МУ - Методы построения эпюр в статически определимых и неопределимых системах (1238993), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Результат перемножения в обоих случаях определяется формулой:Mm × Mn =L(ac + 4 fg + bd ),669(2.22)но значение f при этом определяется по-разному (рис. 30, в, г).Рис. 30Возможны случаи, когда ни одна из перемножаемых эпюр не являетсяпрямолинейной, но хотя бы одна из них ограничена ломаными прямымилиниями. Для перемножения таких эпюр их предварительно разбивают научастки, в пределах каждого из которых по крайней мере одна эпюра являетяпрямолинейной.Рассмотримиспользованиеправилапримерах.70ВерещагинанаконкретныхПример 15. Определить прогиб в середине пролета и угол поворота левогоопорного сечения балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой(рис.31,а), способом Верещагина.Последовательность расчета способом Верещагина – такая же, как и вметоде Мора, поэтому рассмотрим три состояния балки: грузовое – придействии распределенной нагрузки q; ему соответствует эпюра Mq (рис.31,б), идва единичных состояния - при действии силы F = 1, приложенной в точке С(эпюра М c , рис.31,в), и момента M = 1 , приложенного в точке В (эпюра М B ,рис.31,г).Прогиб балки в середине пролета:yc =Mq МcEI x5qL41 2 qL2 L 5 1=( ⋅⋅ ⋅ ⋅ )⋅2=.EI x 3 8 2 8 4384EI xАналогичный результат был получен ранее методом Мора (см.
пример13). Следует обратить внимание на тот факт, что перемножение эпюрвыполнялось для половины балки, а затем, в силу симметрии, результатудваивался. Если же площадь всей эпюры Mq умножить на расположенную подее центром тяжести ординату эпюры М c ( L 4 на рис.31,в), то величинаперемещения будет совершенно иной и неправильной так как эпюра М cограничена ломаной линией. На недопустимость такого подхода ужеуказывалось выше.А при вычислении угла поворота сечения в точке В можно площадьэпюры Mq умножить на расположенную под ее центром тяжести ординатуэпюры М B ( 1 2 , рис.31,г), так как эпюра М B ограничена прямой линией:Θ=Mq MBEI x=qL31 2 qL21⋅ ⋅⋅L⋅ =.EI x 3 82 24 EI xЭтот результат также совпадает с результатом, полученным ранее методомМора (см. пример 13).71Рис. 31Пример 16.
Определить горизонтальное и вертикальное перемещенияточки А в раме (рис.32,а).Как и в предыдущем примере, для решения задачи необходиморассмотреть три состояния рамы: грузовое и два единичных. Эпюра моментовMF, соответствующая первому состоянию, представлена на рис.32,б. Длявычисления горизонтального перемещения прикладываем в точке А понаправлению искомого перемещения (т.е. горизонтально) силу F = 1 , а для72вычисления вертикального перемещения силу F = 1 прикладываем вертикально(рис.32,в,д).
Соответствующие эпюры М гор и М верт показаны на рис.32,г,е.Горизонтальное перемещение точки А:∆ гор. =M F М гор=EI x226⎡ 1⎤⎢− 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ ( 3 ⋅ 60 + 40) − 3 ⋅ 80 ⋅ 4 ⋅ 2 − 20 ⋅ 4 ⋅ 2 + 6 (−2 ⋅ 2 ⋅ 20 − 2 ⋅ 4 ⋅ 160 + 20 ⋅ 4 + 2 ⋅ 160)⎥ =⎣⎦1706,67=−.EI x=1EI xПри вычислении ∆ гор на участке АВ трапеция (эпюра MF) разбита натреугольник и прямоугольник, после чего треугольник с эпюры М гор "умножен"на каждую из этих фигур. На участке ВС криволинейная трапеция разделена накриволинейный треугольник и прямоугольник, а для перемножения эпюр научастке СД использована формула (2.21).Знак " - ", полученный при вычислении ∆ гор , означает, что точка Аперемещается по горизонтали не влево (в этом направлении приложена силаF = 1 ), а вправо.Вертикальное перемещение точки А:∆ верт.
=М F М верт=EI x1 ⎡2316⎤⋅ 80 ⋅ 4 ⋅ ⋅ 4 + ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 20 + (2 ⋅ 20 ⋅ 4 − 2 ⋅ 4 ⋅160 + 20 ⋅ 4 − 4 ⋅160)⎥ =⎢EI x ⎣ 3826⎦1200=−.EI x=Здесь знак " - " означает, что точка А перемещается вниз, а не вверх.Отметим, что единичные эпюры моментов, построенные от силы F = 1 ,имеют размерность длины, а единичные эпюры моментов построенные отмомента М = 1 , являются безразмерными.73Рис.3274Пример 17. Определить вертикальное перемещение точки А плоско-пространственной системы (рис.33,а).Рис.23Как известно (см. гл.1), в поперечных сечениях стержней плоскопространственной системы возникают три внутренних силовых фактора:поперечная сила Qy, изгибающий момент Mx и крутящий момент Mкр. Так каквлияниепоперечнойсилынавеличинуперемещениянезначительно(см.
