МУ - Методы построения эпюр в статически определимых и неопределимых системах (1238993), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Жесткость узловустраняет возможность взаимного поворота скрепленных стержней, то есть вузловой точке углы между их осями остаются неизменными.Как и многие другие системы, рамы делятся на статически определимые истатически неопределимые (рис.10, б,в,д,е).Промежуточный шарнир снижает степень статической неопределимостирамы на величину m - 1, где m - число стержней, сходящихся в шарнире.
Еслиm >2, то шарнир называется кратным (рис.10,д).Для определения степени статической неопределимости плоской рамыможно воспользоваться формулой:n = 3К-Ш,где n - степень статической неопределимости; К - число замкнутыхконтуров в предположении полного отсутствия шарниров; Ш- число шарнировв пересчете на одиночные.Основание (земля) рассматривается как стержень.Для рамы (рис.10,б) имеем:К=1; Ш=0;n = 3 ⋅1 − 0 = 320Для рамы (рис.10,д):К=3; Ш=3n = 3⋅ 3 − 3 = 6В более простых случаях, когда отсутствуют замкнутые контуры ипромежуточные шарниры, то есть когда используются комбинации тех же опор,что и в балках (жесткая заделка, шарнирно-подвижная и шарнирнонеподвижная опоры), для определения степени статической неопределимостииспользуется “балочная” формула:n = r −S,где r - число неизвестных реакций; S - число уравнений статики ( дляплоской рамы S=3).В данной работе ограничимся рассмотрением простейших статическиопределимых рам трех видов:1) с жесткой заделкой;2) на двух шарнирных опорах (неподвижной и подвижной);3) на двух шарнирно неподвижных опорах с простым промежуточнымшарниром.Рис.
1021Из шести внутренних силовых факторов в сечениях плоской рамы в общемслучае возникают три: продольная сила N Z ; поперечная сила Q y ; изгибающиймомент M x .Правила знаков.Для N Z и Q y сохраняются ранее принятые правилазнаков.NZ > 0 ,есливнешняянагрузка,приложеннаякрассматриваемойотсеченной части, вызывает в данном сечении растяжениеи NZ < 0 - впротивном случае.Qy > 0 ,есливнешняянагрузка,приложеннаякрассматриваемойотсеченной части, стремится повернуть данное сечение по часовой стрелке иQ y < 0 - в противном случае.Ординаты эпюр N Z и Q y (как, впрочем и M x ) откладывают, как и обычно,перпендикулярно к оси элементов рамы. Иногда положительные ординаты N Zи Q y откладывают с внешней стороны рамы, а отрицательные – с внутренней,но рама часто имеет такую конфигурацию, при которой невозможно выделитьвнутреннюю и внешнюю стороны, поэтому в дальнейшем условимся: ординатыэпюр N Z и Q y откладываются в произвольную сторону, но обязательноуказывается знак.Для изгибающих моментов специального правила знаков нет, а привычислении момента в любом сечении знак принимается произвольно.
Норезультат вычислений всегда откладывается со стороны сжатого волокнаэлемента рамы. При этом знак на эпюре M x никогда не указывается. Такоеусловие полностью соответствует характеру построения эпюр M x в балках, гдев соответствии с принятым для изгибающих моментов правилом знаков (см.1.7) ординаты эпюр M x всегда оказывались расположенными со сторонысжатых волокон балки.221.14 РАМЫ С ЖЕСТКОЙ ЗАДЕЛКОЙПример 7.Рассмотрим жесткозащемленную плоскую раму (рис.11,а). В жесткойзаделке рамы в общем случае нагружения возникают три опорные реакции: двесилы ( H A и R A ) и опорный момент ( M A ).
Для построения эпюр определениеэтих реакций не является безусловной необходимостью: расчет, как и в случаежесткозащемленной балки, можно вести от свободного конца, то есть всякийраз так выбирать отсеченную часть для рассматриваемого сечения, чтобы в неене попадала опора с неизвестными опорными реакциями.
