МУ - Методы построения эпюр в статически определимых и неопределимых системах (1238993), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Соответствующая эквивалентная система изображена нарис.41,в.98Рис. 4199Система канонических уравнений:⎧δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + ∆1F = 0;⎨⎩δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + ∆ 2 F = 0.Для вычисления коэффициентов и свободных членов каноническихуравнений строим единичные ( М 1 , М 2 , рис.41,г,д) и грузовую ( M F , рис.41, ж,з)эпюры изгибающих моментов, а для выполнения проверок – суммарнуюединичную эпюру М S (рис.41,е).Коэффициенты системы канонических уравнений вычисляем путемперемножения соответствующих эпюрпо правилу Верещагина. При этомобязательно учитываем разную жесткость элементов рамы (E2I – на левойстойке ригеля; EI – на правой стойке).2М11 ⎛12⎞δ11 = ∑ ∫ds =⎜ ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ ⋅ 6 + 6 ⋅ 6 ⋅ 6⎟ +E 2I ⎝ 23⎠S EI1 3207⋅ (2 ⋅ 6 ⋅ 6 + 2 ⋅ 3 ⋅ 3 + 6 ⋅ 3 + 3 ⋅ 6 ) =;EI 6EIМ1 М 21 11 6+3135δ12 = δ 21 = ∑ ∫⋅ ⋅6⋅6⋅6− ⋅⋅3⋅6 = −ds = −;EIE2I2EI2EIS+3δ 22М21 121144= ∑∫⋅ ⋅6⋅6⋅ ⋅6+⋅6⋅3⋅6 =ds =E 2I 23EIEIS EIM F М11 ⎛1318 + 27⎞⋅ 3 ⋅ 6⎟ +ds =⎜ ⋅ 18 ⋅ 6 ⋅ ⋅ 6 + 18 ⋅ 3 ⋅ 6 +EIE 2I ⎝ 342⎠S∆1F = ∑ ∫1 3702⋅ (2 ⋅ 3 ⋅ 9 + 2 ⋅ 6 ⋅ 27 + 6 ⋅ 9 + 3 ⋅ 27 ) =;EI 6EIM М21 ⎡13⎤∆ 2 F = ∑ ∫ F ds = −⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 18 + (2 ⋅ 3 ⋅ 18 + 2 ⋅ 6 ⋅ 27 + 3 ⋅ 27 + 6 ⋅ 18)⎥ −⎢EIE 2I ⎣ 26⎦S+−1 27 + 9520⋅⋅3⋅6 = −.EI2EIДля проверки вычисленных коэффициентов при неизвестных и свободныхчленов канонических уравнений используем суммарную единичную эпюру М S(рис.
41,е).100Должны выполняться два условия:1) δ 11 + 2δ 12 + δ 22 = δ ss ;2) ∆1F + ∆ 2 F = ∆ SF .Вычисляем величины δ SS и ∆ SF .2δ SS1 121 1281МS;ds ==∑∫⋅ ⋅6⋅6⋅ ⋅6⋅2 +⋅ ⋅3⋅3⋅ ⋅3 =33EIE 2I 2EI 2EISMF М S1 ⎡136+31⎛1⎞⎤⋅ 18 ⋅ 6 ⋅ ⋅ 6 +⋅ 3 ⋅ 18 + ⋅ 3 ⋅ 3⎜ ⋅ 9 + 18 ⎟⎥ −ds =⎢422EIE 2I ⎣ 3⎝3⎠⎦S1 1⎛1⎞ 182−⋅ ⋅ 3 ⋅ 3⎜ ⋅ 18 + 9 ⎟ =.EI 2⎝3⎠ EI∆ SF = ∑ ∫1) δ11 + 2δ 12 + δ 22 =2) ∆1F + ∆ 2 F =такимобразом,1(207 − 2 ⋅ 135 + 144) = 81 = δ SSEIEI1(702 − 520) = 182 = ∆ SF ,EIEIкоэффициентыпри неизвестныхи свободныечленыканонических уравнений вычислены правильно.Вычисляем реакции лишних связей:⎧207 X 1 − 135X 2 + 702 = 0;⎨⎩− 135X 1 + 144X 2 − 520 = 0.⎧X 1 = −2.67кН⎨⎩X 2 = 1.11кНСтроим эпюры продольных (Nz) и поперечных (Qy) сил и изгибающихмоментов (Мх) для заданной системы с учетом вычисленных реакций лишнихсвязей (рис.43,а-г).Для выполнения статическойпроверки необходимо вырезать жесткиеузлы рамы 3 и 4 (рис.43,а) и убедиться в справедливости условий равновесиядля каждого из них.101Условия равновесия для узла 3 (рис.42,а):1)∑ X = 3,33 − 3,33 = 0;2)∑ Y = −1,11 + 1,11 = 0;3)∑M3= 2 − 2 = 0.Условия равновесия для узла 4 (рис.42,б):1)∑ X = 3,33 − 3,33 = 0;2)∑ Y = 1,89 − 1,89 = 0;3)∑M3= 4,4 − 4,4 = 0.Таким образом, статическая проверка выполняется.Рис.