пример 14, рис.27), то при вычислении перемещения методом Мора иВерещагина из шести слагаемых остаются только два.Для решения задачи построим эпюры изгибающих моментов Mx,q икрутящих моментов Мкр,q от внешней нагрузки (рис.33,б), а затем в точке АприложимсилуF =1понаправлению75искомогоперемещения,т.е.вертикального (рис.33,в), и построим единичные эпюры изгибающих моментовМ x и крутящих моментов M кр (рис.33,г). Стрелками на эпюрах крутящихмоментов показаны направления закручивания соответствующих участковплоско-пространственной системы.Вертикальное перемещение точки А:∆ верт =M x ,q М xEI x+M кр,q М крGI кр=3125⎡1(2 ⋅ 9 ⋅ 3 + 2 ⋅ 2 ⋅ 21 − 3 ⋅ 21 − 9 ⋅ 2)⎤⎥ +⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+9332444⎢34236⎣⎦1(9 ⋅ 4 ⋅ 3 + 24 ⋅ 5 ⋅ 4) = 195,75 + 588 .+GI крEI xGI кр=1EI xПри перемножении эпюр крутящих моментов произведение берется сознаком "+", если стрелки, указывающие направление кручения, сонаправленны,и со знаком " - " – в противном случае.ГЛАВА 3ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР В СТАТИЧЕСКИНЕОПРЕДЕЛИМЫХ ИСТЕМАХ.
МЕТОД СИЛ3.1 ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ ИМЕТОДЫ ИХ РАСЧЕТАСтатически неопределимой называется такая система, которая не можетбыть рассчитана при помощи одних только уравнений статики, так как имеетлишние связи. Для расчета таких систем составляются дополнительныеуравнения, учитывающие деформации системы.Оговоримся, что здесь и далее понятие “расчет” подразумевает толькопостроение эпюр внутренних силовых факторов, возникающих в элементахсистемы, а не расчет на прочность, жесткость и т.д.76Статическинеопределимыесистемыобладаютрядомхарактерныхособенностей:1. Статически неопределимые конструкции являются более жесткими, чемсоответствующие статически определимые, так как имеют дополнительныесвязи.2.
В статически неопределимых системах возникают меньшие внутренниеусилия, что определяет их экономичность по сравнению со статическиопределимыми системами при одинаковых внешних нагрузках.3. Нарушение лишних связей в статически неопределимой системе не всегдаприводит к разрушению, в то время как потеря связи в статическиопределимой системе делает ее геометрически изменяемой.4. Для расчета статически неопределимых систем необходимо предварительнозадаватьсягеометрическимихарактеристикамипоперечныхсеченийэлементов, т.е. фактически их формой и размерами, так как их изменениеприводит к изменению усилий в связях и новому распределению усилий вовсех элементах системы.5.
При расчете статически неопределимых систем необходимо заранее выбратьматериал конструкции, так как необходимо знать его модули упругости.6. В статически неопределимых системах температурное воздействие, осадкаопор,неточностиизготовленияимонтажавызываютпоявлениедополнительных усилий.Основными методами расчета статически неопределимых системявляются:1.Метод сил.
Здесь в качестве неизвестных рассматриваются усилия – силы имоменты.2.Метод перемещений. Неизвестными являются деформационные факторы –углы поворотов и линейные смещения.3.Смешанный метод. Здесь часть неизвестных представляет собой усилия, адругая часть – перемещения.774. Комбинированный метод. Используется при расчете симметричных системнанесимметричныенагрузки.Оказывается,чтонасимметричнуюсоставляющую заданной нагрузки систему целесообразно рассчитыватьметодом перемещений, а на обратносимметричную составляющую – методомсил.Помимо указанных аналитичеких методов при расчете особо сложныхсистем используются различные численные методы.3.2 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДА СИЛДля получения дополнительных уравнений, о которых говорилось впредыдущем параграфе, нужно прежде всего превратить заданную, n разстатически неопределимую систему, в статически определимую, удалив из неелишние связи.
Полученная статически определимая система называетсяосновной. Отметим, что преобразование заданной системы в статическиопределимую не является обязательным. Иногда используется модификацияметодасил,вкоторойосновнаясистемаможетбытьстатическинеопределимой, однако изложение этого вопроса выходит за рамки этогопособия. Устранение каких-либо связей не изменяет внутренние усилия идеформации системы, если к ней приложить дополнительные силы и моменты,представляющие собой реакции отброшенных связей.
Значит, если к основнойсистеме приложить заданную нагрузку и реакции удаленных связей, тоосновная и заданная системы станут эквивалентными.В заданной системе по направлениям имеющихся жестких связей, в томчисле и тех связей, которые отброшены при переходе к основной системе,перемещений быть не может, поэтому и в основной системе перемещения понаправлениям отброшенных связей должны равняться нулю. А для этогореакции отброшенных связей должны иметь строго определенные значения.Условие равенства нулю перемещения по направлению любой i-ой связииз n отброшенных на основании принципа независимости действия сил имеетвид:78∆ i = ∆ i1 + ∆ i 2 + … + ∆ in + ∆ iF = 0,(3.1)где первый индекс означает направление перемещения и номер отброшеннойсвязи, а второй указывает на причину, вызвавшую перемещение, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
