Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 133
Текст из файла (страница 133)
Тогда (Л.!7) примет впд вг (ео г'! ео )г) — 2вгаосгйго + сгйог = 0 Решая это квадратное относительно в' уравнение, получим два корня; г 2 2 с йо го ~(еа( (Л,19) Для вещественных значенай в, лежащих а интервале между вл и в, корни уравнения (А.!7) плн колпгленсных значений й соответствуют волнам, затухающим с расстоянием. На рис. Л.! приведена дисперсиошгая кривая, 4бб Ъ,, Э ббт 4 за 44 бб 4б 47 Дссстбстссьчся щсть ~с/С 720 Рис. А.!. Дисперсионная кривая с областью запрещенных частот, отвечаю. щен брэгговскому отражению. Если в уравнение (А.17) подставить неществснные значения частот и затем разрешить это уравнение отяасительао волнового часла /г, то мы установим, что й веществеяны на ветвях А и С днсперспонной кривой.
Ветвь А начинается с нуля и претерпевает разрыв (нижний) прп й = '/гО. Ветвь С начинается в верхней тачке разрыва (при й = '/гО). Ветвь В прн й '/гО отвечает комплексным значениям в, причем вещественная часть й на всей ширине разрыва равна й = '/гО (ветвь Вг), а мнимая — изменяется; ход этого изменения показан пунктиром (ветвь Вг). Приведенная кривая для наглядности построена для случая ес = 0,2еь, т.е.
для неправдоподобно большого значения ео, (4 + сз )+(4 ) (4 )( сз ) + — ", (еао-~ее~~) =О. (А.20) Членом б' пренебрежем и будем решать уравнение относительно б для произвольная частоты юз = ('126с)2/ез, лежащей внутри интервала между ю4 н ы . Итак, после отбрасывания бз уравнение (А.20) примет вид: — 2б' ( — 26')+[ — ( — 6') +(4 —,' ) (ео' — еа)~=О, (А.2!) или 402 = — ( — 6')( — ); б = ~ 1( —, 6) —. (А.22) Следовательно, для частот, лежащих вблизи середины запрещенной полосы, волновой вектор описывается выражением й='6(1 ., 'О) (А 23) Затухание с расстоянием норлгальных вали (мод) определяется в основиоы величиной зсг — компонентов диэлектрической восприимчивости при данной величине нектара обратной решетки С.
В. ВЫВОД ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВАН-ДЕР-ВААЛЬСА Рассмотрим систему из двух идентичных линейных осцилляторов 1 и 2, находящихся на расстоянии гс один от другого. Каждый осциллятор несет заряды ~е; примем расстояния между зарядами соответственно равными хз и хз (рпс. В.!) Пусть колебания происходят вдоль оси х; рг н рг — импульсы: т(йхз(с(Г) и т(г(хтАИ).
Для гамильтоинана такай системы (в невозмущениом состояшш) имеем: 2 ! 2 1 2 Жз = — р, + — ()х + — р, + — ()х.". 2щ 2 ! 2щ 2 2 (В.1) лг 1 С+)2ЯМВАА22(',-у О+ АА())~~Я и — — — х — -'г — *, — 4 Рис. В.). Координаты двух осцилляторов. 121 иллюстрирующая вещественную н комплексную области значений корней для случая выполнения условия (А.!3).
Про частоты в интервале между ~аь и ы говорят, что онн лежат в запрещенной полосе. Волны с частатамн в этой области в кристалле не распространяются, но испытывают сильное отражение. Зги утверждения проще всего продемонстрировать на примере, н котором нектары й и Ф вЂ” С почти раины по величине, но точно противанолажиы по направлению. Подставим в уравнение (А.!7) значение й = Ч26-1- б, где б <~ Ч26.
