МУ - Методы построения эпюр в статически определимых и неопределимых системах (1238993), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Еслиопределяется линейное смещение, то обобщенная единичная сила представляетсобой безразмерную сосредоточенную единичную силу, приложенную врассматриваемой точке; а если определяется угол поворота сечения, тообобщенная единичная сила – это безразмерный сосредоточенный единичныймомент.Иногда (2.17) записывается в виде:60LLM n dzN dzQ dz+ ∑ ∫ Nm n + ∑ ∫ Qm n η00EIEAGA∆ mn = ∑ ∫ М mL0(2.18)где ∆ mn - перемещение по направлению силы Fm = 1 , вызванное действиемгруппы сил η . Произведения, стоящие в знаменателе формулы (2.18),называются соответственно жесткостями при изгибе, растяжении (сжатии) исдвиге; при постоянных по длине размерах сечения и одинаковом материалеэти величины можно выносить за знак интеграла.
Выражения (2.17) и (2.18)называются интегралами (или формулами) Мора.Наиболее общий вид интеграл Мора имеет в том случае, когда впоперечных сечениях стержней системы возникают все шесть внутреннихсиловых факторов:x∆ mnyкрzxyМ m M nx М m M ny М m M крN m N znQ m Q nxQ m Q nyn= ∑∫(++++ ηx+ ηy)dzEI xEI yGI крEAGAGAo(2.19)Алгоритм вычисления перемещения методом Мора состоит в следующем:1. Определяют выражения внутренних усилий от заданной нагрузки какфункций координаты Z произвольного сечения.2. По направлению искомого перемещения прикладывается обобщеннаяединичная сила (сосредоточенная сила – при вычислении линейногоперемещения; сосредоточенный момент – при вычислении угла поворота).3.
Определяют выражения внутренних усилий от обобщенной единичной силыкак функций координаты Z произвольного сечения.4. Подставляют выражение внутренних усилий, найденные в п.п.1,3 в (2.18) или(2.19) и интегрированием по участкам в пределах всей длины конструкцииопределяют искомое перемещение.Формулы Мора пригодны и для элементов, представляющих собойстержни малой кривизны, с заменой элемента длины dz в подынтегральномвыражении элементом дуги ds.В большинстве случаев плоской задачи используется только один членформулы (2.18). Так, если рассматриваются конструкции, работающие61преимущественно на изгиб (балки, рамы, а частично и арки), то в формулеперемещений с соблюдением достаточной точности можно оставить толькоинтеграл, зависящий от изгибающих моментов; при расчете конструкций,элементы которых работают, в основном, на центральное растяжение (сжатие),например, ферм, можно не учитывать деформации изгиба и сдвига, то есть вформуле перемещений останется только член, содержащий продольные силы.Аналогично,вбольшинствеслучаевпространственнойзадачисущественно упрощается формула Мора (2.19).
Так, когда элементы системыработают преимущественно на изгиб и кручение (например, при расчетеплоско-пространственных систем, ломаных стержней и пространственных рам)в (2.19) остаются только первые три члена; а при расчете пространственныхферм – только четвертый член.ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВПример 13. Определить прогиб в середине пролета и угол поворота левогоопорного сечения балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой(рис.26,а), методом Мора.Рассмотрим три состояния балки: первое (грузовое) – при действиизаданной распределенной нагрузки q; ему соответствует эпюра моментовM q (рис.26,б).
Второе состояние (единичное) – при действии сосредоточеннойсилы F = 1 , приложенной в точке С; ему соответствует эпюра(рис.26,в).Третьесостояние(такжеединичное)–моментов M iпридействиисосредоточенного момента M = 1 , приложенного в точке В; ему соответствуетэпюра моментов M k (рис.26,г). Примем начало координат на левой опоре; тогдаординаты указанных эпюр в сечении с координатой z соответственно равны:qLqz 2 qzM q ( z) =z−= ( L − z );2221M i ( z ) = z;2zM k ( z) = 1 − .L62Вычисляем прогиб балки в точке С:2yc = 2 ∫M q M i dz0=EI xqzz(L − z) ⋅ dz2 = q= 2∫ 2EI x2EI x022∫z2(L − z)dz =o44q5q 4( − )=.2EI x 24 64384EI xЗнак "+" означает, что точка С переместится в направлении действия силы.F = 1.Вычисляем угол поворота сечения В:LΘB = ∫M q M k dzEI x0=q2LEI xLL=∫0qzz(L − z) ⋅ (1 − )dzq2L=EI x2LEI x223∫ (zL − 2Lz + z )dz =0L∫ z(L − z)2dz =0qqL3121( L2 z 2 − Lz 3 + z 4 ) | 0L =.2LEI x 23424EI xРис. 2663Рис.
27Знак "+" означает, что сечение В поворачивается в направлении действиямомента M = 1, то есть по часовой стрелке.Пример 14. Определить прогиб балки в середине пролета (рис.27,а)методом Мора. Оценить влияние поперечной силы на общую величинупрогиба.64Рассмотрим два состояния балки. Первое состояние (грузовое) – придействиисилыF(рис.27,а);емусоответствуетэпюрыизгибающихмоментов M F (рис.27,б) и поперечных сил Q F (рис.27,в).Второе состояние (единичное) – при действии силы F = 1 (рис.27,г); емусоответствуют эпюры изгибающих моментов M i (рис.27,д) и поперечных силQ i (рис.27,е).В связи с отсутствием продольных сил в поперечных сечениях балкиинтеграл Мора (2.18) принимает вид:yc = ∑1ηM F M i dz + ∑Q F Q i dz = y c (M ) + y c (Q)∫EI x 0GA ∫0Подставляя значения изгибающих моментов и поперечных сил в сечении скоординатой z (рис.27) для составляющих полного перемещения получим:2y c (M ) =EI xy c (Q) =2ηGA2z FF 3∫0 2 ⋅ 2 zdz = 48EI x ;21 FF η∫ 2 ⋅ 2 dz = 4GA .0Оценим влияние поперечной силы на общую величину прогиба.
