МУ - Методы построения эпюр в статически определимых и неопределимых системах (1238993), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Первый индекс обозначает точку и направление перемещения, авторой указывает причину, вызвавшую искомое перемещение. Например, ∆ FFобозначает перемещениеточки приложения силы F по направлению еедействия, вызванное этой же силой.Для обозначения полного перемещения точки, вызванного несколькимиобобщенными силами, при ∆ сохраняется только первый индекс.51Перемещение, вызванное безразмерной единичной силой F = 1 илибезразмерной единичной парой М = 1 , обозначается символом δ и называетсяудельным.2.2 РАБОТА ВНЕШНИХ СИЛ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯОпределим работу силы F, статически приложенной к некоторой упругойсистеме (рис.20, а), материал которой следует закону Гука.Рис.
20При малых деформациях к этой системе применим принцип независимостидействия сил, следовательно, перемещения отдельных точек и сеченийконструкции прямо пропорциональны вызывающей их нагрузке:∆ =α ⋅F ,(2.2)где ∆ - перемещение по направлению силы F; α - некоторый коэффициент,зависящий от материала, схемы и размеров сооружения. Увеличение силы F набесконечно малую величину dF вызовет увеличение перемещения на d∆ .Составим выражение элементарной работы внешней силы на перемещенииd∆ , отбрасывая при этом бесконечно малые величины второго порядка~малости: dA = F ⋅ d∆ .Заменим d∆ , используя (2.2):~dA = F ⋅ d∆ = αFdF .Интегрируя это выражение в пределах полного изменения силы от нуля доееконечногозначения,получимформулудлясовершаемой статически приложенной внешней силой F:52определенияработы,αF 2~A = α ∫ FdF =20Fили, с учетом(2.2):~ F∆A=,2(2.3)то есть работа внешней силы при статическом действии ее на любое упругоесооружение равна половине произведения значения этой силы на величинусоответствующего ей перемещения.Для обобщения полученного вывода под силой понимают любоевоздействие,приложенноекупругойсистеме,тоестьнетолькососредоточенную силу, но и момент или равномерно распределенную нагрузку;под перемещением понимают тот его вид, на котором данная сила производитработу:сосредоточеннойсилесоответствуетлинейноеперемещение,сосредоточенному моменту – угловое, равномерно распределенной нагрузке –площадь эпюры перемещений на участке действия нагрузки.При статическим действии на конструкцию группы внешних сил работаэтих сил равна половине суммы произведений каждой силы на величинусоответствующего ей перемещения, вызванного действием всей группы сил.Например, при действии на балку (рис.20,б) сосредоточенных сил F1, F2 исосредоточенных моментов М1 и М2 работа внешних сил:22~Fi ∆ iMΘ+∑ i iA=∑2i =1 2i =1(2.4)Работу внешних сил на вызванных ими перемещения можно выразить ииначе – через внутренние силовые факторы (изгибающие моменты, продольныеи поперечные силы), возникающие в поперечных сечениях системы.Выделимизпрямолинейногостержнядвумясечениями,перпендикулярными его оси (рис.21, а), бесконечно малый элемент dz.53Стержень состоит из бесконечно большого числа таких элементов.
Ккаждому элементу dz в общем случае плоской задачи приложены продольнаясила Nz, изгибающий момент Мх и поперечная сила Qy.Для выделенного элемента dz усилия N, M, Q являются внешними силами,~поэтому работу A можно получить как сумму работ, совершенных статическивозрастающими усилиями N, M, Q на соответствующих деформацияхэлементов dz.Рассмотрим элемент dz, находящийся только под действием продольныхсил N (рис.21,б).
Если его левое сечение считать неподвижным, то правоесечение под влиянием продольной силы переместится вправо на величину∆z = Ndz EA . На этом перемещении сила N совершит работу:N∆z N Ndz~dA N == ⋅22 EA(2.5)Рис. 21Если неподвижно закрепить левое сечение элемента dz, находящегося поддействием только изгибающих моментов М (рис.22,а), то взаимный уголповорота торцевых сечений элемента будет равен углу поворота ∆ Θ его правогосечения:∆Θ =Mdz.EI54На этом перемещении момент М совершит работу:~ =dAMM∆ Θ M Mdz= ⋅22 EI(2.6)Рис. 22Закрепим левое сечение элемента dz, находящегося под действием толькопоперечных сил Q (рис.22,б,в), а к правому приложим касательные усилия τdA ,равнодействующей которых является поперечная сила Q.
Предположим, чтокасательные напряжения τ равномерно распределены по всей площади Апоперечного сечения, то есть τ = Q A , тогда перемещение ∆ y определяется ввиде:∆ y = γdz =τQdz,dz =GGAа работа силы Q на этом перемещении будет:~ =dAQ1Q QdzQ∆ y = ⋅22 GA(2.7)В действительности касательные напряжения τраспределены поплощади поперечного сечения неравномерно, что учитывается введением в(2.7) поправочного коэффициента η .Суммируя (2.5) – (2.7), получим полное значение работы:NdzMdzQdz~ 1dA = ( N+M+ Qη)2EAEIGA55(2.8)~Интегрируя выражение dA в пределах длины L каждого участка всехстержней и суммируя результаты, получим:LLLM 2 dzN 2 dzQ 2 dz~A = ∑∫+ ∑∫+ ∑∫η2EI2EAGA000(2.9)Из формулы (2.9) следует, что работа внешних сил на вызванных имиперемещениях всегда положительна.~На основании закона сохранения энергии работа A внешних сил переходит~в потенциальную энергию деформации, то есть П = А .2.3 ТЕОРЕМА О ВЗАИМНОСТИ РАБОТРассмотрим два состояния упругой системы, находящейся в равновесии.В каждом из этих состояний на систему действует некоторая статическаянагрузка (рис.23,а).