Тогда получим. Резонансные частоты осцилляторов (когда можно пренебречь взаимодействием между ними, например, при достаточно болыцом )г) одинаковы: юо о = "о' = "о = (())ю) а (В 2) Резонансная частота юо совпадает с собственной частотой простого гармонического осциллятора, Пусть Ж~ — энергия взаимодействия между осцнлляторами. Геалгетрия системы показана па рис. В.!. В качестве координаты, описывающей расстояние между ядрамн, возьмем Л. Тогда выражение для Жг можно записать в виде: Ж~ =- — + (В За) А' А'+ х~ — хз )(+ х, Я вЂ” Хз В прнближеаин ! х; (, ~ хз ! С Р пъысм: 2е'х,хз )(з (В Зб) Полный гамильтониап (Ж = Жь+ Жг), если выть Ж~ в приближении (В.Зб), может быть легко дпагопэлнзован лугом линейного преобразования к нормальным модам; введем нормзльшзс координаты х, и х» следуюшнм образом: 1 ха — = (х, — хз).
ч(2 1 х, == = (х; + х,), .ьГ2 (В.4) Решая (В 4) отцосительпо хь х, получим: 1 х, =- = (хз + хз), .„1Г ' хт =- -=,х — х ). "т. 2 а Индексы з н о относятся к симметри шой и аптисимметрнчной модам соответственно. Далее можно ввести соответствуюшие этим двум модам импульсы р, и Р,: ! 1 Р~ == = (Рз + Ра) Рз — = = (Рз — Рл! .т/2 у'2 (В 6) После преобразований (Вб) и (В.б] для полного гамильтоннана Ж имеем: Р + (0 з )аз~+~ Ра+ 2 ~~+ з ) ха~. (В.У) Из изучения вида (В.7) легко найти две частоты связанных осцилляторов: 1 1 г2езчз йи= — й(йю,+бы,)--йы,.— ( — ) . 2 в 0 6 (В.й) где для нм имеем (В.2). В (В.З) мы разложили в ряд квадратный корень.
Энергия нулевых колебаний системы равна 'lзй(ю, + ю,); нодная энергия уменьшается из-за взаимодействия на величину Это взаимодействие проявляется в притяжении, которое обратно пропорционально седьмой степени расстояния между двуми осцилляторами. Поляриэуемость осциллятора, по определению поляризуемости (см. гл, 13), 4завна отношению электрический дипольный момент е' а— напряженность электрического поля Итак, для А() имеем: а' С ли = — йыз — = — —, 2Кз (В 11) где С ~ йгочиз. Это и есть обсуждавшееся в гл. 3 зпн-дер-воольсоао взаимодействие (3.3). Это взаимодействие относится к числу квантовых взаимодействи(ц поскольку АУ вЂ” ей при й-ь О.
Резюмируя, можно сказэть, что энергии нулевых колебаний системы уменьшается за счет диполь-днпольного взаимоч)ействия ЛГг = — 2езх|хгг)гз (В.З), хотя дипольный момент — екг, усредненный по изолированному атому, равен нулю. Ван-дер-Ваальсово взаимодействие приводит к притяжению даже между параллельными пластинками плоского конденсатора. Весьма простая и изящная теория для этой геометрии была предложена Казимиром [3[.
Непосредственные измерения взаимодействия между параллельными пластинками были выполнены Б. Н. Дерягиным [4). Расчет ван-дер-ваальсовых сил между диумя атомами водорода дап в курсе Полннга и Уилсонз [5). Эффекты запаздывания изменяют форму взаимодействия на очень болыппх расстояниях; соответствующие поправки были вычислены Казимиром и Полдером [6). С. ГИНГУЛЯРНОСТИ ВАН ХОВА В ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ СОСТОЯНИЙ )(ля функции плотности состояний было получено выражение (6.34): (С.! ) Из этого выражения можно видеть, что поднвтегральная функции имеет тпнг>лярность (особенность) там, где обращается в нуль групповая скорость и„—.
( злы [, т.е. там, где зависимость чэстоты ы от волнового вектора К имеет локальный плоский участок. Точки в К-пространстве, для которых это имеет место, называются кригггческими гочкплц Критическая точка может отвечать максимуму нли минимуму функции, а также быть седловой точкой.
)Ыы последовательно рзссчотрим поведение функции плотности состояний в каждом нз этих случаев. Приводимые ниже соображения относятся к любому дисперсионному закону (т. е, зависимости ю от К) а не ограничены случаем фононов. Они, следовательно, применимы к электронным энергетическим зонам (гл. 9) и к спектрам спииовых волн (гл. 16). В стучае седловых точек ход изменения функции плотности состояний в зависимости от частоты меняется особенно резко, как можно видеть из графиков на рис. С.1, в и г.