Пустьрассматриваемая балка имеет прямоугольное поперечное сечение со сторонамиb и h, при этом h=0,1ℓ.Тогда площадь сечения и его осевой момент инерции равны:A = bh =b;10Ix =bh 3b 3=.12 12000Будем считать, что η = 1,2; G = 0,4 E , тогда:y c (Q) FηL48EI x 12ηEI x 12 ⋅ 1,2 ⋅ EbL3 ⋅ 103====32y c ( C)4GAFLGAL12000 ⋅ 0,4EbL 100,то есть прогиб, обусловленный деформацией сдвига, составляет 3% от прогиба,обусловленного изгибом. Легко убедиться, что при увеличении отношения h L65влияние поперечных сил на величину прогиба становится еще менеезначительным.2.7 ПРАВИЛО ВЕРЕЩАГИНАНедостатком метода Мора является необходимость получать значениявнутренних силовых факторов, входящих в подинтегральные выраженияформул (2.18) и (2.19), в общем виде, как функций от z, что становитсядостаточно трудоемким уже при двух – трех участках разбиения в балках иособенно – в рамах.Оказывается, что от этого недостатка можно уйти, если непосредственноеинтегрирование в формулах Мора заменить так называемым перемножениемэпюр.
Такая замена возможна в тех случаях, когда хотя бы одна изперемножаемых эпюр является прямолинейной. Этому условию соответствуютвсе системы, состоящие из прямолинейных стержней. Действительно, в такихсистемах эпюра, построенная от обобщенной единичной силы, всегда будетпрямолинейной.Способ вычисления интеграла Мора путем замены непосредственногоинтегрирования перемножением соответствующих эпюр называется способом(или правилом) Верещагина и заключается в следующем: чтобы перемножитьдве эпюры, из которых хотя бы одна является прямолинейной, нужно площадьодной эпюры (если есть криволинейная эпюра, то обязательно ее площадь)умножить на ординату другой эпюры, расположенную под центром тяжестипервой.Докажем справедливость этого правила. Рассмотрим две эпюры (рис.28).Пусть одна из них (Mn) является грузовой и имеет криволинейное очертание, авторая М m соответствует единичной нагрузке и является линейной.Из рис.28 следует, что М m = (z + a ) tgα.
Подставим значения М mLвыражение ∫ М m M n dz :066вLLL000∫ М m M n dz = tgα ∫ (z + a )M n dz = tgα ∫ (z + a )dω n ,где dω n = M n dz - дифференциал площади ω n эпюры Mn.Рис. 28ИнтегралL∫ ( z + a ) dωnпредставляет собой статический момент площади0ω n относительно оси О – О1, при этом:L∫ ( z + a ) dωn= ω n ( z c + a ),0где zc – абсцисса центра тяжести площади ω n , тогда:L∫МmM n dz = (z c + a )ω n tgα.0Учитывая, что ( zc + a)tgα = yc , получим:67L∫MmM n dz = ω n yc0(2.20)Выражение (2.20) определяет результат перемножения двух эпюр, а неперемещения. Чтобы получить перемещение, этот результат нужно разделитьна жесткость, соответствующую внутренним силовым факторам, стоящим подзнаком интеграла.2.8 ОСНОВНЫЕ ВАРИАНТЫ ПЕРЕМНОЖЕНИЯ ЭПЮРОчевидно, что разнообразие приложенных нагрузок и геометрическихсхем конструкций приводит к различным, с точки зрения геометрии,перемножаемым эпюрам.
Для реализации правила Верещагина нужно знатьплощади геометрических фигур и координаты их центров тяжести. На рис.29представлены некоторые основные варианты, возникающие в практическихрасчетах.Для перемножения эпюр сложной формы их необходимо разбивать напростейшие. Например, для перемножения двух эпюр, имеющих вид трапеции,нужно одну из них разбить на треугольник и прямоугольник, умножитьплощадь каждого из них на ординату второй эпюры, расположенную подсоответствующим центром тяжести, и результаты сложить. Аналогичнопоступают и для умножения криволинейной трапеции на любую линейнуюэпюру.Если указанные выше действия проделать в общем виде, то получим длятаких сложных случаев формулы, удобные для использования в практическихрасчетах (рис.30).
Так, результат перемножения двух трапеций (рис.30,а):Mm × Mn =L(2ac + 2bd + ad + bc)668(2.21)Рис. 29По формуле (2.21) можно перемножить и эпюры, имеющих вид"перекрученных" трапеций (рис.30,б), но при этом произведение ординат,расположенных по разные стороны от осей эпюр, учитывается со знаком минус.Если одна из перемножаемых эпюр очерчена по квадратной параболе (чтосоответствует нагружению равномерно распределенной нагрузкой), то дляперемножения со второй (обязательно линейной) эпюрой ее рассматривают каксумму (рис.30,в) или разность (рис.30,г) трапециидальной и параболическойэпюр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
