МУ - Методы построения эпюр в статически определимых и неопределимых системах (1238993), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Вычисленное реактивное усилие считается положительным,если его направление совпадает с направлением (соответственно, угловым илилинейным) перемещения связи.Способ интегрирования эпюр целесообразно применять при расчете рам снаклонными элементами. По этому способу коэффициенты при неизвестныхопределяют путем интегрирования (перемножения по правилу Верещагина)соответствующих единичных эпюр:Mi M jds.EISrij = ∑ ∫(4.10)Свободные члены канонических уравнений вычисляются в виде:M 0F M iR iF = −∑ ∫ds,EIS(4.11)где M F0 - эпюра моментов от нагрузки, построенная в любой статическиопределимой системе, образованной из заданной.4.6 ПРОВЕРКИ МЕТОДА ПЕРЕМЕЩЕНИЙТак же как и в методе сил, в методе перемещений можно выполнятьстатическую и кинематическую проверки. Но поскольку основная системаметода перемещений кинематически определима, то кинематическая проверкаявляется вспомогательной и выполняется всегда при правильных эпюрах132изгибающих моментов в основной системе и при выполненной статическойпроверке.Основной проверкой в методе перемещений является проверка равновесияузлов и других частей рамы.
Количество проверяемых условий равновесиядолжно быть не меньше числа неизвестных метода перемещений.Проверка правильности вычисления коэффициентов при неизвестныхсистемыканоническихуравненийметодаперемещенийвыполняетсяаналогично проверке коэффициентов уравнений при расчете статическинеопределимых систем методом сил. Для этого строится суммарная единичнаяэпюра моментов M S .Умножая эту эпюру последовательно на каждую из единичных эпюр,получимсуммукоэффициентовпринеизвестныхвсоответствующемуравнении; так, умножая эпюру M S на эпюру M 1 , получим:()M1 M SM1 M1 + M 2 + … + M nds = ∑ ∫ds =EIEISSr1S = ∑ ∫2M1 M nM1 M 2M1= ∑∫ds =ds + … + ∑ ∫ds + ∑ ∫EIEIEISSSn= r11 + r12 + … + r1n = ∑ r1i .i =1nАналогично, r2 S = ∑ r2i и т.д.i =1Сумма коэффициентов при неизвестных i-го уравнения должна равнятьсязначению ris, гдеMi Msds.EISris = ∑ ∫Такимобразом,проверкавычисленных(4.12)значенийкоэффициентов,входящих в первое каноническое уравнение метода перемещений, состоит впроверке условия:n∑ri =11i= r1S .133(4.13)Аналогично проверяются и коэффициенты всех остальных уравнений.
Каки в методе сил, такая проверка называется построчной.Чаще используется универсальная проверка, которая состоит в том, чторезультат умножения эпюры M S на саму себя должен равняться сумме всехкоэффициентовпринеизвестныхсистемыканоническихуравнений.Действительно,(2)2MsM1 + M 2 + … + M nrss = ∑ ∫ds = ∑ ∫ds =EIEISS22⎛⎞M1MnM1 M 2M2 Mn= ∑∫ds + … + ∑ ∫ds + 2⎜⎜ ∑ ∫ds + … + ∑ ∫ds + …⎟⎟ =EIEIEISSS⎝ S EI⎠(4.14)n= r11 + r22 + … + rnn + 2(r12 + … + r2n + …) = ∑ rij .i , j=1Для проверки свободных членов канонических уравнений необходимосуммарную единичную эпюру моментов M S умножить на эпюру M 0F ,построенную от внешней нагрузки в статически определимой системе,полученной из заданной системы или основной системы метода перемещенийустранением лишних связей, в том числе обязательно тех связей, реакции вкоторых определяются:R SFM SM 0F= −∑ ∫ds.EIS(4.15)Результат перемножения (4.15) должен равняться сумме всех свободныхчленов канонических уравнений:RSF(M + M + …+ M )M ds = −∑ M M ds − ∑ M M ds −= −∑∫∫ EI∫ EIEI12n0F1S0FS0FMn M− …− ∑∫ds = R1F + R 2F + … + R nF.EIS2S0F(4.16)Достаточной проверкой правильности окончательной эпюры моментовявляются, как уже отмечалось, статические проверки, суть которых будетподробно рассмотрена ниже на конкретных примерах.134Можно также выполнить дополнительную кинематическую проверкуподобно тому, как это делается в методе сил.
Для этого необходимо построитьединичные эпюры в основной системе метода сил и перемножить их илисуммарную единичную эпюру с окончательной эпюрой изгибающих моментов.При правильном расчете результат такого перемножения должен быть равеннулю. Эта проверка служит контролем правильности принятых для расчетаединичных эпюр и грузовой эпюры изгибающих моментов.4.7 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ ПРИ РАСЧЕТЕ РАМ МЕТОДОМПЕРЕМЕЩЕНИЙПри расчете симметричных систем методом перемещений, так же как ипри расчете методом сил, можно применить группировку неизвестных.
