов атомов, но часто не дает хорошего описания самих электронов проводимости.
Однако она используется для приближенного рассмотрения с(-зон некоторых переходных металлов и валечтных зон в кристаллах инертных газов. Предположим, что электрон в основном состояния, движущийся в поле потенцизла У(г) изолированного атома, описывается волновой функцией ф(г) и его энергии равна Е«. Предположим, далее, что состояние, описываемое функцией ~р, есть з-состояние. Отметим попутно, что подход к зонной картине, исходя из вырожденных р, А ... атомных уровней, будет более сложаым.
Если влияние одного атома на другой мало, то пряближенная волновая 733 функция одного электрона в кристалле в целом может быть записана в видо линейной комбинации атомных функций ф(г — г/): р (г)-ХС /ф[г — и/) (Е 1> / где сумма берется по всем узлам решетки. (Предполагается, что примит.юный базис содержит один атом.) Функция ф относится к числу функцаи Блоха, если коэффициенты в правой части (Г.() имеют вед С»/ ~ = й ' ехр (нй г ), т. е. для кристалла из /у атомов зр, (г) = й/ '/т 2"„е/»'/ ф (г — г,.). / (г.2) Мы покажем, что функция (Г.2) относи~ся к числу функций Блоха, рассматривая преобразование трансляции на вектор Т, соеднняюший даа произвольных узла репзетки: ф» (г+ Г) = У ' ~ е' / ф (г+ Т вЂ” г ) = -'/ /» и /» (г -и) /» г =У е ~е ' / ) ф[г — (/ — Т)[= е ф(г): / (г Зг (й(уе(й>=// ХХ ' '('/ ' )(и )Ж(%/>, (Р.4р / м где ф ф(г — г ).
Введем р = г — г; тогда (й(/б(й>=~~', ' 1Л'ф( — р )Мф(). (г БР Теперь пренебрежем в сумме (Г.б) всеми интегралами за исключениегг тех, которые относятся к самому данному атому, н тех, которые являюссж его ближайшими соседями (т. е. в последнем случае сохраним лишь векторы р). Тогда получим: с/(/а*(г) еэф(г) = — а; ~ и'(/ф'(г — р) Уйр(г) = — у; (Р.бй следовательно, (й ( рэ ( й) = — а — у ~ е Итак, для энергии в первом приближении имеем выражение т /»г е †а †» (Г.ур этот результат показывает, что функция ф» (г) полностью удовлетворяет.
требованиям, предъявляемым к функциям Блоха, Энергию в первом приближении мы найдем, вычислив диагональные матричные элементы тамнльтониана кристалла. Запишем выражение для диагонального матричного элемента; Рис. Г.2. Поверхности постоянной энергии в зоне Бриллюзпа простой кубической реп>етки; предполагается, что зависимость энергии от й в энергетической зоне описывается выражением е»= — а — ст(со>»ха + гоз»аа т соз»са) а) Поверхность постоянной энергии, когда ь = †+ 2)у). б) Поверхность постоянной энергии, когда е = — и.
Во внутреннем объеме на элементарную ячейку приходится адин электрон. в) Поверхность постоянной энергии, когда е = †, но для случая периодической зониой схемы. Здесь связь между состоянимн вндна более ясно, чем в случае б. Легко обнаружить дырочные и электронные состояшш. (Рисунок из известной книги Зоммерфельда и Бете (13).) В случае простой кубической решетки для координат атомов, нвляюшихся блпжайп>ими соседями, имеем: ря> = (~ а, О, 0); (О, ~ а, 0); (О, О, ~ о), (Г 8) н из (Г.У) в этом случае получим: е» вЂ” — — а — 2у (соз й„а + соз й„а + соз й а) Видно, что энергии заключены в зоне шириной 12у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
