МУ - Методы построения эпюр в статически определимых и неопределимых системах (1238993), страница 11
Текст из файла (страница 11)
справедливыуравнения (3.4), то перемещения в эквивалентной системе соответствуютперемещениям заданной системы. Тогда, построив для основной системыэпюру изгибающих моментов М от единичной силы (или единичного момента)88приложенной в направлении искомого перемещения, величину перемещениянаходим по формуле:∆=∫SМMds,EI(3.13)где М – эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки, построенная длястатически неопределимой системы.Отметим, что при вычислении перемещения ∆ можно поступить инаоборот:единичнуюэпюрумоментовM построитьвстатическинеопределимой заданной системе, а эпюру моментов от внешних нагрузок М –в основной (статически определимой) системе.3.10 РАСЧЕТ СИММЕТРИЧНЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛИспользование метода сил для расчета систем с высокой степеньюстатической неопределимости связано с решением совместной системыбольшого количества линейных уравнений.
Даже самый экономичных методрешения таких систем – алгоритмГаусса – требует n 3 вычислительныхопераций (где n – число уравнений, т.е. степень статической неопределимостисистемы), при условии, что все коэффициенты системы отличны от нуля. Всвязи с этим нужно стремиться так выбрать основную систему, чтобывозможно большее число побочных единичных перемещений δ ik , (i ≠ k ) исвободных членов ∆ iF обратилось в ноль.Основным средством для достижения этой цели является использованиесимметрии. Стержневая система является симметричной, если симметричны нетолько оси и опорные закрепления (геометрическая симметрия), но и жесткости(упругаясимметрия).Приэтомвнешняянагрузкаможетбытьинесимметричной.При выборе основной системы лишние неизвестные следует выбирать ввиде симметричных и обратно симметричныхусилий.
Симметричныенеизвестные создают симметричные эпюры моментов, а обратно симметричные89неизвестные – кососимметричные эпюры. Такие эпюры обладают свойствомвзаимной ортогональности, т.е. результат их перемножения равен нулю:nS1МiМkds = 0.EIS0δ ik = ∑ ∫1(3.14)Ортогонализация эпюр может достигаться различными способами:1) выбор симметричной основной системы; 2) выбор симметричных иобратносимметричныхнеизвестных;3)группировканеизвестных;4)устройство жестких консолей (способ упругого центра); 5) использованиестатически неопределимой основной системы; 6) разложение произвольнойнагрузки на симметричную и обратносимметричную составляющие.Использование большинства этих способов будет рассмотрено ниже наконкретных примерах, здесь же охарактеризуем только способ, заключающийсяв применении статически неопределимой основной системы. Для расчетастатически неопределимой системы можно отбрасывать не все лишниенеизвестные, а одно или несколько.
При этом уменьшается число каноническихуравнений. Так, рассчитывая n раз статически неопределимую систему, можноне решать n уравнений, если в качестве основной системы применять системусо степенью статической неопределимости n -1. Для определения усилия в i-ойудаленной связи достаточно решить лишь одно уравнение:δ ii X i + ∆ iF = 0,где δ ii и ∆ iF - перемещения по направлению X i в основной, (n-1) раз статическинеопределимой системе, вызываемые усилием X i = 1 и внешней нагрузкойсоответственно.Следовательно, рассматриваемый способ требует, чтобы предварительнобыли вычислены все необходимые перемещения в статически неопределимойосновной системе.
Для этого необходимо заранее иметь эпюры внутреннихусилий от действия на статически неопределимую основную системуединичных неизвестных и заданной внешней нагрузки. Если же таких эпюр нет,90то расчет не только не упростится, но даже может усложниться. Этообстоятельстворезкоограничиваетпрактическуюобластьприменениярассмотренного способа.3.10 ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВРассмотрим приведенный выше алгоритм расчета различных системметодом сил на конкретных примерах статически неопределимых балок иплоских рам.Пример 18.