В этомслучаевсеединичныеэпюрыбудуттолькосимметричнымиилиобратносимметричными. В результате такой группировки каноническиеуравнения распадаются на две независимые системы, в одну из которых войдуттолько симметричные, а в другую – обратносимметричные неизвестные.Расчет еще более упрощается, если разложить внешнюю нагрузку насимметричную и обратносимметричную.Другой подход состоит в том, что иногда в симметричных конструкцияхвместо использования группировки неизвестных дважды рассчитываютполовину конструкции. Первый раз симметричной составляющей нагрузкизагружают "полуконструкцию", полученную из заданной путем удаления наоси симметрии таких связей, в которых возникают обратносимметричныевнутренние силы (обозначим это состояние через С). Второй расчет делается надействие обратносимметричной составляющей внешней нагрузки на такую"полуконструкцию", в которой удалены симметричные связи на оси симметрии(состояние ОС).
После этого окончательное состояние одной половиныконструкции получают как сумму состояний С + ОС, а другой – как разностьсостояний С – ОС, найденных в результате двух указанных расчетов.1354.8 ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВПример 24. Для рамы (рис.55,а) построить эпюру изгибающих моментов ивыполнить все необходимые проверки расчета при условии, что жесткости всехэлементов рамы одинаковы и равны EI.Рис.
55Определим число основных неизвестных – степень кинематическойнеопределимости рамы. Так как число неизвестных угловых перемещенийравно числу жестких узлов рамы, то ny=2. Число независимых линейныхсмещений nл=1. Действительно, узлы рамы 4 и 5 не могут перемещаться повертикали из-за опорных закреплений 1 и 2 и принятой гипотезы онерастяжимости стержней и неизменности их длинны при изгибе. Для них136возможно только горизонтальное перемещение, которое будет одинаковым дляузлов 4, 5 и 3 вследствие того, что они связаны между собой стержнями 4-5 и 53. Таким образом, степень кинематической неопределимости рамы:n = n y + n л = 2 + 1 = 3.Образуем основную систему, введя связи, препятствующие угловым илинейному(произвольно)смещениям,трехиобозначимнеизвестныхпредполагаемыеперемещений(рис.55,б).направленияИспользуяприведенную выше вспомогательную таблицу метода перемещений, построимэпюры изгибающих моментов M 1 , M 2 , M 3 от единичных перемещенийвведенных связей по заданным направлениям и эпюру M F от действия нагрузкина основную систему (рис.55,в-е).
Для удобства на этих рисунках использованыследующие обозначения:i1 =EI EI= ;h14EI EIEI EI= ; i3 == .h26L18i2 =При построении всех указанных эпюр нужно четко представлять себеперемещениеосикаждогостержня,вызванноезаданнымединичнымсмещением; это позволит установить положение сжатых волокон элементоврамы и правильно изобразить эпюры моментов.Система канонических уравнений имеет вид:⎧r11 Z1 + r12 Z 2 + r13 Z 3 + R 1F = 0;⎪⎨r21 Z1 + r22 Z 2 + r23 Z 3 + R 2 F = 0;⎪r Z + r Z + r Z + R = 0.33 33F⎩ 31 1 32 2Для определения коэффициентов и свободных членов этих уравнений,которые представляют собой реактивные усилия в наложенных связях,применим статический способ.
Для этого вырежем сначала узел 4 и рассмотримусловия его равновесия в случаях, представленных на рис.55,в-е, т.е. определимкоэффициенты первой строки канонических уравнений.137На рис.56,а-г показан узел 4 с действующими на него моментами состороны отброшенных частей рамы и реактивными моментами в защемлении(первой связи). Из условий равновесия этого узла получим:r11 = 4i1 + 4i 2 = EI +EI 3EI=;22EI;46i3EIr13 = − 1 =;h18r12 = 2i 2 =R 1F = −q 1210 ⋅ 82160=−=−kH ⋅ м.12123Отрицательный знак в двух последних случаях объясняется тем, чтонаправления реактивных моментов r13 и R1F противоположны заданномунаправлению угла поворота Z1 первой связи.Аналогично определим коэффициенты второго канонического уравнения.Для этого вырежем из рамы узел 5 и рассмотрим условия его равновесия притех же четырех воздействиях на основную систему (рис.55,в-е).Рис.
56138Из рис.56,д-з следует:r21 = r12 =EI;4r22 = 4i1 + 4i 2 + 3i3 + 3i 3 = EI +r23 =EI EI EI 5EI++=;22226i1 3i3 7 EI−=;h1 h 224R 2F =q 12 160=кН ⋅ м.123Для определения коэффициентов третьего уравнения, представляющихсобой реакции во введенном стержне (третьей связи), рассечем стойки рамы ирассмотрим условия равновесия ее средней части, содержащей введенныйстержень (рис.57,а-г). При этом под условием равновесия будем пониматьравенство нулю суммы проекций всех сил, приложенных к выделенной частирамы, на горизонтальную ось:∑ Х = 0.Отличные от нуля проекции дадутискомые реакции во введенном стержне и поперечные силы, приложенные вместах рассечения стоек и определяемые по эпюрам M 1 , M 2 , M 3 , MF.Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