Тем не менее, иногдацелесообразновычислитьопорныереакции. Это позволяетпроверитьпостроение эпюр или облегчить их построение. Для вычисления реакций вжесткозащемленной раме используются три условия равновесия:∑ Fxi = 0;2) ∑ Fyi = 0;3) ∑ M Ai = 0.1)Построим эпюры N Z , Q y , M x для рассматриваемой рамы, не вычисляяопорные реакции.Методика построения эпюр аналогична ранее рассмотренной для балок ,т.е. сначала необходимо наметить характерные сечения. В дополнение к ранееуказанным (см.1.2), в рамах характерными являются также сечения,расположенные бесконечно близко к жесткому узлу на всех элементах,сходящихся в этом узле.ПостроениеэпюрыNz .Следуяустановленнымправилам,врассматриваемой раме можно выделить 8 характерных сечений. Продольнаясила в любом из них численно равна алгебраической сумме проекций всех сил,приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольнуюось стержня.
При этом следует учитывать, что положение продольной осибудет изменяться в зависимости от того, чему принадлежит рассматриваемоесечение - стойкам или ригелю.23N z ,1 = N z , 2 = N z ,3 = N z , 4 = 0;N z ,5 = N z ,6 = −F = −20 Кн;N z ,7 = N z ,8 = −q ⋅ 4 = −40 Кн.Построение эпюры Q y . Поперечная сила в любом сечении численно равнаалгебраической сумме проекций всех сил, приложенных по одну сторону отрассматриваемого сечения, на поперечную ось рамы. Положение поперечнойоси также будет изменяться в зависимости от принадлежности данного сечениястойкам или ригелю. С учетом правила знаков, двигаясь от свободного конца кжесткой заделке, получим для Q y :Q y ,1 = Q y ,2 = 0 (проекция пары М на любую ось равна нулю);Q y ,3 = Q y ,4 = F = 20 кН;Q y ,5 = 0;Q y ,6 = q ⋅ 4 = 40 кН;Q y ,7 = Q y ,8 = − F = −20 кН.Необходимо обратить внимание на тот факт, что Q y ,7 = −Q y ,4 , т.е.
чтопоперечная сила в верхних сечениях противоположных стоек от действия силы,приложенной к правой стойке (при заделке, расположенной слева, и наоборот)имеетпротивоположныезнаки.Отчастиэтоможнообъяснитьпротивоположными направлениями оси y для сечений 4 и 7, но более строгоеобоснование указанного равенства будет дано ниже.Построение эпюры M x . Изгибающий момент в любом сечении численноравен алгебраической сумме моментов всех нагрузок, приложенных по однусторону от рассматриваемого сечения, относительно этого сечения (болеестрого: относительно оси x этого сечения). Обратим внимание на два важныхзамечания:1) составляющая момента M x от действия сосредоточенного момента Мвсегда одинакова и равна М;2) под плечом силы всегда понимается длина перпендикуляра, опущенногоиз центра тяжести данного сечения на линию действия силы. Это означает, что,например, плечо силы F для сечений 4-7 одинаково и равно 3 м.24Рис.
11Таким образом, для сечений 1-8 получим:M x ,1 = M x ,2 = M x ,3 = M = 40 кН ⋅ м (сжатым является правое волокно в сечениях1-3, поэтому ордината отложена вправо от оси стойки);M x ,4 = M x ,5 = M − F ⋅ 3 = −20 кН ⋅ м (знаки "+" и "-" здесь имеют относительныйхарактер; результирующий момент сжимает левые волокна в сечении 4 инижние волокна в сечении 5, поэтому ордината "20" откладываетсясоответственно влево и вниз);M x,6 = M − F ⋅ 3 − q ⋅ 4 ⋅ 2 = −100 кН ⋅ м (сжаты нижние волокна);M x ,7 = M x ,6 = −100 кН ⋅ м (сжаты правые волокна);M x,8 = M + F ⋅ 3 − q ⋅ 4 ⋅ 2 = 20 кН ⋅ м (сжаты левые волокна).Между q , Q y и M x в плоских рамах сохраняются те же зависимости, что и вбалках, а именно:25dQ y ⎫2;dz ⎪⎬ ⇒ q = d M x .dM xdz 2⎪Qy =dz ⎭q=Из этого следует, что правила контроля эпюр Q y и M x остаются теми же,что и для балок ,( см.