Обозначим перемещения по направлениям сил F1 и F2через ∆ ij , где индекс “i” показывает направление перемещения, а индекс “j” –вызвавшую его причину.Рис. 23Обозначим работу нагрузки первого состояния (сила F1) на перемещенияхпервого состояния через А11, аработу силыперемещениях – А22:A11 =F1 ∆ 11F∆; A22 = 2 22 .2256F2на вызванных еюИспользуя (2.9), работы А11 и А22 можно выразить через внутренниесиловые факторы:M12dzN12dzQ12dz ⎫A11 = ∑∫+ ∑∫+ ∑∫η,⎪0 2EI0 2EA0 2GA ⎪⎬M22dzN22dzQ22dz ⎪A22 = ∑∫+ ∑∫+ ∑∫η⎪⎭2EI2EA2GA000(2.10)Рассмотрим случай статического нагружения той же системы (рис.23,а) втакой последовательности. Сначала к системе прикладывается статическивозрастающая сила F1 (рис.23,б); когда процесс ее статического нарастаниязакончен, деформация системы и действующие в ней внутренние усилиястановятся такими же, как и первом состоянии (рис.23,а).
Работа силы F1составит:A11 =F1 ∆ 112Затем на систему начинает действовать статически нарастающая сила F2(рис.23,б). В результате этого система получает дополнительные деформации ив ней возникают дополнительные внутренние усилия, такие же, как и во второмсостоянии (рис.23,а). В процессе нарастания силы F2 от нуля до ее конечногозначения сила F1 , оставаясь неизменной, перемещается вниз на величинудополнительного прогиба ∆ 12 и, следовательно, совершает дополнительнуюработу:A12 = F1 ⋅ ∆ 12Сила F2 при этом совершает работу:A22 =F2 ∆ 222Полная работа А при последовательном нагружении системы силами F1, F2равна:57A = A11 + A12 + A 22 =F∆F1∆11+ F1∆12 + 2 2222(2.11)С другой стороны, в соответствии с (2.4) полную работу можноопределить в виде:A=F1 (∆ 11 + ∆ 12 ) F2 (∆ 21 + ∆ 22 )+22(2.12)Приравнивая друг к другу выражения (2.11) и (2.12), получим:F1 ∆ 12 = F2 ∆ 21(2.13)А12=А21(2.14)илиРавенство (2.14) носит название теоремы о взаимности работ, илитеоремы Бетти: работа сил первого состояния на перемещениях по ихнаправлениям, вызванных силами второго состояния, равна работе сил второгосостояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами первогосостояния.Опуская промежуточные выкладки, выразим работу А12 через изгибающиемоменты, продольные и поперечные силы, возникающие в первом и второмсостояниях:A12 = ∑ ∫ M10N dzQ dzM 2dz+ ∑ ∫ N1 2 + ∑ ∫ Q1 2 ηEIEAGA00(2.15)Каждое подинтегральное выражение в правой части этого равенстваможно рассматривать как произведение внутреннего усилия, возникающего всечении стержня от сил первого состояния, на деформацию элемента dz,вызванную силами второго состояния.2.4 ТЕОРЕМА О ВЗАИМНОСТИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙПусть в первом состоянии к системе приложена сила F1 = 1 , а во втором F2 = 1 (рис.24).
Обозначим перемещения, вызванные единичными силами (или58единичнымимоментамиM = 1)символомδ.Тогдаперемещениерассматриваемой системы по направлению единичной силы F2 в первомсостоянии (то есть вызванное силой F1 = 1 ) - δ 21 , а перемещение по направлениюсилы F1 = 1 во втором состоянии - δ12 .На основании теоремы о взаимности работ:F 1δ 12 = F 2δ 21 , но F 1 = F 2 = 1 , поэтому δ 12 = δ 21 , или в общем случае действиялюбых единичных сил:δ mn = δ nm(2.16)Рис. 24Полученное равенство (2.16) носит название теоремы о взаимностиперемещений (или теоремы Максвелла): для двух единичных состоянийупругой системы перемещение по направлению первой единичной силы,вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлениювторой силы, вызванному первой силой.2.5 ВЫЧИСЛЕНИЙ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МОРАИзлагаемый ниже метод является универсальным методом определенияперемещений (как линейных так и угловых), возникающих в любой стержневойсистеме от произвольной нагрузки.59Рассмотрим два состояния системы.
Пусть в первом из них (грузовоесостояние) к балке приложена любая произвольная нагрузка, а во втором(единичное состояние) – сосредоточенная сила F 2 = 1 (рис.25).Работа А21 силы F 2 = 1 на перемещении ∆ 21 , возникающем от сил первогосостояния:A21 = F 2 ∆ 21 = 1 ⋅ ∆ 21 = ∆ 21 .Рис.25Используя (2.14) и (2.15), выразим А21 (а, значит, и ∆ 21 ) через внутренниесиловые факторы:A 21 = ∆ 21 = ∑ ∫ М 20M1dzN dzQ dz+ ∑ ∫ N 2 1 + ∑ ∫ Q 2 1 η.EIEAGA00(2.17)Знак “+”, полученный при определении ∆ 21 , означает, что направлениеискомого перемещения совпадает с направлением единичной силы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