42Для выполнения кинематической проверки перемножим суммарнуюединичную эпюруМS(рис.41,е) и окончательную эпюру изгибающихмоментов Мх (рис.43,г):MX МS1 ⎡ 21⎞⎛2ds =− ⋅ 3,56 ⋅ 5,34 ⋅ 2,67 + ⋅ 2 ⋅ 0,66⎜ ⋅ 0,66 + 5,34 ⎟ +⎢3EIE 2I ⎣ 3⎠⎝3S3(2 ⋅ 2 ⋅ 6 − 2 ⋅ 1,3 ⋅ 3 − 6 ⋅ 1,3 + 2 ⋅ 3) + 3 (2 ⋅ 3 ⋅ 5,6 − 3 ⋅ 4,4)] = − 0,08 ≈ 0,66EI∆S = ∑ ∫следовательно, все проверки метода сил выполняются, и расчет проделанправильно.102Рис. 43Теперь рассмотрим примеры, иллюстрирующие различные способыиспользования симметрии.Пример 21. Построить эпюры Nz, Qy и Mx для симметричной рамы,загруженной несимметричной внешней нагрузкой (рис.44,а).Заданнаярамаимеетдвазамкнутыхбесшарнирныхконтура,следовательно, ее степень статической неопределимости n = 6.Записаннаяформально,безиспользованиясимметрии,канонических уравнений метода сил имеет вид⎧δ11 x 1 + δ12 x 2 + δ13 x 3 + δ14 x 4 + δ 15 x 5 + δ16 x 6 + ∆ 1q = 0;⎪⎪δ 21 x 1 + δ 22 x 2 + δ 23 x 3 + δ 24 x 4 + δ 25 x 5 + δ 26 x 6 + ∆ 2 q = 0;⎨⎪...............................................................................⎪δ 61 x 1 + δ 62 x 2 + δ 63 x 3 + δ 64 x 4 + δ 65 x 5 + δ 66 x 6 + ∆ 6 q = 0.⎩103системаИз многих возможных вариантов выбора основной системы наиболеецелесообразным,максимальноупрощающимрасчет,являетсявариант,представленный на рис.44,б, полученный путем разрезания каждого из ригелейпосредине пролета.
Так как разрез стержня приводит к появлению трехнеизвестных факторов (двух сил и момента), то эквивалентная система(рис.44,в) будет состоять из двух жестко защемленных рам, одна из которыхзагружена только неизвестными реакциями, а другая – такими же (по величине)реакциями и внешней нагрузкой.Указанный выбор основной системы позволяет не только получитьпростые единичные эпюры (рис.44,г-и), но, что особенно важно, при этомцелый ряд побочных коэффициентов системы канонических уравненийобращается в ноль. Это те коэффициенты, которые получаются путемперемножения симметричной и кососимметричной эпюр:δ 12 =δ 15= δ 23 = δ 24 = δ 26 = δ 35 = δ 45 = δ 56 = 0.В силу теоремы о взаимности перемещений число нулевых коэффициентовудваивается.
