Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 134
Текст из файла (страница 134)
Элемент объема оч~ баз г(г(з, г(ы иьь г(г ( )Чз 2о'Св (С.! 9) пределы для сне даются неравенством агзз Мв 1: с(та~~ — ~ + 1~ Ь/2 ~,ат,— (С.20) Следовательно, для функции плотности состояний получим: ~1(ы) — (Я + ы — ыс) * — (ы — ыс) ' для ы > гес (С2!) 2 у 'й 2 Производная Я(ге) по се при ы = ы, обращается в бесконечность; главный член производной 02)(ы) ! (С.22) ~йд 2 (ы — ыа) Ь стремится к — ао при ы-ь ы, в согласии со сказанным выше. Поведение функции 21(ы) вблизи седловой точки в случае (С.9) изображено графически на рис. С.!,в; поведение вблизи седловой точки в случае ы(9) =ы, — о(9',— 4 — сз) (С.23) .показано на рнс. С.!, г, представляющем собой обращение графика рис.
С.!,а. 726 .есть объем слоя в фурье. пространстве, ограниченный поверхностями постоянной частоты между ы и ы+ г(ы [здесь использовано соотношение: (си с)нс= = д(зй с)). Интеграл по Фгр равен 2л. Мы ограничили интересуюшую нас .область внутренней частью фиксированной сферы радиуса () вокруг критической точки Кь Таким образом, полученное выражение для я)(го) описывает лишь вклад от внутренней части этой сферы.
Верхний предел для зп $ накодится из условия; Теорема ван Хоза. Ван Хан') топологическнми методами показал, чтш педловая точка каждого типа [выше были рассмотрены лишь два частных случая — (С.й) и (С.23)] будет встречаться на каждом «листе» дисперсионного закона ы(й) по крайней мере 3 раза. Д~гсперсионные кривые для фаяонав в ал|омипни, приведенные на рис. 6,|2, позволяют видеть многие нз ожидаемых типов особенностей. О. ЗАВИСИМОСТЬ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ОТ ВОЛНОВОГО ВЕКТОРА ДЛЯ ФЕРМИ-ГАЗА СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ Диэлектрическая функция а(К, ы), определяемая ниже, описывает важные свойства электронного газа. Чтобы найти диэлектрическую функцию, рассмотрим реакцию электронов иа действие приложенного извне электростатического поля.
Мы начнем рассмотрение с простого случая однородного электронного газа с концентрацией заряда †п прн наличии фона положительных зарядов с концентрацией +пес. Пусть фон положительных зарядов механически деформирован и его изменение в пространстве описывается синусоидальным законом: р+(х) = псе + Рк"' ип Кх. (РЛ) Член р~~" Нп Кх приводит к тому, что электростатическое поле фактически возрастет. Это поле мы н будем называть внешним полем, действующни нз электронный газ.
Электростатический потенциал Ф, создаваеиый распределением заряда, можно определить из уравнения Пуассона; ()егр = — — 4пр. Полагая Ф = сркд" з|п К», р =РГ,.' з|п Кх, из уравнения Пуассона получим: К гр~" = 4пре», к к ПХЗ) Электронный газ будет подвергаться комбинированному воздействша, аопеРвых, со стоРоиы электРостатического потенциала Фк РаспРеделении полос»| жительных зарядов, н, во.вторых, са стороны пока неизвестною индуцированного электростатического потенциала ср'и з|п Кх, вызванного «деформацией» распределения заряда самого электронного газа. Для плотности электронного заряда имеем: Р (х) = — лае + Р'па з!и Кх, где рд — амплитуда изменения плотности зарина, индуцированного в алек|па тронном газе.
Мы хотим найти рд, выраженное через рк . |пд е»| ') Эта теорема приведена в работе ваи Хана [7!. Индекс критической точки означает число положительных знаков квадратичной формы ы вблизи критической точки. В случае трех измерений каждая ветвь ы(д) имеет по. крайней мере один максимум, три седловых точки каждого типа (нндексы ! н 2) и один минимум. Эти результаты являются следствием установленной в топологии теоремы Морса.
727 ' Аыплитуду полного электростатического потенциала можно записать в аиде суммы потенциалов, создаваемых распределением положительных и отрицательных зарядов. 'рк=грк +рк . (0.5) Здесь 9к — потенциал, создаваемый фоном положительных зарядов, а ет! — потенциал, обусловленный «деформацией» электронного газа. Потен!оа цнал гр связан, очевидно, с изменением полной плотности заряда рк, также представляющей собой сумму: рк=!'к +рк Погенпиал ~р и плотность заряда ра. связаны между собой опять-таки уравнением Пуассона. Тем же путем, что и (О. 3), получим: К»~р = 4пр (0.7) Но «деформация» плотности электронного газа рл связана с полным !пд статическим электрическим потенциалом ш уравнением Томаса — Ферми ') (8.2! б): — е(п (и) — по]=р гбп Кх= — — ~р з!п Кл, за .
Зпзез 2з к (Р.8) л или 2в (0.9) Объединив (0.7) и (0.9), получим отношение изменения индуцированного заряда к полному изменению заряда: р'"з бпп ез Лз к ° о (0.10) г К' К'' и Здесь введена величина постоянной экранирования Л (бпп еэ(в ) '. Диэлектрическая функция з(К,ы) является мерой реакции электронного газз на действие внешнего электрического поля, характеризующегося волновым вектором К и частотой ез. Диэлектрическая функция определяется соотношением между амплитудой «внешней» плотности заряда рд и амплитуех! дой у полного потенциала; это соотногпение имеет следующий вид: (О.1! ) К рк= е[К ы) рк где значения фд и ря относятся к одной и той же частоте.
