Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 136
Текст из файла (страница 136)
Чем меньше перекрытие, тем уже энергетическая зона. Некоторые поверхности постоянной энергии для зон типа (Г.О) показаны на рис. Г.2. Прн Йа ~ 1 еа яв — а — бу+ уй'аз. (РЗО) Энергия вблизи дна зоны не зависит от направления движения. Эффектна. ная масса электрона т' = йв/2уаз (Г.11) Когда интеграл перекрытия у мал, зона является узкой, а эффективная масса — большей.
Каждому состоянию электрона в свободном атоме отвечает энергетическая зона в кристалле. Здесь мы рассиатривали одно состояние свободного атома и получили одну зону. Число состояний в зоне, которое соответстнуе~ невырождеииым атомным уровням, равно 2Л', где Л вЂ” число атомов. Это срззу видно нз (Б.й), поскольку праная часть выражения для энергии является периодической функцией Й и, следовательно, лишь те знзчения Й, которые лежат н Й-пространстве в первой зоне Бриллюэна, определяют иезависи. мые волновые функции.
В случае простой кубической решетки многогранник в Й-пространстве определяется плоскостями: Й, = ~п/а, Йк = ~п/а, Й, = = ~п/а, его объем равен 8пв/аз. Поскольку число состояний на единицу объема Й-пространства (с учетом двух ориентаций спина) равно Гг4п', то полное число состояний иы найдем, умножив объем многогранника 8п'/а' пэ )Г/4пз( н результате получим 21'/а' = йгУ. Здесь )г — объем кристалла, 1/а' — число атомов на единицу объема. Для ОИК структуры (число ближайших соседей равно 8) в той же мо. дели для еа из (Г.у) получим: еа —— — а — 8у сов (Й а/2) сов (Й а/2) сов (Й а/2), (ГЗ 2) Для П(К структуры (число ближайших соседей равно 12) аналогично получаем: еа — — — а — 4у (сов (Й а/2) сов (Й,а/2) + сов (Й„а/2) соз (Й а/2) 1 + сов(Йза/2) сов (Й„а/2)).
(Р 13) Поверхность постоянной энергии, отвечающая форме (8.13), показана на рис. Г.З. Отметим, что гексагональные грани этой поверхности совпадают с соответствуюгцими границами энергетической зоны. Рис. Г.З. Поверхность постоянной энергии для ГИК структуры. Случай приближения сильной связи, дополненного приближением ближайшик соседей.
Показанная поверхность соответствует в = = — а+ 2)у). 786 С. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В г-ПРОСТРАНСТВЕ И В й-ПРОСТРАНСТВЕ ПРИ НАЛИЧИИ ВНЕШНИХ ЗЛЕКТРИЧЕСКОГО И МАГНИТНОГО ПОЛЕИ При необходимости представить себе движение электрона без столкновений в энергетических зонах разных форм исследователь иногда испытывает некоторые затруднения. Поэтому полезно рассмотреть точные решения хотя бы для наиболее часто встречающихся ситуаций. Мы ниже опишем движение в обычном координатном пространстве (г-пространстве) и в пространстве квазнимнульсаа (волновых векторов), кратко называемом й-пространством, поскольку уравнения движения содержат обычно обе величины г и й и они взаимосвязаны.
Сферическая зона проводимости. Рассмотрим движение волнового пакета (который содержит адин электрон) в энергетической зоне кубического кристалла. Предположим, что функция е(й), описывающая эту энергетическую вону, имеет простой минимум при й = 0 и что вблизи этой точки функция приближенно может быть представлена в виде йз е(й)= йе 2ше где т, — эффективная масса электрона. Поверхности постоянной энергии в й-пространстве являются сферами, и поэтому такую зону мы будем называть сауерическай.
Внутри зан Бриллюэнз нн одна энергетическая зона нигде не имеет вида (Й.1); истинные энергетические зоны всегда деформировзны воздействием границ зон Бриллюэна. 11апример, энергетическая зона (Е 9) имеет вид е (й) = 2у (3 — саз йла — саз йаа — соз йла); ( С.2) отсчет энергии в этом случае ведется от значения е(0) = О. Здесь у — кон- станта, зависяпсая от перекрытия атомных волновых функций соседних ато- мов. Если косинусы разложить в ряды до членов порядка (йа)', то мы по- лучим: е (й) у ~йзаз (й1 ( й4 1 й4) ае ( 1 (СЛ) — = — а = — 7 е(й) нэ — й, бг 1 Ъ с(г й (С.4) где г — радиус-вектор, описывающий среднее положение волнового пакета в обычном пространстве.
Интегрируя уравнения движения по времеви, получим: Ф г (1) = г (О) + — ~ г(1 й (Г). й ше о (С.б) 1/э24 Ч. Кастель т.е. функцию, близкую к сферической с точностью до 1е(е, если йа ( 0,1п. Движение волнового пакета особенно просто описывать, пока мы остаемся в той части объема зоны Бриллюэна, где применимо сферическое приближение. В этом случае групповая скорость в координатном пространстве описывается следующим соотношением: В электрическом поле Е быстрота изменения вектора й описывается уравнением «/й л — — еЕ.