1.11).Эпюры N z в плоских рамах строятся наиболее просто и при отсутствиинагрузок, распределенных вдоль стержней, представляют собой графическиотрезки прямых, параллельные осям стержней ( или совпадают с ними приN z = 0).Еслипроанализироватьпроцесспостроенияэпюр(рис.11,б-г),тоочевидно, что наиболее "сложно" вычислять ординаты в сечениях стержня,примыкающего к заделке ( на рис.11,б-г это сечения 7 и 8). Как уже отмечалось,с этой целью иногда вычисляют реакции H A , R A и момент M A .При принятом для всей рамы направлении осей x, y (рис.11,а) уравненияравновесия имеют вид:∑ Fxi = 0: H A − F = 0; H A = F = 20 кН2) ∑ Fyi = 0: R A − q ⋅ 4 = 0; R A = q ⋅ 4 = 40 кН3) ∑ M Ai = 0: M A + q ⋅ 4 ⋅ 2 − F ⋅ 3 − M = 0; M A = 20 кН1)Полученный для каждой из величин H A , R A , M A знак "+" говорит, чтонаправления их были выбраны правильно.После вычисления опорных реакций значения величин N z , Q y , M x всечениях 7 и 8 (как, впрочем, и в любом другом) можно вычислять, двигаясь отжесткой заделки к свободному концу.Например, для сечений 7 и 8:N z ,7 = N z ,8 = − R A = −40 кН (знак "-" указывает на сжатие в этих сечениях ссилой R A );Q y ,7 = Q y ,8 = − H A = −20 кН (т.к.
реакция H A стремится повернуть каждое изэтих сечений против часовой стрелки.)26При сравнении величины Q y,7 с ранее полученной величиной Q y,4 видно,чтоQ y ,7 = − Q y ,4 , о чем уже говорилось выше.M x ,8 = M A = 20 кН ⋅ м (сжаты левые волокна стойки);M x ,7 = M 8 − H A ⋅ 6 = −100 кН ⋅ м (сжаты правые волокна стойки).Разумеется, результаты получаемые для любого сечения при движении отсвободного конца к жесткой заделке и при движении в обратном направленииодинаковы.1.15 РАМЫ НА ДВУХ ШАРНИРНЫХ ОПОРАХВ дальнейшем для краткости будем говорить "шарнирная рама", имея ввиду ее статическую определимость и отсутствие промежуточныхшарниров( см. 1.13).Пример 8.Рассмотрим раму той же конфигурации, размеров и с теми же нагрузками,что и в предыдущем примере, но с шарнирным опиранием (рис.12,а).Здесь также имеем 8 характерных сечений, но для построения эпюрнеобходимо вычислить сначала опорные реакции, т.к. ни для одного из сеченийнельзя выбрать отсеченную часть так, чтобы избежать попадания в нее опоры снеизвестной реакцией.Для определения опорных реакций в плоских шарнирных рамахиспользуются следующие уравнения равновесия:∑ Fxi = 0 (или ∑ Fyi = 0);2) ∑ M Ai = 0;3) ∑ M Bi = 0.1)Первое уравнение равновесия используется в том из двух приведенныхвариантов, который будет содержать одну неизвестную опорную реакцию.Так, в рассматриваемом примере этим условием будет ∑ Fxi = 0 , котороебудет содержать неизвестную реакцию H A27(в то время как условие ∑ Fyi = 0содержало бы две неизвестных реакции).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
