Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 132
Текст из файла (страница 132)
Усы. Наблюдавшийся прп больших пересышениях рост тонких нитевидных кристаллов (усов) не связан, по-видимому, с необходимостью наличия более чем одной дислокации. Возможно, что эти кристаллы содержат единственную осевую винтовую дислокацию, которая обусловливает его преимущественный 715 рост в одном направлении. Если предположить, что нитевидные кристаллы вообще не содержат дислокаций, то можно ожидать, что они будут обладать очень высокой прочностью, близкой к вычисленному теоретически значению порядка 6/30, о котором выше шла речь. Присутствие единственной винтовой дислокации не может уменьшить прочность нитевидного кристалла, так как при растяжении кристалла на эту дислокацию не действует напряжение сдвига, а напряжение оказывается при этом параллельным вектору Бюргерса, т.
е. напряжение не действует в направлении, которое может вызвать скольжение. Херринг и Голт 121] (см. также работу [221) исследовали усы олова, имеющие радиус около 10 4 см, и установили, что их упругие свойства близки к тем, которые теория предсказывает для идеальных кристаллов. Измеренные ими деформации у предела текучести соответствуют напряжениям сдвига порядка 10 Я 6, т. е. оказываются в 1000 раз больше, чем для массивных образцов олова. Это подтверждает ранее сделанные оценки прочности для идеальных кристаллов.
Упругие свойства, близкие к теоретическим, наблюдались для ряда материалов. Упругая деформация усов меди до высокой степени деформации показана на рис. 20.24. Ферромагнитные доменные структуры усов железа были проиллюстрированы в гл. 1б; монодоменный нитевидный кристалл никеля показан на рис. 20.25. ЗАДАЧИ 20.1. Линии плотиейюей упаковки. Показать, что направления плотнейщей атомной упаковки для кубических гранецентрированных структур сугь направления (1!0), а для кубических объемноцентрираванных структур— ,'(111) . 20.2.
Пары дислокаций. а) Найти пару днслокапнй, эквивалентную ряду вакантных узлов, б) эквивалентную ряду атомов в междоузлнях. 20.3. Сила, действующая на дислокацию. Имеется кристалл в форме куба со стороной Е, содержащей краевую дислокацию с вектором Бюргерса Ь. К верхней и нижней гравям кристалла приложено напряжение сдвига и в направлении снольжения. Показать, используя энергетический баланс, что на единицу длины дислокации действует сила Р = Ьа.
П РИЛОЖЕИИЯ ') А РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЕ Мы рассмотрим нормальные моды электромагнитных вали в конечных кристаллах'), чтобы получить закон дисперсии ш(й), т.е. зависимость частоты от волнового вектора й Законы дисперсии дают полосы запрещенных значений й, которые удавлетноряют условшо Брэгга — Вульфа 2й С = 6'-.
Для частот внутри запрещенной полосы волновые векторы не являются вещественными Это означает, что элехтромагнитные волны, иыеющне волновой вектор, удовлетворяющий условию Брэгга — Вульфа, не могут без затухания распространяться в кристалле Мы воспользуемся могучим методом анализа Фурье. Основное предположение состоит в том, что поляризация Р(х), т.е. электрический дипальный момент единицы объема, линейно занисит от напряженности электрического поля Е(х), что можно записать в пиле (А.1) Р (х) = К (х) Е (х), где у(х) — диэлектрическая восприимчивость кристалла в точке х (см.
гл, 13). Записывая поляризацию в виде (А.!), мы для удобства предполагали, что связь между Р и Š— локольнол, т. е. чта полярвзация в точке х опреде. ляется электрическим полем в точке х (н не зависит ат электрических полей в других точках х').
При частотах рентгеновского диапазона восприимчивость К по поряпку величины окало 1О ' или меньше. Сама васприпмчивость может быть функпией не талька х, но и частоты ы, однако, за исключением области частот, близких к краю поглощения рентгеновских лучей, и областей резонанса оптического поглощения, у нас нет необходимости учитывать ча статную зависимость у. Для анализа восприимчивости кристаллической решетки можно восполь.
заваться разложением у(х) в ряд Фурье: К (х) = ~ Кав'а'" (А.2) а где С пробегает все узлы обратной решетки, включая н С = О. Для веща ствевных К(х) легко показать, что коэффициевты К а (х) дол!хны быть ') Ва всех приложениях используется только система единиц СГС. ') Эта проблема рассматривалась в ряде работ.
Укажем, на !ример, Форстерлинга [1) и Фузса [2[. 7!У равными Хо(х). Это видно из того, что в сумме (А.2) в этом случае пары членов Хаа +Х-ое » Л.й) должны быть тождественно раваы коэ»плексно сопряженныл» парам. Сумма в (А.2) берется только по векторам обратной решетки по причине того, что величина Х(х) инвариантна относительно трзпсляш»й на векторы, компоненты которых кратны постоянным решетки. Коэффициенты Фурье Хо в разложении воспрп»»ччнвости имеют важное значение и прямо пропорциональны рентгеновским стр ктурным факторам .та (см.