В результате формально записанная система каноническихуравнений распадается на две самостоятельных системы:I)⎧δ11 X 1 + δ13 X 3 + δ14 X 4 + δ16 X 6 + ∆ 1q = 0;⎪⎪δ 31 X 1 + δ 33 X 3 + δ 34 X 4 + δ 36 X 6 + ∆ 3q = 0;⎨⎪δ 41 X 1 + δ 43 X 3 + δ 44 X 4 + δ 46 X 6 + ∆ 4 q = 0;⎪δ X + δ X + δ X + δ X + ∆ = 0.6336446666q⎩ 61 1II)⎧δ 22 X 2 + δ 25 X 5 + ∆ 2 q = 0;⎨⎩δ 52 X 2 + δ 55 X 5 + ∆ 5q = 0.Вычисление коэффициентов этих систем уравнений (с обязательнымучетомсоотношенияжестокостейэлементов)приводиткследующимрезультатам:⎡1121⎤6354,7δ 11 = ⎢ ⋅ ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ ⋅ 4 +⋅ (2 ⋅ 4 ⋅ 4 + 2 ⋅ 10 ⋅ 10 + 4 ⋅ 10 + 10 ⋅ 4 )⎥ ⋅ 2 =;3E 2I 6EI⎣ EI 2⎦1041 10 + 458⎞⎛ 1 1;⋅ ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅1 +⋅⋅ 6 ⋅ 1⎟ ⋅ 2 =2E 2IEI⎠⎝ EI 2δ 13 = δ 31 = ⎜δ 14 = δ 41 =1 1144⎛2⎞⋅ ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ ⎜ ⋅ 6 + 4⎟ ⋅ 2 =;E 2I 2EI⎝3⎠δ 16 = δ 61 =1 10 + 442⋅⋅ 6 ⋅1⋅ 2 =;2E 2IEI1(1 ⋅ 3 ⋅ 1 + 1 ⋅ 6 ⋅ 1) ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 ⋅ 4 ⋅ 1 ⋅ 2 = 17 ;E 2IEIEIδ .33 =δ 34 = δ 43 =1 118⋅ ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅1 ⋅ 2 =;E 2I 2EIδ 36 = δ 63 =16⋅1⋅ 6 ⋅1⋅ 2 =;E 2IEIδ 44 =1 1272⋅ ⋅6⋅6⋅ ⋅6⋅2 =;3E 2I 2EIδ 46 = δ 64 =1 118⋅ ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅1 ⋅ 2 =;E 2I 2EI17,5⎞⎛ 1;⋅1 ⋅ 6 ⋅1 +⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 1⎟ ⋅ 2 =E 4IEI⎠⎝ E 2Iδ 66 = ⎜⎡ 1 ⎛12⎞1⎤135δ 22 = ⎢;⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 3⎥ ⋅ 2 =⎜ 3 ⋅ 6 ⋅ 3 + ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ ⋅ 3⎟ +23 ⎠ EIEI⎣ E 2I ⎝⎦δ 25 = δ 52 =154⋅3⋅ 6 ⋅3⋅ 2 =;E 2IEI1 12 ⎞58,5⎛ 1⋅3⋅6⋅3 +⋅ ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ ⋅ 3⎟ ⋅ 2 =.3 ⎠E 4I 2EI⎝ E 2Iδ 55 = ⎜1 10 + 4261⎛ 1 1⎞∆ 1q = − ⎜ ⋅ ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 9 +⋅⋅ 6 ⋅9⎟ = −;E 2I2EI⎝ EI 2⎠1 ⎛13199 ,12⎞ 1∆ 2q = −⋅3⋅4⋅9 = −;⎜ ⋅9 ⋅3⋅ ⋅3 + 3⋅ 6 ⋅9⎟ −E 2I ⎝ 34EI⎠ EI1 ⎛167 ,5⎞ 1⋅ 9 ⋅ 4 ⋅1 = −;⎜ ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 1 + 9 ⋅ 6 ⋅ 1⎟ −EIE 2I ⎝ 3⎠ EI1 181=−⋅ ⋅6⋅6⋅9 = − ;E 2I 2EI181=−⋅3⋅6⋅9 = − ;E 2IEI127=−⋅1 ⋅ 6 ⋅ 9 = − .E 2IEI∆ 3q = −∆ 4q∆ 5q∆ 6q105Рис.
