Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 138
Текст из файла (страница 138)
Пусть мы имеем уравнение Шредин- гера Рбф= е1р, где (1.24) 1 / Я вЂ” (Р- — А' + — (7Х) 2М х с с (1.26) Поставим вопрос: какая волновая Функция ф' удовлетворяет уравнению вида — (Р— — А') ф' = еф', () (1.27) где собственные значения е — те же, что я уравнения для ф) Уравнение (1.27) эквивалентно уравнению 1 Г гт д да — (р — — А — — РХ) ф' = зф'.
2М х с с (1.28) Попробуем положить ф' = (ехр — ) ф. Рф' (ехр — ) рф + — (рХ) (ехр — 'Х ) 1). (р — — рХ) ф = (ехр — „) р1) (1.29) Тогда следовательно, 1 г' ьт ст ДЗ вЂ” (Р— — А — — ЧХ) 2М~ ' с =(ехр й ),11 (Р— — А) ф=(ехр — ) зф (1.30) Мы показали, что волаовая функция ф'=(ехр — „) ф удовлетворяет уравнению Шредингера после калибровочного преобразования (1.25). Энергия е — инвариант этога преобразования. Калибровочное преобразование векторного потенциала просто изменяет локальную фазу волновой функции. Можно поэтому записать: ф"ф'- ф'ф (1.3!) откуда видна, что и плотность заряда является инвариантом калибровочного преобразования.
Произведем следующее калибровочное преобразование ат А к А': А =А+ РХ (1.25) где Х вЂ” скалярная функция. Очевидно, что В го1А = го(А', нбо го1(тХ) — О,. Тогда уравнение Шредингера примет ввд: Калибровна уравненив Лондонов. В силу уравнения непрерывности для потока электрического заряда в сверхпроводнике должно выполняться условие: 4!ч) = О, Отсюда следует, что в уравнении Лондонов г'= — сА)4пьс для А имеем: 2 б!чА =О, (1.32) Очевидно, что через границу сверхпроводинк — вакуум ток не идет. Нормальная компонента тока (перпендикулярная к поверхности образца) должна обращаться в нуль, т, е, /„=О; следовательно, для векторного потенциалаА а уравнении Лондонов должно выполняться условие: А„= О. (1.33) Калибровка векторного потенцпала в уравнении Лондонов для сверхпроводника должна выбираться так, чтобы удовлетворялнсь условия (1.32) п (!.33).
Квантование орбит в магнитном ноле. Для рассмотрения эффекта де Хааза — ваи Альфена мы предполагаем, что орбита частицы с зарядам Я в магнитном поле квантуется и набор разрешенных орбит дается формулой Бора — Зоммерфельда; су р пг=(п+ у) 2ий, (1.34) р пг = 3! йй ° йг+ — ~у А Аг. $ =~ -$ ! Х. с 3' (1.36) Уравнение движения частицы с зарядом Я в магнитном поле запишется в виде й — — — Х В. Дй Я с(г слт с с(! (1,37) Интегрирование этого ураинения по врелгени дает соотношение: йй = — гХВ с !!.38) (здесь опущена произвольная постоянная, которая не даст вклада в оконча- тельный результат). Вычислим первый контурный интеграл в (1.36); йй л(г= лу г Х В пг= — — В у гХ цг= — — Ф. (1.39) $ =-$ =-- т с 3' с 5' с Здесь Ф вЂ” магнитный поток, пересекающий орбиту в обычном пространстве.
й(ы использовали геометрический результат: г Х «г = 2 Х (площадлэ охватываемая орбитой). (1,40) 747 где л — целое число, у — фазовая поправка, которая для свободного электрона равна !)2. Запишем выражение (!А) для импульса в виде: р=йй+ — А, О (135) с где йй — кинетический импутьс частицы, А — векторный потенциал магнитного поля. Тогда Рис. 1.!. Орбиты алеши»нз в магнитном поле в обычном ко»рдпнапшм про. странстве (слева) н в пространстве волновых векторов (справа), В приведенном здесь случае у = О.
Поток через внутреннюю орбиту (в координатном пространстве) равен 2лйгс)е. В!»числим теперь, воспользовавшись теоремой Стокса, второ>! контурный интеграл в (1.36): — ~у А г(г == ~ го! А с!и = — ~ В г(о =- — Ф,' (1.41) с 3 с с здесь г(о — элемент поверхности в обычном пространстве. Имея в виду (!.34), получим: р сгг = — — Ф = (и + у) 2пй.
Сз с (1.42) Танин образом, орбита электрона квантуется точно так же, как н поток через площадь орбиты, т.е. Ф» (»+ у) 2пйс (1.43) Мы вернемся к этому результату в Приложении 3. Величину кванта потока удобно выразить через постоянную тонкой структуры е'!йс: — = 2яе — 2пе (137,04) = 4,14 ° 10 Гс ° см . 2пйс йс -7 2 е ' е' (1А4) йс йг — Ьй, еВ (!.45) и, следователыю, площадь Я„в й-пространстве связана с площадью А, орбиты в обычном г-пространстве соотношением А»=( — ) 5».
(1.46) Лля теории эффекта де Хаааа — вап Альфена пам нужна площадь орбиты в пространстве волновых векторов. Мы уже получили в (1.43] поток через орбиту в обычном пространстве. Из (1 37) мы знаем, что элемент длины йг в плоскости, нормальной н В, связан с йй соотношением Отсюда с учетом (1.43) для Фч имеем: г йсхз 2пйс Ф. = 1' — ~~ — Зв = (и + У) .е) В е (!.