гл. 2). Мы можем путем обратного преобразовг..ая (А.2] получить выРажение дла Хо чеРез Х (х); Ха —— У ' ~ »(тх Х(х) е»а х, (Л.4) где г' — объем кристалла. Чтобы получить этот результат, следует умножить обе стороны (А.2) на ехр( — »С' х) и проинтегрировать по объему крисгзлла 1': »(~к у,(х) е»о '"= ) Ха ~ »»эхе»'о о'а= Ха.(г, (Л.б) поскольку интеграл от ехр(»(С вЂ” С') .х) ранен У при С = 6', а в остальных случаях (т.е. С 'Ф С') он равен нулю. Чтобы убедиться в равенстве его нулю в этих остальных случаях, рассмотрим, например, одномерную решетку (цепочку) из Л» ячеек (пусть постоянная решетки равна а), Тогда 6 — 6' = 2пй(а, где й — целое число, н »(х е»зк»»х»а (е»э" У" — 1) = О, 1 йпгйо о (Л.б) К (х) = ~ »(зК И (К)е~~'".
(А.7) Подставляя (Л.2) и (Л.?) в (Ай), мы найдем поляризацию: Р(х) =~~~» Хаз о х1 (~ »( йК(й) е»шм) = ) Ха ~ »(зК Н(К вЂ” С) е»гг», э а / о (А.й) где в качестве переменной интеграрованпя мы ввели К = й + С. 71В поскольку Л»1» — целое число. Уравнение распространения электромагнитных волн. Электромагнитное поле в кристалле не обязано обладат~ трансляционной ннвзриаптностью с периодичностью решетки, н поэтому вектор напряженности электрического поля, исходя нз обшсго подхода, основанного на анализе Фурье, естественно представить не в виде суммы типа (А.2), а в виде интеграла Фурье: Итан, нас интересует решение уравнения распространения электромагнитной волны: ьм сзтзŠ—, (Е + 4пР). ( Л.9) сзттЕ = — сз ~ г( К К Е (К) е~~'~1 (Л.10) имея в виду (Л.7) и (АЕ), правую часть (А.9) запишем в виде: дз —,, (Е+ 4иР) = дгз — '[ ек[(~.!-ь,)е6к)~- С маак — ы) [ ' ' .
(А3!) а~о Уравнение (А.9) удовлетворяет я, если коэффициенты при ехр (1К. к) равны между собой. Отсюда следует, что с*К' Е (К) = ыз ~ ни Е (К вЂ” 6), и (А,12) где величина 1+4пйо равна ао, а величина 4пйп обозначе»а череа ап Итак. мы получили систему однородных линейных алгебраических уравнений (Л.12), вчд которых зависит от структуры кристалла через коэффициенты Фурье ась Приближенное решение уравнений (ЛЗ2) будем искать для рентгеновской области, где можно пРедполагать. что з дь асв посколькУ кп ((1 Врэгговское отражение. В случае рснгеновских лтчей волновой вектор й может бьжь порядка вектора обратной решетки С. Наиболее интересная ситуация имеет место для тех иектораа С, для которых выполчяетгя условие (й — С)з = йз или 2й. 6 = С'.
(А.13) Это и есть нзвесмше условие днфракцни Брэгга, Когда это условие приближенно выполняется, величины гз(Й вЂ” С)з н гзйз оказываются приближенно равными прн одном и том же значении ы'еь Можно показать, чзо в этом случае падающая волна Е(й) и отраженная брэгговская волна Е(й — С) будут в кристалле доминирующими. Уравнения (А.12) в этом случае упрощаются н принимают вид сзй Е (й) = аз [еоЕ (й) + епЕ(й — 6)[, (Л.14) где мы вместо К написали й. Далее, подставляя в (А,!2) вместо К величину й — С, получим; сз(й — 6)з Е(й — 6) =ыз [е Е(й — 6)+ е пЕ(й)[. (А.15) Здесь мы, исходя из (А.2), можем заменить а и величиной ап, 1 719 Мы ищем какое-нибудь решение уравнения (А.9), лля которого все компопеяты Фурье Е(К вЂ” С) имеют одинаковую периодическую (гармоническую)' зависимость от времени, т.е, зависимость вида ехр( — 1ыс).
Такие решеннч будут являться нормальными колебаниями (модамв) электромагнитного поля в кристалле. Далее, используя представление (А.7), запишем левую часть (Л.9) в виде: Уравнения (Л.14) и (Л.15) составлягот вместе систему связанных линейных уравнений для амплигуд поля Е(й) и Е(й — О). Нетриапальные решения этих уравнений существуют прн условии равенства нулю детерминанта, составленного из их коэффициентов; сгйг — вго (А. !6) — в со вгеа ~ г г 2 с (й — О) — ве / илп вг(аг — ) оо (гл/ — вгеосг г!йг -1- (й — О)г~ -1-сгйг (й — О)г] = 0 (АА7) Условие Брэгга имеет место, когда велячипз (й — С)г точно равна Ей Значенне й для этого случая обозначим через йь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
