МУ - Методы построения эпюр в статически определимых и неопределимых системах (1238993), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Построить эпюру изгибающих моментов для статическинеопределимой рамы (рис.47,а), используя способ введения жестких консолей.Этот способ используется для ортогонализации эпюр (т.е. для получениянулевых перемещений – коэффициентов канонических уравнений) в пределахкаждого замкнутого или открытого с защемленными концами симметричногоконтура.Дляортогонализацииэпюрспомощьюжесткихконсолейсоответствующие неизвестных переносятся в некоторую точку, называемуюупругим центром. Положение этой точки определяется как положение центратяжести условного тонкостенного сечения с толщиной 1 EI :⎧ X c = 0 (в силу симметрии);⎪⎨Sx⎪⎩Yc = A .Заданная рама имеет степень статической неопределенности:n = r −s = 7−3= 4Для выбора основной системы (рис.47,б) используем то обстоятельство,что левый (П-образный) контур рамы симметричен.
Разрежем его по осисимметрии, что будет эквивалентно удалению трех связей и появлению трехнеизвестных реакций. Четвертую связь устраним путем удаления шарнирноподвижнойопоры.Введениевместеразрезажесткихконсолейсприложенными на их концах реакциями Х1, Х2, Х3 совместно с реакцией Х4 ивнешними нагрузками приводит к эквивалентной системе (рис.47,в).Определим положение упругого центра, т.е. фактически длину жесткихконсолей(рис.47,г),вычисляякоординатыцентратонкостенного П-образного сечения:Хс=0;SYc = x =A1⋅4⋅2E 2I= −1м112⋅⋅4+⋅4EIE 2I−2113тяжестиусловногоЕдиничные эпюры изгибающих моментов показаны на рис.47,д,е,ж,з, аэпюра моментов от внешних нагрузок – на рис.47,и.Учитывая,чторезультатперемножениясимметричнойэпюрынакососимметричную равен нулю, систему канонических уравнений метода силрассматриваемой рамы запишем в виде:⎧δ11Х1 + δ14 Х 4 + ∆1F = 0;⎪δ X + δ X + ∆ = 0;⎪ 22 224 42F⎨⎪δ33X 3 + δ34 X 4 + ∆ 3F = 0;⎪⎩δ 41X1 + δ 42 X 2 + δ 43X 3 + δ 44 X 4 + ∆ 4 F = 0.Вычислим коэффициенты уравнений, используя, как обычно, способВерещагина:δ14 = δ 41 =13,332 ⎞ 2122 ⎛1⋅1 ⋅ 2 ⋅1 =;⎜ ⋅1 ⋅1 ⋅ ⋅1 + ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ ⋅ 3⎟ +E 2I ⎝ 2EI3 ⎠ EI23δ 22 =δ 11=116⋅2⋅4⋅4 =;E 2IEI222 1221,33⋅2⋅4⋅2 +⋅ ⋅2⋅2⋅ ⋅2 =;E 2IEI 2EI3δ 24 = δ 42 =δ 33 =11 ⎛ 1⎞ 8;⎜ − ⋅1 ⋅1 ⋅ 4 + ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 4 ⎟ =E 2I ⎝ 22⎠ EI228⋅1 ⋅ 4 ⋅1 +⋅1 ⋅ 2 ⋅1 =;E 2IEIEIδ 34 = δ 43 = −δ 44 =81⋅1 ⋅ 4 ⋅ 4 = − ;E 2IEI121 1(4 ⋅ 4 ⋅ 4 + 4 ⋅ 2 ⋅ 4 ) = 69,33 ;⋅ ⋅4⋅4⋅ ⋅4 +EI 2E 2IEI3∆1F = −45,331 ⎛1⎞;⎜ ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 2 + 6 ⋅ 4 ⋅ 2 ⎟ = −E 2I ⎝ 3EI⎠∆2F =111 ⎛1⎞ 9,33;⎜ ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 2 + ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 6 − ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 6 ⎟ =E 2I ⎝ 3EI22⎠∆3F =11 ⎛⎞ 1,33;⎜ 6 ⋅ 4 ⋅ 1 − ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 1⎟ =E 2I ⎝3⎠ EI∆4F =−1921 1⎛2⎞⋅6⋅6⋅4 −⋅ ⋅ 6 ⋅ 2⎜ ⋅ 2 + 2 ⎟ = − .E 2IEI 2EI⎝3⎠114Рис.