1 есгтлаггйя 1 глгггп )ьвглггал 1 гаге ее 1 вг Ю вЂ” ь д гг Пусть К. является критической точкой. Введем разность д = К вЂ” К, я разложим функцию в(д) в ряд вблизи критической точки. Ограничиваясь в разложении первымн наиболее важными членами, получим: в (г)) езг + агу~ + азуз + азузт + (С.2) Здесь дг, дм дг соответствуют локальным главным осям поверхности постоянной частоты, в, — частота в критической точке (при К = К,). а) Случай максимулга.
Предположим длв простоты, что локальная поверхность постоянной частоты имеет фоому сферы; тогда в (у) в — ауз. (С 3) Для объема сферы радиуса у в фурье-пространстве имеем: Тогда для функции плотности состояний вблизи во ио при в ( в, получим: м)(в) ~ ) ~ ) ~ ) г (гес в) (СА) 2л) Ив ~ 2л ай 724 Рнс. С.1. 1'азрывы функции плотности состояний Я(в) вблизи критических то ~си (максимум, минимум и два типа селловых точек).
Здесь кривые проведены лишь для вкладов в м)(в) от локальных областей поверхности частот вблизи критических точек. (Эти вклады следует, вообше говоря, добавлять к зависимости Ы(в) обшего вида, определяемой есей поверхностью частот в(й).) а лля значений е ) еа Я(е) =О. (С.б) Это опредетение отражает вклад в плотность состонний того участка частот.
ной поверхности вблизи в„ который отвечает значениям е ) оз.. Зависимость м](в) в этом случае изображена графически на рис. С.!,а. б) Минимум Предположим, что в(д) = во+ одз. Из тех же соображеннй, что н выше, получим: Ы(в) =0 для в < в, (С.7) /б Чз2п 'а Ы(е) =]т — у] —,(е — в,) ' ллн в ) ее ~,2п У оъ (С.8) График м](е) для этого случая приведен на рис С.!, б. в] Седловал точка Предположим, что (д)= ° — '(д + д — дз).
(С.9) Чтобы найти плотность состояний для в < в„ произведем преобразование координат: д,а ' (ео — в) ч с]г 3 соз е, ч дзо ' = (вс — е)" сй й з]п е, д дза '=(вс — в) ' зЬ ь. (С.10) Подставив (С,10) в (С.9), можно убедиться в том, что (С.9] при этом выполняется; при подстановке используются известные соотношения; с]т' в — з]г $ 1, соз ф+ з1п'ф =1.
(С.!1) Для элемента объема в фурье-пространстве имеем: с(д~ г(дзюдо =) У ( ' з' ) )с(ею(в дф, (С.12) где У вЂ” якобазн преобразования: дд~ ддр д~в Ов бв до~ (со е]'й с1г |. 2аь бд~ ддт доз д~ д$ с]8 бд1 диев ддз дде де де (С.13) !! ~)(в)-(2н)" ~У ($~ДŠ— ( — ) Ув д ~((йй)~бф,(С,(а) где с(в ~ У Ыв ~ йр Якобиан раскрывается прямым расчетом, хотя это н нескольно утомительно. В результате для функции плотности состояний (все еще для е ( а.) получаем: (е = д~+ д~~+ д~~= ' (с)з~6+ з(Р е) ' (1 + 2 зп~ й)1 (С.(5) .отсюда получим: ~и (з)зь) = — ( — 1) ! (С.! 6) следовательно, :2)(ы) Я + ш гое) для ы ( ыс. Лля области значений ы — юс < СГ, разложив (СЛ7) в ряд, получим: 2Я (С.17) (С.17а) Чгобы найти плотность состояний для ю > ы„воспользуемся другим преобразованием координат, а именно; фо б = (О ис) з .(з 3 соз ф, оза б = (ы — ы,) б зй з з1п <р, дза'и = (ш — ы,)'й сЬ й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
