МУ - Методы построения эпюр в статически определимых и неопределимых системах (1238993), страница 16
Текст из файла (страница 16)
57139Из рис.57,а-г следует:r31 = r13 = −r32 = r23 =r33 =6i13EI=−;h186i1 3i 3 7EI−=;h1 h 22412i1 12i1 3i3 7EI+ 2 + 2 =;h12h1h218R 3F = 0.Проверку вычисленных коэффициентов и свободных членов можноосуществить способом перемножения эпюр. Для выполнения универсальнойпроверки построим суммарную единичную эпюру изгибающих моментов M S ,представляющую собой сумму единичных эпюр M 1 , M 2 , M 3 (рис.58,а) иперемножим ее саму на себя:222⎛⎛MS1 ⎧⎪ 4 ⎡ ⎛6i1 ⎞6i1 ⎞6i1 ⎞⎛6i1 ⎞⎤⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎢−+−−−−rSS = ∑ ∫ds =24i22i24i2i⎨⎜ 1 h ⎟⎜ 1 h ⎟⎜ 1 h ⎟⎜ 1 h ⎟⎟⎥ +EIEI6⎢1 ⎠1 ⎠1 ⎠⎝1 ⎠⎥⎝⎝S⎪⎩ ⎣ ⎝⎦22⎞⎛ 6i1⎞⎛ 6i⎞⎛ 6i⎞⎤124 ⎡ ⎛ 6i1+ 2 ⋅ ⋅ 6i 2 ⋅ 4 ⋅ ⋅ 6i 2 + ⎢2⎜⎜+ 2i ⎟⎟ + 2⎜⎜+ 4i1 ⎟⎟ − 2⎜⎜ 1 + 2i1 ⎟⎟⎜⎜ 1 + 4i1 ⎟⎟⎥ +236 ⎢ ⎝ h1⎠⎝ h1⎠⎝ h1⎠⎝ h1⎠⎥⎦⎣1⎛3i ⎞2⎛3i ⎞ 12⎫ 85EI+ ⎜⎜ 3i3 − 3 ⎟⎟ ⋅ 6 ⋅ ⎜⎜ 3i3 − 3 ⎟⎟ + ⋅ 3i3 ⋅ 6 ⋅ ⋅ 3i3 ⎬ =.2⎝h2 ⎠3⎝h2 ⎠ 2318⎭Сумма коэффициентов при неизвестных составляет:⎡3 5 7⎛ 1 3 7 ⎞⎤ 85EIr11 + r22 + r33 + 2(r12 + r13 + r23 ) = EI ⎢ + + + 2⎜ − + ⎟⎥ == rSS , т.е.18⎝ 4 8 24 ⎠⎦⎣ 2 2 18коэффициенты вычислены правильно.Для проверки свободных членов канонических уравнений необходимопостроитьэпюруизгибающихмоментовM F0отвнешнейнагрузки,приложенной в любой статически определимой системе, образованной иззаданной рамы, и перемножить ее с эпюрой M S :R SFM 0F M S= −∑ ∫ds.EIS140Два возможных варианта эпюрыM F0представлены на рис.58,б,в(возможны и другие варианты статически определимых рам, образованных иззаданной, и, соответственно, другие варианты эпюры M F0 ).
Легко убедиться,что результат перемножения любой из этих эпюр на эпюру M S равен нулю, чтотакже подтверждает правильность вычислений, так как в рассматриваемомпримереR 1F + R 2 F + R 3F = −160 160++ 0 = 0.33Подставляя найденные значения коэффициентов и свободных членов висходную систему канонических уравнений, получим:313160z1 + z 2 − z 3 =;2483EI160157;z1 + z 2 + z 3 = −42243EI377− z1 + z 2 + z 3 = 0.82418(4.17)Решение системы (4.17) дает следующие значения неизвестных:65,4⎧⎪z 1 = EI ;⎪38,4⎪;⎨z 2 = −EI⎪91,8⎪z=.3⎪EI⎩Единичные эпюры моментов (рис.55,в-д) теперь можно "исправить", т.е.умножить на соответствующие значения неизвестных.
При этом вторая эпюраM 2 поменяет знаки, так как z2<0. Окончательную эпюру изгибающих моментовМ (рис.58,г) построим согласно выражению:(4.18)M = M1z1 + M 2 z 2 + M 3z 3 + M F .141Рис. 58Выполним статическую проверку. Для этого вырежем узлы 4 и 5, а такжесреднюю часть рамы (рис.59,а-в) и убедимся в выполнении условийравновесия.Как уже говорилось, статическая проверка является достаточнымкритерием правильности выполненного расчета. Тем не менее, выполнимдополнительно кинематическую проверку. Для этого построим суммарнуюединичную эпюру M S в основной системе метода сил (рис.59,г).