47) Наконец, получаем, что плошади орбит в й-пространстве удовлетворяют следующему соотношению. З„=( +у) — В. ! 2пе Ъс (1. 48) Этот результат был получен Онсагером и Н. М. Лифшицем. В качестве при чсрэ па рис. !.1 показаны две орбиты. Е КВАНТОВАНИЕ ПОТОКА В СВЕРХПРОВОДЯШЕМ КОЛЬКЕ гле л(г) — число фотонов частоты ы на единицу объема. Г!редположнм, по полное число фотонов в объеме велико по сравнению с единнпей. Тогда для амплитуд люмсно записать выражение: Х (г) (4пйю)мг (а (г))Нее!а<с> Е (г) яэ (4пйы)НЗ(п (г))ЦЗ е Гэ!Г!, где 0(г) — фаза поля. Введем теперь для описания бозонав, как частиц, амплитуды вероятностей, однако частицами будем считать электронные пары, (Здесь полной аналогия с фотонамн уже нет, но эта тээлогия еще полезна.) Основное состояние сверхпровадника построено нз слабо связанных электронных пар, называемых куперовскнми парами. Электронная пара будет вести себя как бозон '), хоти отдельный электрон является фермноном.
При. ведснные соображения применимм к бозонному газу при очень большом числе ') Температура конденсации бозонов, вычисленная для концентраций электронов, тнпичных для металлов, порядка температуры Ферми, т, е. 1О' †1Ох 'К. Температура перехода из сверхпроводящего состояния в нормальное во много раз меныпе; прн температуре перехода каждая электронная пара распадается на два фермиона.
Модель снерхпроводника в виде системы иэ невзаимодействующнх бозонов не следует понимать слишком буквально поскольку объем, приходящийся на одну куперовскую пару, содержит около 1Оэ электроноа, 749 Мы приведем здесь доказательство того, что полный магнитный поток, проходящий через сверхпроводящее кольцо, может принимать лишь дискрет- ные значения, кратные кванту потока, равному 2пйс/д, где согласно экспери- ментальным данным заряд (д(= 2е. Этот результат подтверждает, что сверх- проводяшее состоянне возникает благодаря спариванию электронов.
Кванто- вание потока — красивый пример макроскопнческого проявлеаня квантового эффекта В этом случае, так сказать, когереиткость сверхпроводящего состоя- ния охватывает все кольцо или всю обмотку соленоида. Электромагнитное поле служит примером бозоннога поля. Напряженность электрического поля Е(г) можно качественно тралтовать как амплитуду поля, Плотность энергии в квазиклассичесиом прнближснии можно записать в ваде ! — Е" (и) Е (г) вз п (г) йе, 4п бозонав в одном и том же состоянии, и тогда амплитуды вероятности для бозоиов можно трактовать как классические величины, подобно тому как для фотонов используетсн язык описания электромагнитного поля. Однако зтн же соображения неприменимы к металлу в нормальном состоянии, поснольку в таком состоянии спаренных электронов нет и каждый электрон ведет себя как фермион. Покажем сначала, что для заряженного бозанного газа справедливо уравнение Лондонов в форме (12.22).
Пусть ф(г) — амплитуда вероятности для бозонной частицы, Предположим, что концентрация таких частип по. стоянии, т. с. и = ф "ф = сопз1. При абсолютном нуле число и вдвое меньше концентрации электронов в зоне проводимости, поскольку и относится к частицам, являющимся электронными парами. Тогда для амплитуд можно записать; ф = вбзе'В 1'1, ф" = пцзе (Л2) Для последующего фаза 0(г) является весьма важной величиной. Вполне хорошим ариблнженнем будет трактовка ф ьак классических амплитуд, а не как квантоных операторов поля.
Длн скорости частицы, используя (1.4), имеем: в = — (р — — А) = — (-(йэ — — А). (2.5) Для потока частиц будем иметь соотношение ф'еф = — ~ДР0 — — А). пг' и и! с (Я.4) ) — еф" р= — ~~570 — А). пег' д т с (2.5) Взяв ротор от обеих частей (з.б), получим: го1 1' = — — В.
пр глс (2.6) Здесь использован тот факт, что ротор от градиента скалярной функции тождественно равен нулю. Уравнение (3.6) является одной из форм записи уравнения Лондонов, Квантование магнитного потока в кольце является удивительным следствием соотношевия (Л5), Возьмем контур С, замкнутый внутри сверхпроводящего материала и находящийся достаточно далеко от поверхности кольца (рис. 2.1). Эффект Мейснера приводит к тому, что внутри кольца величины В и 1' равны нулю, Правая часть (7.5) равна нулю прн условии Ьсэб дА.
(2, 7] Итак, имеем: ЧО.Л-0,— 0ь С (2, 8) 750 Тогда плотность электрического тока в кольце (которое является многосвяз- ной областью) может быть записана в виде Рис. ).1. Контур интегрирования С внутри сверхпроводящего кольца. Это — изменение фазы после одного прохождения по контуру, проходящему по всему кольцу. Амплитуда вероятностей для бозона является в классиче- ском приближения измеримой величиной; амплитуда опре,геляется однознач- но, и мы получим: йз — 6, = 2пз, (2.9) где з — целое число. Кроме того, используя теорему Стокса, получим выражение для магнит. ного потока; 4 Л=~ го!А лп=.~В по Ф с и с (7.10) Здесь Но — элемент площади на поверхности, ограниченной кривой С, а Ф— магнитный поток, пронизывающий контур С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