47Для проверки правильности вычисления коэффициентов и свободныхчленов канонических уравнений построим суммарную единичную эпюруизгибающих моментов М S (рис.48,а) и определим коэффициенты δ SS и ∆ SF .2δ SS+221 ⎡121МS⎤=∑∫⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ ⋅ 4 + ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ ⋅ 2 + (2 ⋅ 4 ⋅ 4 + 2 ⋅ 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 ⋅ 2 )⎥ +ds =⎢3632EIEI ⎣ 2⎦S24⎡1⎤ 144⎢ 2 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 2 ⋅ 4 + 6 (2 ⋅ 4 ⋅ 4 + 2 ⋅ 8 ⋅ 8 + 2 ⋅ 4 ⋅ 8)⎥ = EI ;⎣⎦М SMF1 11 ⎡114+8⎛2⎞⎤=∑∫⋅ ⋅ 6 ⋅ 2⎜ ⋅ 2 + 2 ⎟ −⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ ⋅ 4 + 4 ⋅ 2 ⋅ 6 +⋅ 4 ⋅ 6⎥ =ds = −⎢42EI 2EI⎦⎝3⎠ E 2I ⎣ 3S1E 2I∆ SF=−126,67.EI115Рис.
48Проверка:1) δ 11 + δ 22 + δ 33 + δ 44 + 2(δ 14 + δ 24 + δ 34 ) ==1[21,33 + 13,33 + 8 + 69,33 + 2(16 + 8 − 8)] =EI143,99≈ δ SS ;EI2) ∆ 1F + ∆ 2 F + ∆ 3 F + ∆ 4 F =Следовательно,1(− 45,33 + 9,33 + 1,33 − 92) = − 126,67 = ∆ SF .EIEIкоэффициентыисвободныечленыканоническихуравнений вычислены правильно. Решение системы канонических уравненийдает следующие значения неизвестных:⎧⎪Х = 1,175 кН;⎪⎪Х 2 = −1,46 кН;⎨⎪Х = 1,1 кН ⋅ м;⎪ 3⎪⎩Х 4 = 1,267 кН.Окончательная эпюра моментов для заданной рамы показана на рис.48,б.Читатель имеет возможность самостоятельно убедиться в правильностипостроенной эпюры, перемножив ее с суммарной единичной эпюрой М S(результат, как известно, должен равняться нулю).116ГЛАВА 4ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР В СТАТИЧЕСКИНЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ.
МЕТОДПЕРЕМЕЩЕНИЙ4.1 СУЩНОСТЬ МЕТОДАКак уже говорилось выше, в статически неопределимых системах (вотличие от систем статически определимых) распределение внутренних силзависит от упругих свойств элементов системы. Поэтому для определения всехусилий в конструкции одних только уравнений равновесия недостаточно, и вобщем случае нужно дополнительно составлять физические и геометрическиеуравнения, описывающие условия деформации системы. При этом какие-тофакторы выбирают в качестве основных неизвестных. Эти величины должнывполне определять напряженно-деформированное состояние системы, т.е. черезних можно выразить все остальные неизвестные.Если в методе сил в качестве таких основных неизвестных выбираютсявнутренние усилия в фиксированных сечениях конструкции, то в методеперемещенийзаосновныенеизвестныепринимаютсяперемещенияфиксированных сечений или узлов системы.
Число неизвестных перемещений,принимаемыхзаосновные,называетсястепеньюкинематическойнеопределимости. Оно, вообще говоря, не связано со степенью статическойнеопределимости данной конструкции. Число и вид неизвестных перемещенийназначают так, чтобы через них достаточно легко могли быть выражены всепрочие факторы системы, в частности внутренние усилия в ее элементах.Для иллюстрации сказанного рассмотрим абсолютно жесткий брус,поддерживаемый четырьмя одинаковыми стержнями с жесткостью нарастяжение ЕА (рис.49,а). Такая система является трижды статически117неопределимой. В то же время удлинения, а следовательно, и усилия всехстержней вполне определяются одним перемещением, например вертикальнымперемещением точки В, которое обозначим через Z1.Рис.
49Степень статической неопределимости зависит от числа вертикальныхстержней, в то время как степень кинематической неопределимости такойсистемы остается равной единице при любом числе стержней.Метод расчета таких систем, рассматриваемый в традиционном курсесопротивления материалов, также предполагает использование картиныдеформаций системы, но не является методом перемещений. Здесь же мырассмотрим решение в форме, характерной для метода перемещений.Определим усилия в стержнях N1, N2, N3, N4, принимая в качественеизвестного перемещение Z1. Устраним перемещение Z1, введя по его118направлению дополнительную связь (рис.49,б).