Читателюпредоставляется возможность самостоятельно убедиться в том, что результатумножения этой эпюры на окончательную эпюру моментов М (рис.58,г) равеннулю.В заключение отметим, что степень статической неопределимостирассмотренной рамы равна пяти, а это означает, что трудоемкость расчета142данной системы методом сил значительно выше, чем при использованииметода перемещений.Рис. 59Пример 25. Для рамы с наклонными стойками (рис.60,а) построить эпюрыM, Q, N при условии, что жесткость ригеля (2-3) в два раза больше чемжесткость наклонных стоек 1-2 и 3-4.Определяем степень кинематической неопределимости рамы:n = n y + n л = 1 + 1 = 2.Основную систему образуем путем введения защемления в узле 2 игоризонтального опорного стержня в узле 3 (рис.60,б).Для определения неизвестных перемещений z1 и z2 по направлениямвведенныхсвязейзапишемсистемуканоническихперемещений:143уравненийметода⎧r11 z 1 + r12 z 2 + R 1F = 0;⎨⎩r21 z 1 + r22 z 2 + R 2 F = 0.(4.19)Используя вспомогательную таблицу метода перемещений, построимэпюры изгибающих моментов от единичного угла поворота Z 1 = 1 и от внешнейнагрузки (рис.60,в,г).Отметим, что узловая нагрузка F1 не вызывает изгибающих моментов восновнойсистеме.Дляпостроенияэпюрымоментовотединичногогоризонтального перемещения Z 2 = 1 второй связи необходимо знать, какперемещаются в этом случае концы стержней рамы.
Перемещение узла 3происходит по направлению, перпендикулярномулинии 3-4 (искомоеперемещение Z 2 является горизонтальной проекцией полного смещения узла 3,а узла 2 – по направлению, перпендикулярному линии 1-2. В результате этогопроисходит относительное перемещение узлов 2 и 3 по вертикали.Рис. 60144Для определения указанных перемещений построим для шарнирнойсхемы, образованной из заданной рамы (рис.61,а),полярный план перемещений(рис.61,б).
Из этого плана определим взаимное перемещение концов стержней:1= 1,155;cos 30= 2tg 30 = 1,155.∆ 12 = ∆ 34 =∆ 23Так как введенное защемление препятствует повороту узла 2, то отнайденных взаимных смещений произойдет изгиб стержней (рис.61,в). Эпюрамоментов М 2 может быть теперь построена с помощью вспомогательнойтаблицы метода перемещений (рис.61,г).Рис. 61145Коэффициенты r11, r12 и свободный член R1F определим из условияравновесия узла 2:r11 = 0,667 EI + 1,5 EI = 2,167 EI ;r12 = 0,433EI − 0,192 EI = 0,241EI ;R1F = −60 кН ⋅ мДля определения коэффициента r22 , представляющего собой реакцию вовведенном стержне от единичного смещения Z 2 = 1 , рассмотрим условияравновесия ригеля, отсеченного от стоек.
Для этого необходимо определитьпоперечные и продольные силы, соответствующие эпюре М 2 , вырезав из рамысначала узел 2, а затем узел 3. Так, условия равновесия узла 2 (рис.62,а) дают:∑ Y = 0 : (0,108 + 0,064 sin 30 )EI − N21cos 30 = 0,откуда N 21 = 0,162 EI .∑ X = 0 : (0,162 sin 30)+ 0,064 cos 30 EI − N 23 = 0,откуда N 23 = 0,136 EI .Условия равновесия узла 3 (рис.62,б) позволяют получить:∑ Y = 0 : (− 0,108 − 0,016 sin 30 )EI − N34cos 30 = 0,N 34 = −0,134 EI .∑ X = 0 : (0,136 + 0,016 cos 30)+ 0,134 sin 30 EI − r22 = 0,r22 = 0,217 EI .Аналогично можно определить и свободный член R2 F по эпюре M F ,вырезая узлы 2 и 3 (рис.62,в,г):R2 F = −37,32 кН146Рис.
62Использование статического способа для вычисления коэффициентов R2 Fи M F для рамы с наклонными стойками приводит, как можно было убедитьсяиз рассматриваемого примера, к усложнению расчетов. Поэтому в подобныхслучаях целесообразно использовать способ перемножения эпюр:20,433 ⋅ 4 21M2⎛ 0,192 ⋅ 3 2r22 = ∑ ∫ds = ⎜⋅ ⋅ 0,192 ⋅ 2 +⋅ ⋅ 0,433 ⋅ +23232EI⎝S+0,096 ⋅ 6 2⎞⋅ ⋅ 0,096 ⎟ EI = 0,217 EI .23⎠Для определения свободного члена R2 F способом перемножения эпюрнужно построить эпюру моментов от внешней нагрузки в статическиопределимой системе, образованной из заданной рамы (рис.63,а):R2 F = − ∑ ∫SM F0 M 2ds = −(2 ⋅ 503,92 − 2 ⋅ 160 + 160 − 503,92 ) ⋅ 0,192 +EI2 1+ (2 ⋅ 0,433 + 0,216) ⋅ 160 ⋅ ⋅ = −37,32 kH6 2После подстановки вычисленных коэффициентов в уравнения (4.19)получим:14760⎧2,167Z+0,241Z−= 0;12⎪⎪EI⎨⎪0,241Z + 0,217 Z − 37,32 = 0,12⎪⎩EIоткуда:9,768⎧⎪⎪Z1 = EI ;⎨⎪Z = 161,132 .⎪⎩ 2EIОкончательную эпюру моментов (рис.63,б) строим по формуле:M = M 1 Z1 + M 2 Z 2 + M F .Соответствующие ей эпюры поперечных и продольных сил показаны нарис.63,в,г.Рис.