Соотношение сз! (Р.П) имеет вид уравнения Пуассона (0.7), по вместо амплитуды полноз плотности ззряда в правой части стоит амплитуда «внешней» плотности заряда р!«з . Заметим, что при равенстве нулю функции в(К, ю) потенциал Т может оставзтьси конечным даже при отсутствии «внешнего» заряда. В этих ') Использование уравнения Томаса — Ферми эквивалентно приближению, хорошо отвечающему случаю длинных волн (К вЂ” »0) и нулевой частоте. .728 зй;<77 Рис. 0.1. Зависимость статической диэлектрической функции ферми. газа свободных электронов (приближение Томасз — Ферми). По оси абсписсогложено отношение К)й. Р Рб йр (Х /гх)Я ех< и<а е(К, ю)= — =.1 — —.
Рк Рк Рк Рк ((7.12) Используя ((З.!О), можно получить выражение для диэлектричесион функции, соответствующее приближению, отвечающему уравнению Томаса— Ферми, з именно: Лх х бппаез а(К,О)=1+ —, ° Хэ= е (О.13) Зависимость е(К,О) от К/Х показана на рис. Р.1. В более точвом приближении выражение для диэлектрвческой функции было получено Линдхардом '). Сопоставление (О.7) и (0.1!) позволяет получить еще одно выра, кение, определяющее диэлектрическую функцию, а именно: <р < = <р". /е ( К ю).
(О.! 4) тел< самым утверждается, что полный электростатический потенциал равен ех< внешнему потенциалу, деленному на диэлектрическую функцию. Если определить как изменение потенциала положительных ионных остовов в металле вследствие прохождении фокона с волновым вектором К, а а(К, ы)— как диэлектрическую функцию электронного газа, то <р будет полным потенциалом, обусловленным фоновом, куда входят и вклады со стороны электронов проводимости, и со стороны нонвых остовов.
Поскольку а(К, ы)-ь ее при К вЂ” ь О, то полный потенциал <рх будет стремиться к нулю при ннешних конечных длинноволновых потенциалах. Коротковолновое возмущение экранируется менее эффективно. Экранирование свободных зарядов показано на рис. 8.9. Резко изменяющиеся (при больших К) ') Обстоятельное обсуждение полученной Линдхардом диэлектрической функции имеется в книге Займана 18). Последователы<ые шаги алгебраической оценки уравнения, использованного Займаном, описаны в статье Кпттеля 191, 7Ю условиях система будет находиться в состоянии свободных колебаний (т.с. без воздействии вынуждающей анен<ней силы). Если взять отношение соответственно правых и левых частей (0.11) и (О.7), то получим выражение для а(К, ю) через а<шлитуды плотности зарядов; Итак, из (Р.!3) и (Р.14) для экранированного кулонавгхога потенциала .имеем: 4л 4л цг к е(К)К' К'+Л' ' [0.16) Различие между «голым» и энранироваиным потенциалами наиболее заметно дтя К « Л.
В этом предельном случае экра~пгрованнггй потенциал не зависит от волнового веитора: 4л 2 ! «в — ' = —, в 3 Р иге' (О.! 7) Мы ввели для диэлектрической функции пых выражении: Лт е (К, О) = 1 + — г; е (О, электронного гзза два предель- 2 ыр ы) =1 — —. ( « (0.18) Заметим, что предел е(К О) при К-» 0 ие совпадает с пределом е(0, ы) при ы — ° О. Это означает, что в области на ~зла координат плоскости еь К на поведение диэлектрической функции надо обрашагь особое внимание. Полная теория показывает, что в области гв ( п»К (и, — скорость Ферми) мы получим диэлектрическую фуикггию электронного газа для случая Томаса — Ферми (для малых К): е(К, а) гв 1+ —. Кг Расчеты диэлектрической функции г(К, ы) для об~ггего случая значительш) более слгпкпы, Полученные результаты мы применим к задаче о модах упругих колебаний решеткк положительных ионов массы М, погруженных в вырожденный электронный газ (электроны массы гп).
Дизлектрнческая функция подсвстемы положительных ионов имеет вид 31 (0.20) При этом предполагается, что расстояние меисду ионами столь велико, что ионы можно считать независимыми. Теперь «наполним» решетку электронным газом (чтобы получить исходную ситуацию задачи) и рассмотрим полную диэлектрическую функцию системы «решетка плюс электроны». Вводя, согласно (0.13), Л вЂ” электронную постоянную экраниравания, получим.
4 ляг' Лг в(К, ы) =1 — — + —. м„» Кз (0.21) 730 .компоненты кулоновского потенциала 1/г зкранируются слабее, чем компоненты медленно меняющиеся (при малых К). Таким образом, «хвост», обуслоиленный дальнодействуюшим кулоновским потенциалом, зкранируется электронным газом, однако потенциал глубоко погруженной центральной части ионного остова не экранируется. Как поиазано в книге автора (22), формула (1.24), фурье-компоненты неэкранированного («голого») кулоновснога потенциала Ф(г) = 1/г имеют вид , «хг 4 /Кт При малых К и низких ы единицей в правой части (Р.21) можно пренебречь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
