МУ - Методы построения эпюр в статически определимых и неопределимых системах (1238993), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Обычно такой "набор" возможныхвариантов представляется в табличной форме.121Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих результаты, указанныхв тех или иных строках приведенной таблицы.1. Загружение сосредоточенной силой F однопролетной балки с жесткимзащемлением на одном конце и шарнирно подвижным опиранием на другом(строка 1 вспомогательной таблицы).Для решения задачи используем метод сил. Эквивалентная система,единичная и грузовая эпюры для заданной схемы (рис.51,а) представлены нарис.51,б,в,г.Рис. 51Каноническое уравнение метода сил:δ 11 Х 1 + ∆ 1F = 0.КоэффициентыканоническихуравненийВерещагина:δ 111 12l3=⋅ ⋅l ⋅l ⋅ ⋅l =.EI 233EI122вычислимпоспособуВспомогательная таблица метода перемещений.Схема балки и воздействия на нееЭпюра моментов и реакцииMA =(FV 1− V22)(RB =FU(3 − U ) ; RA = RV 3 − V 222MA =q 253; RA = q ; RB = q888MA =3EIRA = RB =;RA = RB =3EI3)3EI; MA =23EI2Неравномерный нагревMA =3EIα∆t3EIα∆tRA = RB =2h2hh – высота сеченияt1 > t 2 ∆t = t1 − t 2123Схема балки и воздействия на нееЭпюра моментов и реакцииM A = UV FM B = U VFRA = V 2 (1 + 2U )F RB = U 2 (1 + 2V )FMA = MB =MA =4EIq 2qRA = RB =122MB =MA = MB =6EI6EI26EIRA = RB =RA = RB =212EI3Неравномерный нагревMA = MB =0EIα∆t; RA = RB = 0hh – высота сеченияt1 > t 2 ∆t = t 1 − t 2124Отметим, что при указанных условиях закрепления концов балкикоэффициент δ 11 не зависит от характера внешнего воздействия.∆ 1F = −1 11 FU 2 l 2 ⎛ 2⎛2⎞⎞⋅ ⋅ FUl ⋅ Ul ⋅ ⎜ ⋅ Ul + Vl ⎟ = − ⋅⋅ l ⎜ U + V ⎟.EI 2EI2⎝3⎠⎝3⎠Так как Ul + Vl = l и, следовательно, V = 1 − U , то ∆ 1F = −FU 2 l 3(3 − U ).6 EIПодставляя δ 11 и ∆1F в каноническое уравнение, находим:FU 2(3 − U ).X 1 = RB =2Тогда реакции левой опоры и опорный момент будут:FV(3 − V 2 );2FU 2 l(3 − U ) = − FlV (1 − V 2 ).M A = − FUl +22R A = F − RB =Окончательная эпюра моментов для заданной, теперь уже статическиопределимой, системы, загруженной силами F и X1 (рис.51,д), показана нарис.51,е.2.Загружениеравномернораспределеннойнагрузкойq(рис.52,а)однопролетной статически неопределимой балки (строка 2 вспомогательнойтаблицы).Для решения вновь используем метод сил.
Эпюра моментов от внешнейнагрузки, приложенной к основной системе, показана на рис.52,б, а единичнаяэпюра моментов (и, соответственно, перемещение δ 11 ) совпадает с построеннойв предыдущем примере (рис.51,в).Уравнение метода сил:δ 11 Х 1 + ∆ 1F = 0;l3;3EIql 41 1 ql 23=−⋅ ⋅⋅l ⋅ ⋅l = −.EI 3 248EIδ 11 =∆ 1q125Рис. 52Здесь при вычислении ∆ 1q использованы эпюры М 1 (рис.51,в) и M q(рис.52,б).Реакция лишней связи:38X1 = R B = qlРеакция левой опоры:R A = ql − R B =5ql.8Опорный момент в левой опоре получим, просуммировав момент в этомсечении от нагрузки q с моментом от X1:ql 2 3ql 2+ ql ⋅ l = −.MA =−288Направление опорных реакций и момента в заделке показаны на рис.52,в,а окончательная эпюра моментов – на рис.52,г.3.Перемещениезаделкинавеличину∆понаправлениюперпендикулярному оси стержня (рис.53,а).Эпюра изгибающих моментов в основной системе от смещения ∆ будетнулевой, поэтому нулевым будет свободный член уравнения метода сил.126А перемещение по направлению Х1 (рис.53,б) будет:∆1∆=∆,и уравнение метода сил принимает вид:δ 11 Х 1 = ∆, где δ 11 − то же, что и ранее.Отсюда последовательно находим реакции RB = X 1, RA и опорный моментMA:R B = X1 = −R A = −R B =MA =3EI∆33EI∆3;;3EI∆2.Направление этих величин показаны на рис.53,в, а окончательная эпюрамоментов на рис.53,г.При единичном смещении ∆=1 все вычисленные величины принимаютзначения, указанные в строке 4 вспомогательной таблицы метода перемещений.Аналогичным образом можно рассчитать однопролетную балку на другиевиды воздействий.
