МУ - Методы построения эпюр в статически определимых и неопределимых системах (1238993), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В этом случае не только внутренние моменты M x , M y , M KP ( M z ) , но ивнутренниесилы( N z , Qx , Qy )существенновлияютнанапряженно-деформированное состояние конструкции, поэтому для ломаных стержнейбудем строить эпюры всех шести внутренних силовых факторов.Для правильного построения эпюр здесь обязательным являетсяиспользование скользящей системы координат, о которой уже говорилось прирассмотрении плоско-пространственных систем (см.1.17).Пример 12. Рассмотрим простейший случай нагружения ломанногостержня - двумя взаимноперпендикулярными сосредоточенными силами,приложенными на свободном конце (рис.18,а).Выбираем скользящую систему координат (рис.18,б). Ось z всегданаправлена вдоль продольной оси того или иного участка ломаного стержня, апри переходе с одного участка на другой координатные оси поворачиваются на90 градусов, но никогда не вращаются вокруг оси z.
Удобнее всего начинатьвыбор скользящей системы координат с горизонтального участка ломаного44стержня, который параллелен плоскости чертежа или лежит в этой плоскости(участок ВС на рис.18,б).На этом участке (а он аналогичен обычной балке) ось y направляетсявертикально (вверх или вниз), ось z - вдоль продольной оси участка, а ось x перпендикулярно плоскости yoz, после чего система координат передвигаетсяна остальные участки ломаного стержня.Построение эпюры N z .Построение этой и всех последующих эпюр ведем от свободного конца.Правило знаков для N z остается таким же, как и для других систем, а именно:растяжению соответствует знак "+", сжатию - "-".УчастокАВимеетнулевуюпродольнуюсилу,таккакF1 , F2перпендикулярны продольной оси этого участка:N z ,1 = N z ,2 = 0 .Участок ВС растягивается силой F2 :N z ,3 = N z ,4 = F2 .Участок СД сжимается силой F1 :N z ,5 = N z ,6 = − F1 .Построение эпюр Q x и Q y .Поперечную силу Q x формируют только те силы, которые параллельныоси x на данном участке, а поперечную силу Q y - силы, параллельные оси y.Здесь также сохраняется обычное для Q правило знаков: Q x > 0 (Q y > 0) , есливнешняя сила, приложенная к отсеченной части, стремится повернутьрассматриваемоесечениепочасовойстрелкеиQ x < 0 (Q y < 0) -впротивоположном случае.
С учетом сказанного в характерных сечениях имеем:45Рис.18Q x ,1 = Q x ,2 = − F1 ;Q x ,3 = Q x ,4 = − F1 ;Q x ,5 = Q x ,6 = − F2 ;Q y ,1 = Q y ,2 = − F2 ;Q y , 3 = Q y , 4 = Q y ,5 = Q y , 6 = 0Построение эпюр M x , M y .Ординаты эпюр изгибающих моментов будем, как обычно, откладыватьсо стороны сжатых волокон, не указывая знаков, причем ориентировать эпюрынужно так, чтобы плоскость эпюры совпадала с плоскостью действия пары того46изгибающего момента, для которого она построена.
Иначе говоря, эпюра M x навсех участках ломаного стержня располагается в плоскости yoz, а эпюра M y - вплоскости xoz.Начнем с построения эпюры M x . Здесь нас будет интересовать изгибкаждого участка в плоскости yoz (см. скользящую систему координат нарис.18,б) и, соответственно, плечо каждой действующей на отсеченную частьнагрузки нужно измерять в этой плоскости.На участке АВ плоскость yoz - вертикальная плоскость, параллельнаяплоскости чертежа. В этой плоскости стержень АВ изгибается только силой F2 ,так как F1 перпендикулярна плоскости yoz :M x,1 = 0 ;M x ,2 = F2 ⋅ a (сжаты правые волокна).На участке ВС плоскость yoz ориентирована так же, как и на участке АВ,причем, все точки ВС равноудалены от линии действия силы F2 , поэтому:M x , 3 = M x , 4 = F2 ⋅ a (сжаты верхние волокна).НаучасткеСДплоскостьyoz-вертикальнаяплоскость,перпендикулярная плоскости чертежа.
В этой плоскости стержень СДизгибается только силой F1 , так как F2 перпендикулярна yoz ; все точки участкаСД равноудалены (в рассматриваемой плоскости) от линии действия силы F1 ,следовательно:M x ,5 = M x , 6 = F1 ⋅ a (сжаты нижние волокна).Рассуждая аналогичным образом, будем строить эпюру M y , но теперьнужно рассматривать изгиб каждого участка ломаного стержня в плоскостиxoz.НаучасткеАВплоскостьxoz-вертикальнаяплоскость,перпендикулярная плоскоси чертежа. В этой плоскости стержень АВизгибается только силой F1 , так как F2 перпендикулярна плоскости xoz:M y,1 = 0 ;47M y,2 = F1 ⋅ a (сжаты дальние от наблюдателя волокна).На участке ВС плоскость xoz - горизонтальная плоскость.
