МУ - Методы построения эпюр в статически определимых и неопределимых системах (1238993), страница 10
Текст из файла (страница 10)
∆ ik - этоперемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией k-ой связи; ∆ iF перемещение по направлению i-ой связи, вызванное одновременным действиемвсей внешней нагрузки.В методе сил реакцию k-ой связи принято обозначать через Xk. С учетомэтого обозначения и в силу справедливости закона Гука перемещения ∆ ikможно представить в виде:∆ ik = δ ik x k ,(3.2)где δ ik - единичное (или удельное) перемещение по направлению i-ой связи,вызванное реакцией X k = 1, т.е. реакцией, совпадающей по направлению с Xk,но равной единице.Подставляя (3.2) в (3.1), получим:∆ i = δ i1 X 1 + δ i 2 X 2 + … + δ in X n + ∆ iF = 0.(3.3)Физический смысл уравнения (3.3): перемещение в основной системе понаправлению i-ой отброшенной связи равно нулю.Записывая выражения, аналогичные (3.3), для всей совокупностиотброшенных связей, получим систему канонических уравнений метода сил:⎧δ11 X 1 + δ12 X 2 + … + δ 1n X n + ∆ 1F = 0;⎪δ X + δ X + … + δ X + ∆ = 0;⎪ 21 12222nn2F⎨⎪.........................................................⎪⎩δ n1 X 1 + δ n 2 X 2 + … + δ nn X n + ∆ nF = 0.(3.4)Вид уравнения (3.4), т.е.
количество слагаемых в каждом из них и ихобщее число, определяется только степенью статической неопределимостисистемы и не зависит от ее конкретных особенностей.79Коэффициенты системы канонических уравнений (3.4) определяютсяметодом Мора-Верещагина путем перемножения соответствующих эпюр. Всеэти коэффициенты, как указывалось выше, представляют собой перемещения;коэффициенты, стоящие при неизвестных – единичные перемещения, асвободные члены – грузовые. Единичные перемещения делятся на главные,расположенные по главной диагонали и имеющие одинаковые индексы ( δ ii ), ипобочные ( δ ik , i ≠ k ).
Главные перемещения всегда положительные, в отличие отпобочных. Симметрично расположенные перемещения в соответствии стеоремой о взаимности перемещений равны друг другу, т.е. δ ik = δ ki .3.3 АЛГОРИТМ РАСЧЕТА МЕТОДОМ СИЛНезависимо от особенностей рассматриваемой конструкции, можновыделить следующую последовательность расчета статически неопределимыхсистем методом сил:1. Определить степень статической неопределимости.2.
Выбрать основную систему.3. Сформировать эквивалентную систему.4. Записать систему канонических уравнений.5. Построить единичные и грузовые эпюры внутренних силовых факторов,возникающих в элементах рассматриваемой конструкции.6. Вычислить коэффициенты при неизвестных и свободные члены системыканонических уравнений.7. Построить суммарную единичную эпюру.8. Выполнить универсальную проверку коэффициентов при неизвестных исвободных членов.9.
Решить систему (3.4), т.е. определить реакции лишних связей.10. Построить эпюры возникающих внутренних силовых факторов для заданнойсистемы (иначе говоря, окончательные эпюры).11. Выполнить статическую и кинематическую проверки.80Отметим, что пункты 7, 8, 11 приведенного алгоритма не являютсябезусловно необходимыми, хотя и позволяют контролировать правильностьвыполнения расчета. А для систем с одной лишней связью пункты 7 и 8 простолишены смысла, так как в этом случае суммарная единичная эпюра совпадает сединичной.Остановимся подробнее на некоторых из вышеперечисленных этаповрасчета.3.4 ВЫБОР ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫЭто важнейший этап расчета, так как рациональный выбор основнойсистемысущественноупрощаетвычислительнуюработу.Рассмотримвозможные способы удаления лишних связей, что и определяет вид основнойсистемы.1.
Отбрасывание лишних связей осуществляется полным удалением некоторыхопор или их заменой опорами с меньшим числом связей. Реакции,действующие в направлениях отброшенных связей, являются лишниминеизвестными. На рис.34,б, в, г показаны различные варианты эквивалентнойсистемы, полученные этим способом для рамы (рис.34,а).2.Постановка шарниров в промежуточных сечениях стержней позволяет вкаждом таком сечении установить связь, соответствующую изгибающемумоменту. Эти моменты являются лишними неизвестными. Для рамы, имеющейстепень статической неопределимости n=3 (рис.35,а), при выборе основнойсистемы необходимо поставить три шарнира. Положение этих шарниров можетбыть произвольным, но удовлетворяющим требованию геометрическойнеизменяемости системы (рис.35,б).3.