44106Для выполнения проверки вычисленных перемещений строим суммарнуюединичную эпюру М S от одновременного действия шести единичных факторов(рис.45,б).Вычисляем коэффициенты δ SS и ∆ Sq :2δ SS+1MSds == ∑∫E 4IS EI1E 2I12⎡3⎤⎢ 6 (2 ⋅ 4 ⋅ 4 + 2 ⋅ 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 4 ⋅ 1) + 2 ⋅ 1 ⋅ 1,5 ⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ 2⎥ +⎣⎦212123⎡1⎢ 2 ⋅ 12 ⋅ 6 ⋅ 3 ⋅ 12 + 2 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 2 + 6 (2 ⋅ 4 ⋅ 4 + 2 ⋅ 1 ⋅ 1 +⎣6(2 ⋅ 12 ⋅ 12 + 2 ⋅ 24 ⋅ 24 + 2 ⋅ 12 ⋅ 24)] + 1 ⎡⎢ 4 (2 ⋅ 4 ⋅ 4 + 2 ⋅ 8 ⋅ 8 +EI ⎣ 66+ 2 ⋅ 4 ⋅ 1) +41324,7+ 2 ⋅ 4 ⋅ 8) + (2 ⋅ 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 ⋅ 1 − 2 ⋅ 1 ⋅ 2)] =;6EI∆ sq = ∑ ∫Mq M sS−ds = −EI⎤1 ⎡1⎛3⎞ 12 + 24⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ ⎜ ⋅ 3 + 1⎟ +⋅ 6 ⋅ 9⎥ −⎢E 2I ⎣ 32⎝4⎠⎦4+81− 716,62⋅4⋅9⋅=.2EIEIВыполняем проверку:1)6∑δi , j =1ij=1[354,7 + 17 + 72 + 7,5 + 135 + 58,5 + 2(58 + 144 +EI42 + 18 + 6 + 18 + 54)] =2)6∑∆i =1iq=1324,7δ ss ;EI1(− 261 − 199,12 − 67,5 − 81 − 81 − 27 ) = 716,62 = ∆ sq ,EIEIследовательно, коэффициенты и свободные члены систем каноническихуравнений вычислены правильно.107Рис.
45Подставляя вычисленные значения перемещений, получим системыканонических уравнений I и II в виде:⎧354,7 X 1 + 58X 3 + 144X 4 + 42X 6 = 261;⎪58X + 17 X + 18X + 6X = 67,5;⎪1346I. ⎨⎪144X 1 + 18X 3 +72X 4 + 18X 6 = 81;⎪⎩42X 1 + 6X 3 + 18X 4 + 7,5X 6 = 27.⎧135X 2 + 54X 5 = 199,12;II. ⎨⎩54X 2 + 58,5X 5 = 81.108Решение системы I и II дает значения реакций лишних связей:Х 1 = 0,607кН ;Х 2 = 1,46кН ;Х 3 = 2,753кН ⋅ м;Х 4 = −0,692кН ;Х 5 = 0,037кН ;Х 6 = −0,34кН ⋅ м.Окончательные эпюры Nz, Qy, Mx, построенные от одновременногодействия вычисленных реакций и внешней нагрузки q (рис.45,в) показаны нарис.45,г,д,е.Пример 22. Построить эпюры Nz, Qy, Mx в симметричной раме (рис.46.а).Рама имеет два замкнутых бесшарнирных контура, поэтому она шесть разстатически неопределима.
При обычном подходе в этом случае было бынеобходимо решить систему шести линейных уравнений, т.е. расчет был бывесьма трудоемким. Использование симметрии, как это будет показано ниже,позволит свести задачу к решению только лишь двух линейных уравнений.Выберем основную систему, разрезая каждый из ригелей посрединепролета (рис.46,б). Но, в отличие от предыдущего примера, сформируем двеэквивалентныхсоставляющимисистемы,внешнейоднуизнагрузкикоторых(рис.46,в),загрузимасимметричнымидругую–обратносимметричными составляющими (рис.46,г).