л(! Если электрическое поле однородно и постоянно, то, интегрируя это уравне- ние по времени, получим: й (Г) = й (0) — — ЕЕ й (6.6) Отсюда видно, что длина й увеличивается в том же направлении, что и Е, с настоянной быстротой независимо от формы энергетической зоны. Проинте- грировав еще раз, получим: е(/ й(Г) = й(0) à — — — ЕР. ! е 2 й (6.7) Подставляя (6.7) в (6.5), получим выражение, описывающее движение волнового пакета в координатном пространстве относительно положения пакета в момент ! = О, т.е, относительна точки г(0), й(0); это выражение имеет впд ! г(!) = г(0) + йй(0) ! е г — — — ЕР те 2 те (ОВ) Этот результат имеет точно тот же аид, что и для случая движения свободной частицы с массой т, и зарядом — е в электрическом поле Е, поскольку в случае сфернческой энергетической зоны величина йй(0)/т, есть групповая скорость п(0) в л~амент / = О. Теперь рассмотрим движение в однаролпом постоянном магнитном поле В, направленном параллельно оси г.
Поступим аналогично предыдущему, но в правой части уравнения надо буде~ помествть силу Лорен»да: й — — — пХВ Ей е (6.9) бг с — ! Здесь в — = й (/эз — скорость волнового пакета в координатном пространстве (такая же, как в выражении (6,4) для случая сферической энергетической зоны). Используя (6.4) в уравнении (6.9), полу'щм: Л вЂ” = — — й Х В. г/й еб е!Г тес (6.10) Вводим пиклотранную частоту ы, — = еВ/т,с и учитываем, что В = Ва; урав- нение движения в кампонентак по осям координат примет вид: л/йх — = — ай, с к е(йа Вй» вЂ”" = зле!.х, д! ' б! (6.11) Решение уравнения (6,11) имеет вид /гх(С) К сов(ые!+ ф), йз(Г) =Кз!п(ые!+ ф), й»=сапа!.
(6,12) 730 + Йе ЙГ Йх+ Йд+ Й» (Сч13) Если это условие выполнено в момент ! = О, оио будет выполняться для (Сг.!2) в любой момент ! ) О, поскольку К и Й, — постоянные. Следовзтельно, частица, находяшаяся на поверхности Ферми в Й-пространстве.
будет двигаться по кругу радиуса К с частотой ы,, сохраняя постоянным значение Й,. Положение частицы в обычном координатном пространстне получим интегрированием выражения для скорости и = Ь таз (Й) с учетом (Сг.12)1 х (!) =х (0) + — ) 1(! Йх= х (0) + (з1п (агет+ Ф) 5!Пф) иге гн есае з ЬК ЙЙе! р(т) =у (О) — — (соя(ые(+ ф) — соя ф], а(!) =х(0) + — е. Ягеазе иге (Сь14) Следовательно, в обычном пространстве частица движется по спирали вокруг осн, параллелыюй направлению магнитного поля (оси г). Радиус спирали ЬК ЬсК глеозе еВ (Сь15) Это выражение эквивалентно классическому соотношению е = и К, где о линейная скорость кругового дввжеиия в обычном просграистве в плоскости, перпендикулярной к направлению магнитного поля В.
Заметим, что радиус !с орбиты в обычном пространстве пропорционален радиусу К орбиты в Й-пространстве; коэффициент пропорциональности равен ЙсгеВ. График зависимости )1 от велич1шы волнового вектора К в случае, когда напряженность магнитного поля равна !О кГс, приведен на рис. С.!. угт 3 Рис. Сг.1. Электрон в магнитном поле В = 1 !О' Гс. Зависимость радиуса )т орбиты в обычном пространстве от радцуса К орбиты в фурье-пространстве. 1/ 24е Йр Йтд дуг 739: В том, что (Сг.12) действительно является решением (Сг.11), можно убедиться непосредственной подстановкой.
Здесь К и 41 — константы, которые подбираются так, чтобы удовлетворить начальным условиям движения. Если, например, электрон первонзчально находился на поверхности Ферми, то удовлетворяет условию Н. П Е Р ВХОДЫ МОТТА Согласно модели твердого тела, в которой электроны считаются независимыми, идеальный кристалл с нечетным числом электронов на элементарную ячейку всегда должен быть металлом. Однако это утверждение оказывается неверным для окислов многих переходных металлов, что п было установлено экспериментально де Буром и Вервеем в !937 г. Например, кристалл СоО оказался полупроводником, а не металлом, хотя в нем число электронов нз элементарную ячейку — нечетное.
В ряде работ, появившихся в !949 г., Мотт ') ввел гипотезу, согласно которой пространственная решетка водородо. подобных атомов не обязательно образует металл, но может оказаться и диэлектриком (или полупроводником). Согласно этой гипотезе простая кубическая решетка водородных атомов прн абсолютном нуле будет металлом лишь в том случае, если постоянная решетки меньше некоторого критического значения а, которое по ранней оценке Мотта равно пз яэ 4,5п,, аю — — зйз(глез (Н.1) (Н.2) где (Н.4) ') Обзор работ по этому вопросу дан в работах Мотта (11], повеление окислои переходных металлов обсуждается в статье Остииз и Мотта (12!. Примерами кристаллов, в которых переход металл — диэлектрик наблюдается при повышении температуры, могут служить ЧОз, ЧзОа, Т!зОз, РезОа, Н!Б и ХЬОь Труды конференции, посвяшенной переходам металл — диэлектриц опубликованы в ((еш Моб. Рйуз.
46, 673 (1968). (Заметим, что значение интеграла перекрытия, приведенное Моттом в его первых работах, чо-видимому, должно быть удвоено,) 740 — радиус первой боровской орбиты атома водорода в среде с диэлектрической проницаемостью е. При значениях постоянной решетки, больших криги. чгского (а ) аг), кристалл будет диэлектриком.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