Рассечение стержня устраняет три связи, соответствующие внутреннимусилиям M, Q, N (рис.35,в). В частных случаях (рис.35,г) рассечение стержняпо шарниру освобождает две связи (рис.35,д), а рассечение прямолинейногостержня с шарнирами по концам – одну связь (рис.35,е).81Рис. 34Среди связей статически неопределимой системы различают абсолютнонеобходимые и условно необходимые. К абсолютно необходимым относятсясвязи, при удалении которых система становится геометрически изменяемой.Для абсолютно необходимой связи характерна статическая определимостьусилия в ней, т.е.
реакция такой связи может быть вычислена из условияравновесия. При выборе основной системы абсолютно необходимые связиотбрасывать нельзя.82Рис. 35Связи,приудалениикоторыхсистемапродолжаетоставатьсягеометрически неизменяемой, называются условно необходимыми. Система, укоторой удалили такую связь, может являться основной системой метода сил.3.5 ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ И СВОБОДНЫХ ЧЛЕНОВКАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙЭтому этапу расчета предшествует построение единичных и грузовыхэпюр внутренних силовых факторов (для балок и рам – эпюр изгибающихмоментов). Единичные эпюры строятся от действия безразмерной единичнойсилы или безразмерного единичного момента, совпадающих по направлению с83направлением соответствующей лишней неизвестной в эквивалентной системе,и обозначаются через Х i , а единичная эпюра – через М i .Грузовая эпюра строится от внешней нагрузки, приложенной к основнойсистеме. При этом можно строить одну эпюру от одновременного действиявсех внешних нагрузок или несколько эпюр, отдельно от каждой изприложенных нагрузок.
Такое разбиение одной грузовой эпюры на несколькоболее простых, как правило, целесообразно только тогда, когда средидействующих нагрузок есть равномерно распределенная, и эпюра моментов насоответствующем участке под ней является знакопеременной. При этом вкаждом каноническом уравнении число свободных членов будет равно числупостроенных грузовых эпюр.Единичные и грузовые перемещения (коэффициенты и свободные членыканонических уравнений) в общем случае можно вычислить методом Мора.Для балок и рам это можно сделать при помощи правила Верещагина.3.6 УНИВЕРСАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА КОЭФФИЦИЕНТОВ ИСВОБОДНЫХ ЧЛЕНОВ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙДлявыполненияуниверсальнойпроверкинеобходимопостроитьсуммарную единичную эпюру M S - эпюру моментов от одновременногодействия всех единичных сил, приложенных к основной системе:nМ S = М1 +М 2 + … + М n = ∑ М ii =1Перемножим суммарную единичную эпюру с эпюрой М i :∫SМi ⋅ МS1ds = ∫ М i (М 1 + М 2 + … + М n )ds =EIEIS=∫S111М i М 1 ds + ∫ М i М 2 ds + … + ∫ М i М n ds = δ i1 + δ i 2 + … + δ in .EIEIEISSТаким образом результат перемножения суммарной и i-ой единичнойэпюр - это перемещение по направлению i-ой связи от совместного действия84единичныхлишнихнеизвестных.Этоперемещениеравносуммекоэффициентов i-го канонического уравнения:δ is = ∫SnМi МSds = ∑ δ ik .EIi =1Такая проверка называется построчной и выполняется для каждогоканонического уравнения.Вместо n построчных проверок чаще всего выполняется одна –универсальная поверка, которая состоит в перемножении суммарной единичнойэпюры самой на себя и проверке условия:δ ss = ∫SЕслиуниверсальнаяnМs Мsds = ∑EIi =1проверкаn∑δk =1ik.(3.6)выполняется,значитединичныеперемещения вычислены правильно; если нет – необходимо выполнитьпострочные проверки, что позволит уточнить перемещение, при вычислениикоторого допущена ошибка.Длявыполненияперемножитьпроверкисуммарнуюгрузовыхединичнуюиперемещенийгрузовуюэпюрынеобходимоизгибающихмоментов:MF(M 1 + M 2 + … + M n )ds =MSM F∫S EI ds = ∫S EIM1M FM2MFMnMFds + ∫ds + … + ∫ds =EIEIEISSS=∫∆ 1F + ∆ 2 F + … + ∆ nF .Таким образом, проверка свободных членов системы каноническихуравнений (3.4) состоит в выполнении условия:∆ SFnMSM F=∫ds = ∑ ∆ iFEIi =1S85(i=1, 2, …, n).(3.7)3.7 ПОСТРОЕНИЕ ОКОНЧАТЕЛЬНЫХ ЭПЮР ВНУТРЕННИХСИЛОВЫХ ФАКТОРОВОкончательные эпюры можно построить двумя способами.Так как при найденных значениях лишних неизвестных Xi выполняютсяусловия совместности деформаций, то из расчета основной системы можнополучить все искомые внутренние усилия заданной системы.