В этойплоскости сила F2 приложена вдоль продольной оси стержня ВС и к изгибупривести не может, поэтому:M y,3 = 0 ;M y,4 = F1 ⋅ b (сжаты дальние от наблюдателя волокна).На участке СД плоскость xoz - это так же горизонтальная плоскость.Здесь к изгибу стержня СД приводят обе силы: плечо силы F1 постоянно иравно b, а плечо силы F2 равно нулю в сечении 5 и равно с в сечении 6:M y ,5 = F1 ⋅ bM y,6⎫⎬ (сжаты правые волокна).= F1 ⋅ b + F2 ⋅ c⎭Иногда при построении эпюр изгибающих моментов в ломанных стержняхвозникают затруднения в определении участия той или иной нагрузки в изгибестержня или в определении плеча той или иной нагрузки. В этих случаях всегдаможно использовать простой, но эффективный прием: спроектироватьконструкцию и действующие нагрузки на ту плоскость в которой изгибаетсястержень, переходя тем самым от пространственной конструкции к еепроекции, что позволяет легко определить плечи каждой из нагрузок и их"вклад" в изгиб рассматриваемого участка.
Проследим использование этогоприема например, при построении эпюры M y на участке СД (рис.18,а,б). Наэтом участке плоскость xoz, в которой нужно рассматривать изгиб стержня припостроении M y - горизонтальная плоскость, следовательно, для реализацииописываемогоприеманеобходимоспроектироватьконструкциюгоризонтальную плоскость, то есть изобразить вид сверху (рис.19).48наРис.19При этом сила F2 будет видна направленной вдоль стержня ВС, сила F1 перпендикулярно ВС, а стержень ВА проектируется в точку.
Теперьсовершенно очевидно, что все точки стержня СД равноудалены от линиидействия силы F1 , что приводит к постоянному моменту F1 ⋅ b , а сила F2 имеетнулевое плечо в сечении 5 и плечо, равное с, - в сечении 6:M y ,5 = F1 ⋅ bM y ,6 = F1 ⋅ b + F2 ⋅ cВ обоих сечениях сжатыправые волокна, то есть получен тот жерезультат, что и ранее, но в более наглядном виде.49ГЛАВА 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В УПРУГИХСИСТЕМАХЛюбая конструкция под действием приложенных внешних нагрузокизменяет в той или иной степени свою форму и размеры – деформируется. Дляпроверкижесткостииустойчивостиконструкциинеобходимоуметьопределять перемещения, вызванные деформацией ее элементов.
Кроме того,определение перемещений конструкции является важнейшей вспомогательнойзадачей при расчете статически неопределимых систем.Методы определения этих перемещений весьма разнообразны. Ониотличаются друг от друга главным образом степенью сложности и областьюприменения.Исторически первым предложенным методом определения перемещенийможно считать метод непосредственного интегрирования дифференциальногоуравнения упругой линии балки. Однако в случае балок с большимколичеством участков реализация этого метода сопряжена со значительнымитрудностями, которые заключаются не в интегрировании дифференциальныхуравнений, а в технике определения произвольных постоянных интегрирования– составлении и решении систем линейных алгебраических уравнений.Если по условиям нагружения балка разбивается на n участков, то задачастановится очень трудоемкой уже при n=3.
Для уменьшения большого объемавычислительной работы, связанной с определением произвольных постоянныхинтегрирования, разработан ряд методов, из которых, прежде всего, отметимметод начальных параметров, позволяющий при любом числе участков свестирешение к отысканию только двух постоянных – прогиба и угла поворота вначале координат.Указанные методы, как и некоторые другие, носят частный характер. Снекоторой натяжкой их можно признать удобными при решении ограниченногокруга простейших задач.50Наиболее общим методом определения перемещений в стержневыхсистемах является метод Мора (иногда говорят: Максвелла – Мора), в основекоторого лежат два основных принципа механики: начало возможныхперемещений и закон сохранения энергии.
Прежде чем перейти к изложениюметода, остановимся на его основных теоретических предпосылках.2.1 ОБОБЩЕННЫЕ СИЛЫ И ОБОБЩЕННЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯРабота постоянной силы F на перемещений ∆ по ее направлению равна~произведению величины силы на указанное перемещение: A = F ⋅ ∆ .Взадачахмеханикивнешняянагрузкаотличаетсябольшимразнообразием и обычно представляет собой группы сил. Выражения длякакой-либо группы постоянных сил можно представить в виде произведениядвух величин:~A = F ⋅ ∆F ,(2.1)одна из которых – F – зависит только от сил группы и называется обобщеннойсилой, а другая - ∆ F - зависит от перемещений и называется обобщеннымперемещением.Таким образом, под обобщенной силой будем понимать любую нагрузку(сосредоточенные силы, сосредоточенные пары, распределенную линейнуюнагрузку,распределеннуюмоментнуюнагрузку),аподобобщеннымперемещением – тот вид перемещения, на котором обобщенная силапроизводит работу.Обобщенные перемещения принято обозначать буквами δ или ∆ с двумяиндексами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