63148Читателю предлагается самостоятельно убедиться в том, что дляокончательных эпюр выполняются статические проверки: в узле 2 изгибающиемоменты уравновешены; а силы, действующие на верхнюю отсеченную частьрамы, удовлетворяют условиям равновесия∑Х =0и∑ Y = 0.Пример 26. Используя упрощения, связанные с симметрией заданнойрамы (рис.64,а), построить эпюру изгибающих моментов, при условии, чтожесткости всех стержней одинаковы и равны EI.Степень кинематической неопределимости рамы:n = ny + nл = 2 + 1 = 3При выборе основной системы метода перемещений (рис.64,б) используемусловия симметрии. Сгруппируем неизвестные углы поворота, т.е. уголповорота узла 2 представим в виде суммы двух углов поворота Z1 и Z 2 , аповорот узла 2′ , симметричного узлу 2, - в виде разности углов Z1 и Z 2 .Горизонтальное перемещение ригеля Z 3 является обратносимметричнымнеизвестным, так как узел 2′ при этом смещается от оси симетрии рамы, асимметричный ему узел 2 – к оси симметрии.Для определения групповых неизвестных Z1 , Z 2 и Z 3 запишем системутрех канонических уравнений метода перемещений:⎧r11 Z1 + r12 Z 2 + r13 Z 3 + R 1F = 0;⎪⎨r21 Z1 + r22 Z 2 + r23 Z 3 + R 2 F = 0;⎪r Z + r Z + r Z + R = 0.33 33F⎩ 31 1 32 2(4.20)Как видно, форма канонических уравнений при группировке неизвестныхостается прежней.
Но здесь все эпюры от единичных неизвестных (рис. 64, в-д)будут только симметричными или обратносимметричными, а каноническиеуравнения распадутся на две независимые системы, содержащие толькосимметричные или только обратносимметричные групповые неизвестные. Приэтом неизвестные перемещения узлов, расположенных на оси симметрии,149всегда обладают симметрией или обратной симметрией и поэтому негруппируются.Рис. 64Значения единичных коэффициентов и свободных членов в уравнениях(4.20) приобретают несколько иной смысл, чем ранее. Здесь rij и RiF обобщенные реакции, соответствующие обобщенному перемещению Z i отпарного смещения Z j и от внешней нагрузки.
Эти обобщенные реакцииопределяются как алгебраические суммы простых реакций в связях, которые150одновременносмещаютсяпригрупповомпарномперемещенииZk .Положительные направления простых реакций принимаются, как и ранее,совпадающими с задаваемыми направлениями перемещений тех связей, вкоторых они определяются.При использовании статического способа для коэффициентов и свободныхчленов канонических уравнений (4.20) получим:r11 = r11л + r11n = 7i + 7i = 14i;r12 = r12л + r12n = 7i − 7i = 0;r13 = r13л + r13n = −6i−6i=12i;r22 = r22л + r22n = 7i + 7i = 14i;r23 = r23л + r23n = −r33 =27i26i+6i= 0;;R 1F = R 2 F = R 1лF + R 1nF = −q 2q 2+0=−;88R 3F = 0,где индексами "л" и "n" обозначены соответственно левая (узел 2) и правая(узел 2′ ) дополнительные заделки, в которых определяются обычные реакции(реактивные моменты).
Реакции в дополнительном стержне ( r33 и R3 F )определены из условия равновесияВследствиеравенства(∑ X = 0) отсеченного ригеля рамы.нулючетырехкоэффициентовсистемаканонических уравнений (4.20) распадается на две системы, а точнее – насистемууравнений относительно неизвестных Z1 и Z3 и уравнениеотносительно Z2:⎧q 212iZ3 =;⎪⎪14iZ1 −8⎨⎪− 12i Z + 27i Z = 0;132⎪⎩15114iZ 2 =q 2.8В результате решения получим следующее значения неизвестных:3 q 2iZ1 =⋅;208 iq 2Z2 =;112iq 2Z3 =.156iВ этом примере обозначено:i=EI.Окончательная эпюра моментов (рис.65) имеет вид:Рис. 65152ЛИТЕРАТУРА:1. Дарков А.В., Шапашников Н.Н.
Строительная механика: Учеб. длястроит. спец. вузов. – 8-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1986. – 607с.:ил.2.Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики(статика стержневых систем): Учеб. особие для студентов вузов /Г.К. Клейн,Н.Н. Леонтьев, М. Г. Ванюшенков и др.; Под ред. Г.Г. Клейна. 4-е изд., перераб.и доп. – М.: Высшая школа /1980. – 384с.: ил.3.Справочникпосопротивлениюматериалов/ПисаренкоГ.С.,Яковлев А.П., Матвеев В.В.; Отв. ред.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