На основаниипринципа независимости действия сил для изгибающих моментов получим:M = М1 + М 2 + … + М n + M F ,или, учитывая, чтоM1 = М1X1 ; M 2 = М 2 X 2 ,…, M n = М n X n ,приходим к выражению:nM = М1X1 + М 2 X 2 + … + М n X n + M F = ∑ М i X i + M F .(3.8)i =1Аналогично определяется продольные и поперечные силы:nQ = Q1 X 1 + Q 2 X 2 + … + Q n X n + Q F = ∑ Q i X i + Q F ,(3.9)i =1nN = N1X1 + N 2 X 2 + … + N n X n + N F = ∑ N i X i + N F .(3.10)i =1Второй способ основан на том, что в результате вычисления реакцийлишних связей Xi исходная статически неопределимая система приведена кстатически определимой системе, загруженной внешними нагрузками иреакциями лишних связей.
Поэтому окончательные эпюры внутренних силовыхфакторовможнопостроитьдляэквивалентнойсистемы,вычисливпредварительно (и то не всегда) из условий равновесия опорные реакциипоследней.Недостатком первого способа является то обстоятельство, что для егореализации необходимо дополнительно построить эпюры Q i , N i (i=1, 2, …,n),86QF, NF, которые не используются в расчете методом сил и поэтому не былипостроены ранее.В связи с этим для построения окончательных эпюр более рациональнымпредставляется второй способ, а условие (3.8) можно использовать в качестведополнительной проверки.3.8 ПРОВЕРКА ОКОНЧАТЕЛЬНОЙ ЭПЮРЫ ИЗГИБАЮЩИХМОМЕНТОВЭтапроверкавыполняетсявдвухвариантах:статическаяикинематическая.При статической проверке, выполняемой обычно для рам, вырезаютсяузлы и записываются условия их равновесия под действием узловыхсосредоточенных моментов и изгибающих моментов на концах стержней. Этапроверка является вспомогательной и выполняется автоматически приправильных эпюрах изгибающих моментов в основной системе и привыполнении кинематической проверки.Статическая проверка эпюр Q и N состоит в том, что для любойотсеченной части рамы сумма проекций на две оси всех действующих сил –внешних нагрузок и внутренних усилий – должна быть равна нулю.Основной проверкой окончательной эпюры моментов в методе силявляется кинематическая проверка, которая может быть построчнойилиуниверсальной.При построчной проверке каждая единичная эпюра моментов М iперемножается с окончательной эпюрой моментов М:∫SМiMМids = ∫(М 1 X 1 + М 2 X 2 + … + М n X n + M F )ds =EIEIS=∫SМ i М 1X1ММ 2 X 2Мi МnXnМiMFds + ∫ds + … + ∫ds + ∫ds =EIEIEIEISSSδ i1 X 1 + δ i 2 X 2 + … + δ in X n + ∆ iF = 0.87Таким образом, в результате перемножения каждой единичной эпюры сокончательной эпюрой моментов получим ноль:∆i = ∫SМiMds = 0,EIi = 1,2,…, n(3.11)Вариантом построчной проверки является проверка по замкнутомуконтуру, состоящая в том, что сумма приведенных (т.е.
деленных на жесткостьсоответствующего стержня или его участка) площадь эпюры М, находящихсявнутри каждого замкнутого бесшарнирного контура, должна быть равна суммеприведенных площадей, находящихся снаружи этого контура.Суммируя выражения типа (3.11) для всех n, получим выражение,служащее для универсальной кинематической проверки окончательной эпюрыизгибающих моментов:∆S = ∫SМSMds = 0,EI(3.12)т.е. результат перемножения суммарной единичной и окончательной эпюрмоментов должен быть равен нулю.Формулу (3.12) можно интерпретировать следующим образом: условноеперемещение эквивалентной, или, что то же самое, заданной системы понаправлению всех неизвестных от действия всех неизвестных и внешнихнагрузок, равно нулю.3.9 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В СТАТИЧЕСКИНЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХДля определения перемещения в статически неопределимой системеиспользуется тождественность заданной и эквивалентной систем в том смысле,что если условия совместности деформаций выполняются, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