Сформированную такимобразом систему назовем основной системой метода перемещений. Сообщимвведенной связи принудительное смещение Z1, которое определим из условияравенства нулю суммарной реакции R1 в этой связи, так как в действительностисама связь отсутствует.
Будем считать реакцию положительной, если еенаправлениесовпадаетспринятымнаправлениемперемещения,иотрицательной – в противном случае.В основной системе от нагрузки F реакция в связи R1F = − F (рис.49,б). Отсмещения Z1 для линейно-упругой системы реакция в связи пропорциональнаперемещению Z1.
Представим ее в виде: R1z = r11 z1 , где r11 – реакция от1единичного смещенияz 1 = 1 (рис.49,в).Согласно принципу суперпозицииусловие отсутствия полной реакции в присоединенной связи имеет вид:R1 = R1z1 + R1F = 0,(4.1)r11 z1 + R1F = 0.(4.2)илиСоставляя сумму моментов относительно точки О (рис.49,в), находим:r11 =5 EA⋅.6z1 =5 F⋅.6 EAИз уравнения (4.2) получим:Усилия в стержнях, показанные на рис.49,в, найдены от единичногосмещения z 1 = 1; умножая их на фактическое перемещение z1, получим искомыезначения сил:N1 =2F3F4FF; N2 =; N3 =; N4 =.6666Разрешающее уравнение (4.2) выражает в соответствующей форме условиеравновесия системы, получившей под нагрузкой F перемещение z1; иначеговоря, это уравнение равновесия системы, выраженное через перемещение z1.119Аналогичные рассуждения можно провести и для рамных систем, гдеиспользование метода перемещений является особенно эффективным.Рассмотрим плоскую раму (рис.50,а) в деформированном состоянии каксовокупность отдельных стержневых элементов, объединенных в узлах.Деформированное состояние каждого элемента вполне определяется нагрузкой,непосредственно приложенной к этому элементу, и перемещениями егоконцевыхсечений.Отдельныестержни,показанныенарис.50,а,деформированы так же как и в составе рамы, что достигается смещениемконцевых сечений стержней на величины, равные перемещениям узлов рамы.Если пренебречь изменением длин стержней в процессе деформации, то вцеломдеформированноесостояниерамыбудетопределенотремяперемещениями узлов: z1 – горизонтальным линейным смещением ригеля; z2 иz3 – углами поворотов узлов, т.е.
степень кинематической неопределимостирамы равна трем.Основная система с присоединенными связями, устраняющими этиперемещения, показана на рис.50,б. Условные защемления, введенные в узлы иустраняющие их углы поворотов, называются плавающими заделками, так каксчитается, что устраняя поворот, они не препятствуют соответствующемулинейному смещению узла. При устранении связи 1 рама деформируется безповорота узлов (рис.50,в).Уравнения равновесия рамы, выраженные через перемещения z1, z2 и z3получим, приравнивая нулю суммарные реакции в присоединенных связях(сосредоточенная сила в линейной связи) и моменты в угловых связях:⎧R 1 = 0;⎪⎨R 2 = 0;⎪ R = 0.⎩ 3Система(4.3)уравнений(4.3)являетсяразрешающейсистемойдлярассматриваемой рамы по методу перемещений.
Для того чтобы можно былоразвернуть каждое из равенств (4.3), нужно предварительно изучить работуотдельных стержней, составляющих основную систему, на воздействие120Рис. 50различныхвидовнагрузкиисмещенийопорныхзакреплений.Еслипредварительно вычислить реакции по концам стержней от указанныхвоздействий, то, используя принцип суперпозиции, каждую из полных реакций(4.3) можно записать как сумму слагаемых, выражающих каждое воздействиеотдельно.4.2 ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ТАБЛИЦА МЕТОДА ПЕРЕМЕЩЕНИЙКак было показано в предыдущем параграфе, при расчете методомперемещений исходная система путем введения дополнительных связейрасчленяется на ряд однопролетных статически неопределимых балок.Очевидно, что характер нагружения таких балок и способы закрепления ихконцов дают определенный, постоянный "набор" возможных вариантов, копределенной совокупности которых приводит расчетная схема любойзаданной системы. Поэтому целесообразно заранее рассчитать однопролетныестатически неопределимые балки при разных нагрузках и использовать этирезультаты по мере необходимости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