Построить эпюру изгибающих моментов для статическинеопределимой балки (рис.36,а).Рис. 36Степень статической неопределимости балки:n = r − s = 3 − 2 = 1.91Основная и эквивалентная система приведены на рис.36,б,в. Так выборосновной системы является наиболее рациональным, но не единственным.Можно было, например, заменить жесткую заделку на шарнирнонеподвижнуюопору; тогда основная система представляла бы собой статически определимуюшарнирную балку, а лишняя неизвестная – сосредоточенный момент X,приложенный к левой опоре.Эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки M q (рис.36,д) имеетразмерность Кн·м, а единичная эпюра моментов M 1 (рис.36,ж) - м.Каноническое уравнение метода сил:δ 11 X 1 + ∆ 1q = 0.Вычисляем коэффициенты δ 11 и ∆ 1q , перемножая соответствующие эпюрыпо правилу Верещагина:lδ 11 = ∫0l∆ 1q = ∫1 128М1⋅2⋅2⋅ ⋅2=;ds =33EIEIEI 2М 1M q0EIdz = −1 1360⋅ 60 ⋅ 2 ⋅ ⋅ 2 = −.4EI 3EIРеакция лишней связи:860X1 −= 0;3EIEIX 1 = 22,5кН .Таким образом, исходная статически неопределимая система, загруженнаяраспределенной нагрузкой q, приведена к статически определимой системе(жестко защемленная балка), загруженной распределенной нагрузкой q исосредоточенной силой X 1 (рис.36, з).На рис.37,а,б представлены эпюры поперечных сил Q y и изгибающихмоментов M X для заданной системы.92Отметим, что эпюры Q y и M x (рис.37) построены непосредственнометодом сечений, причем по условиям задачи построение эпюры Q y неявляется обязательным.
Тем не менее эта эпюра позволила определить сечение,в котором будет экстремум на эпюре M x .Рис. 37Использование формулы (3.8) в виде:M x = М 1 X1 + M q(3.8)не дает ответа на вопрос о месте нахождения экстремума и делает правильноепостроение эпюры M x более сложной задачей, требующей определенныхнавыков.Пример 19. Построить эпюры продольных, поперечных сил и изгибающихмоментов для плоской рамы (рис.38,а).Степень статической неопределимости рамы:n = r − s = 4 − 3 =1Выбираем основную систему, отбрасывая на правой опоре горизонтальныйстержень (рис.38,б),т.е. заменяем шарнирно-неподвижною опору нашарнирно-подвижную.
На базе основной системы формируем эквивалентнуюсистему (рис.38,в).Заменяя реакцию лишней связи соответствующей единичной силой,(рис. 38,г) строим эпюру моментов М 1 (рис.38,д).93Грузовая эпюра моментов M F0 (рис.38,ж), построенная от одновременногодействия всех внешних нагрузок (рис.38,е), является знакопеременной научастке, где действует нагрузка q.
Это создает определенные трудности (хотя ине непреодолимые!) при ее перемножении с единичной эпюрой M 1 . В связи сэтим целесообразно построить две грузовых эпюры – отдельно от нагрузки q(эпюра M q ) и от совместного действия F и M (эпюра M F ). Эти вариантынагружения и эпюры представлены на рис.38,з и рис.39,а,б,в.При таком разбиении внешней нагрузки каноническое уравнение методасил содержит два грузовых перемещения и имеет вид:δ 11 X 1 + ∆ 1q + ∆ 1F = 0.Вычислим коэффициенты канонического уравнения:21 ⎛1212 ⎞ 75М1;δ 11 ==⎜ ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ ⋅ 5 + ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ ⋅ 5⎟ =323 ⎠ EIEIEI ⎝ 2MqМ11 2133,33;∆ 1q ==−⋅ ⋅ 20 ⋅ 4 ⋅ 2,5 = −EIEI 3EIM М11 ⎡4(2 ⋅ 5 ⋅ 60 − 40 ⋅ 5) + 1 ⋅ 3 ⋅ 60 ⋅ 2 ⋅ 3 + 5 + 3 ⋅ 2 ⋅ 60⎤⎥ = 926,66 .∆ 1F = F=⎢232EIEI ⎣ 6EI⎦Реакция лишних связи:75 X 1 = −926,66 + 133,33;X 1 = −10,58кНЭпюры Nz, Qy, Mx для заданной системы, загруженной нагрузками F, M, qи X1 (рис.39,г) представлены на рис.39,д,е,ж.Как уже говорилось в гл.1, при построении эпюр N z и Q в рамах ординатыможно откладывать в любую сторону, но обязательно указывать знаки; а припостроении эпюр M x знаки можно не указывать, но обязательно откладыватьординаты со стороны сжатых волокон соответствующих элементов.В обоих рассмотренных примерах универсальная проверка правильностивычисления коэффициентов канонического уравнения и свободных членов не94выполнялась, так как балка (пример 18) и рама (пример 19) имеют степеньстатической неопределимости n = 1 , а, значит, суммарная единичная эпюра М s(если ее построить) совпадет с единичной эпюрой М 1 .