Легко убедиться в том, что суммавнешних нагрузок, приложенных к обеим эквивалентным системам, равнавнешней нагрузке, приложенной к заданной раме.При действии симметричных самоуравновешенных сил F1 2 и F2 2(рис.46,в), приложенных в узлах, в элементах рамы отсутствуют изгибающиемоменты и поперечные силы, а продольные силы возникают только в ригелях ивычисляются непосредственно из условий равновесия узлов 3 и 5, или, что тоже самое, 4 и 6:109∑F= 0 : F1 2 − N 34 = 0; N 34 = F1 2 = 5кН .∑F= 0 : F2 2 − N 56 = 0; N 56 = F2 2 = 2,5кН .( 3)x( 5)xПри действии обратносимметричных сил F1 2 и F2 2 (рис.46,г) в разрезах,сделанных по оси симметрии рамы, возникают обратносимметричныенеизвестные поперечные силы Х1, Х2, а продольные силы и изгибающиемоментыобращаютсявнолькаксимметричныеусилияприобратносимметричной нагрузке.Таким образом, для расчета рамы нужно составить только дваканонических уравнения метода сил:⎧δ11 X 1 + δ12 X 2 + ∆ 1F = 0;⎨⎩δ. 21 X 1 + δ 22 X 2 + ∆ 2 F = 0.Единичные и грузовая эпюра изгибающих моментов показаны нарис.46,д,е,ж.Вычислимкоэффициентыканоническихуравненийпутемперемножения соответствующих эпюр по правилу Верещагина:δ11 =2 ⎛12⎞ 45;⎜ ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 ⋅ 3⎟ =E 2I ⎝ 23⎠ EIδ 12 = δ 21 =δ 22362⋅3⋅ 4⋅3 =;E 2IEI2 ⎛12177⎞ 2;⋅3⋅ 4⋅3 =⎜ ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ + 3 ⋅ 4 ⋅ 3⎟ +3E 2I ⎝ 2EI⎠ EI∆1F =2 10 + 40300⋅⋅4⋅3 =;E 2IEI2Единичные и грузовая эпюра изгибающих моментов показаны нарис.46,д,е,ж.110Рис.
45Вычислим коэффициенты канонических уравнений путем перемножениясоответствующих эпюр по правилу Верещагина:δ11 =2 ⎛12⎞ 45;⎜ ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 ⋅ 3⎟ =3E 2I ⎝ 2⎠ EIδ 12 = δ 21 =δ 22236⋅3⋅ 4⋅3 =;E 2IEI2 ⎛12177⎞ 2;⋅3⋅ 4⋅3 =⎜ ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ + 3 ⋅ 4 ⋅ 3⎟ +3E 2I ⎝ 2EI⎠ EI∆1F =2 10 + 40300⋅⋅4⋅3 =;2E 2IEI∆2F =2 10 + 402 1420⋅⋅4⋅3+⋅ ⋅ 10 ⋅ 4 ⋅ 3 =.2E 2IEI 2EI111Дляпроверкивычисленныхперемещенийиспользуемсуммарнуюединичную эпюру изгибающих моментов М S (рис.46,з).2234⎛1⎞ 2;⋅3⋅ 4⋅3 =⎜ ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ ⋅ 3 ⋅ 2 + 6 ⋅ 4 ⋅ 6⎟ +3EI⎝2⎠ EIδ SS = ∑ ∫2М S ds=EIE 2I∆ SF = ∑ ∫М SMF2 40 + 102 1720=⋅⋅4⋅6+⋅ ⋅ 10 ⋅ 4 ⋅ 3 =.2EIEIEI 2EISSПроверка:1(45 + 2 ⋅ 36 + 117 ) = 234 = δ SS ;EIEI1720(300 + 420) === ∆ SF .EIEI1) δ 11 + 2δ 12 + δ 22 =2) ∆1F + ∆ 2 FПосле подстановки найденных значений коэффициентов при неизвестныхи свободных членов в канонические уравнения и умножения последних на EIполучим:⎧45X1 + 36X 2 + 300 = 0;⎨⎩36X1 + 144X 2 + 420 = 0,отсюда:X 1 = −5,04кН ;Х 2 = −2,04кН .Таким образом, в результате раскрытия статической неопределимостиисходная, шесть раз статически неопределимая система приведена к статическиопределимой системе (рис.46,и), загруженной внешней нагрузкой F1 и F2,продольными усилиями N34 и N56, а также вычисленными реакциями X1 и X2.Эпюры продольных, поперечных сил и изгибающих моментов длязаданной рамы показаны на рис.46,к,л,м.Для выполнения универсальной кинематической проверки эпюры Мхиспользуем суммарную единичную эпюру М S :∆S = ∑ ∫S+М SMX2 ⎡ 1212ds =− ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ ⋅ 6,12 − ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ ⋅ 15,12 +⎢EIE 2I ⎣ 2323⎤4(2 ⋅ 6 ⋅ 18,76 − 2 ⋅ 6 ⋅ 11,24 − 6 ⋅ 11,24 + 6 ⋅ 18,76) ⎥ = − 0,36 ≈ 0,EI3⎦112следовательно, задача решена правильно.Пример 23.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