В этом случае можно (ижелательно!) проверить правильность выполнения расчета при помощиуниверсальной кинематической проверки окончательной эпюры моментов M x .Выполним эту проверку для рамы, рассмотренной в последнем примере(рис.38,а). Должно выполняться условие:∆=M 1M x= 0.EIПокажем отдельно фрагменты перемножаемых эпюр (рис.38,д и рис.39,ж)для ригеля (рис.40,а,б) и стойки (рис.40,в,г) с указанением всех характерныхразмеров и соответствующих им ординат. Причем стойка (на рис.40,в,г)показана в горизонтальном положении.Точка пересечения кривой на ригеле эпюрыMxс осью (рис.40,б)определяется следующим образом. Обозначим координату произвольногосечения, отсчитываемую от правого конца ригеля, через z, тогда момент M xопределяется в виде:M x ( z ) = M + RB ⋅ z − qz2.2Пересечение с осью означает, что в этом сечении M x ( z ) = 0, поэтомуподставляя числовые значения, для определения z при M x = 0 получимквадратное уравнение:40 + 8,22 ⋅ z − 10 ⋅z2= 0,2откуда z = 3,77 м (второй корень этого уравнения лишен физического смысла).95Рис.
3896Рис. 3997⎡15⎛3⎞ 2⎛3⎞ 2∆ = ⎢ ⋅ 7,1 ⋅ 0,23 ⋅ ⎜ ⋅ 0,29 + 4,71⎟ − ⋅ 43,38 ⋅ 2,95 ⋅ ⎜ ⋅ 3,69 + 1,02 ⎟ − ⋅ 3,38 ⋅ 0,82 ⋅ ⋅ 1,02 −8⎝4⎠ 3⎝8⎠ 3⎣31212 ⎤ 10,1− ⋅ 1,02 ⋅ 0,82 ⋅ 40 + (2 ⋅ 7,1 ⋅ 5 + 2 ⋅ 3 ⋅ 28,26 + 7,1 ⋅ 3 + 5 ⋅ 28,26 ) + ⋅ 28,26 ⋅ 3 ⋅ ⋅ 3⎥ ⋅=−≈ 0,2623 ⎦ EIEIследовательно, расчет выполнен правильно.Перейдем к рассмотрению более сложной системы – рамы с двумялишними связями, для которой алгоритм расчета, приведенный в параграфе 3.3,можно реализовать в полном объеме.Рис. 40Пример 20. Для рамы (рис.41,а) построить эпюры N z , Q y , M x . Выполнитьпромежуточные и окончательные проверки в соответствии с алгоритмомрасчета, указанным в параграфе 3.3.Заданная рама имеет в опорных закреплениях пять связей: две в опоре 1 итри в опоре 2, следовательно, система дважды статически неопределима:n = r −s = 5−3= 2Основную систему целесообразно выбрать путем удаления шарнирнойопоры (рис.41,б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