Предоставив читателю возможность самостоятельнопроделать соответствующие расчеты, отметим только, что при рассмотрениибалки с двумя защемленными концами (строки 6 – 10 вспомогательной таблицыметода перемещений) целесообразно выбирать основную систему, разрезаябалку посредине пролета. Такой разрез, как известно, приводит к появлениютрех лишних неизвестных в методе сил – продольной и поперечной сил, а такжеизгибающего момента. Однако при всех рассматриваемых видах воздействий(вертикальные нагрузки, линейные смещения заделок по нормали к оси балки,поворот заделок) продольная сила будет равна нулю, поэтому решение всехзадач приводит к системе двух канонических уравнений метода сил.127Рис. 534.3 КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ МЕТОДА ПЕРЕМЕЩЕНИЙПредставим уравнение (4.3) в развернутой форме. Для этого рассмотримконкретную систему (рис.54,а).
Ее степень кинематической неопределимостиn = n у + nл = 1 + 1 = 2 , где nу – число неизвестных углов поворота узлов; nл – числонеизвестных линейных перемещений узлов. Основную систему методаперемещений получим, вводя две дополнительных связи, одна из которыхпрепятствует угловому перемещению узла, а другая – линейному (рис.54,б). Вовведенных связях появляются реактивные усилия: момент – в заделке и сила – встержне.
Уравнения, аналогичные уравнениям (4.3), в данном случае имеютвид:⎧R 1 = 0;⎨⎩R 2 = 0.(4.4)Заменим реактивный момент R1 суммой:R1 = R11 + R12 + R1F .Второй индекс у обозначений реакций указывает на то воздействие,которое является причиной появления реакции, т.е. R1F – реактивный момент вовведенной заделке от действия внешней нагрузки (рис.54,в); R11 – реактивныймомент во введенной заделке от поворота этой же заделки на угол Z1; R12 –128реактивный момент во введенной заделке от линейного смещения узлов 1 и 2на величину Z2.Реактивные моменты R11 и R12 от Z1 и Z2 можно заменить выражениями:R11 = r11Z1; R12 = r12 Z 2 ,где r11 – реактивный момент в заделке от поворота этой же заделки на уголZ1 = 1 (т.е. 1 радиан); r12 – реактивный момент во веденной заделке от смещенияпо горизонтали узла на величину Z 2 = 1 (рис.54,г,д).После этой замены первое из уравнений (4.4) получим в виде:r11Z1 + r12 Z 2 + R1F = 0.(4.5)Рис.
54Производя аналогичное преобразование второго уравнения (4.4), приведемего к виду:r 21Z1 + r22 Z 2 + R2 F = 0.129В уравнении (4.6) r21 – реактивное усилие во введенном стержне,возникающее от поворота заделки на угол Z1 = 1 (рис.54,г); r22 – реактивноеусилие в стержне от линейного смещения узлов 1 и 2на величину Z1 = 1(рис.54,д); R2F – реактивное усилие в стержне от действия заданной нагрузки(рис.54,в).Физический смысл первого уравнения состоит в отрицании момента вовведенной заделке, а второго – в отрицании усилия во введенном стержне.Вместе эти уравнения образуют систему канонических уравнений методаперемещений для дважды кинематически неопределимой системы.
В общемслучае, при n неизвестных, система канонических уравнений методаперемещений имеет вид:⎧r11 Z1 + r12 Z 2 + … + r1n Z n + R 1F = 0;⎪r Z + r Z + … + r Z + R = 0;⎪ 21 1 22 22n n2F⎨⎪...................................................⎪⎩rn1 Z1 + rn 2 Z 2 + … + rnn Z n + R nF = 0.(4.7)В уравнениях (4.7) коэффициенты (реакции) r11 , r22 , …, rnn , расположеныена главной диагонали, называются главными; коэффициентыrij(i ≠ j )называются побочными, а свободные члены R1F, R2F, …, RnF – грузовымиреакциями.
В этих уравнениях, так же как и в уравнениях метода сил,коэффициенты при неизвестных, расположеные симметрично относительноглавной диагонали, равны друг другу:⎛⎞rij = r ji ⎜ i, j = 1,2,…, n; i ≠ j ⎟.⎝⎠Система канонических уравнений метода перемещений отличается отаналогичной системы уравнений метода сил тем, что вместо коэффициентов δ ijи ∆ iF , выражающих перемещения в основной системе метода сил, в нее входяткоэффициенты rij и R iF , выражающие реакции дополнительных закреплений в130основной системе метода перемещений, а вместо неизвестных усилий X i неизвестные перемещения Z i .4.4 АЛГОРИТМ РАСЧЕТА СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙРасчетстатическинеопределимыхсистемметодомперемещенийвыполняется в следующей последовательности:1.
Находим степень кинематической неопределимости заданной системы.2. Выбираем основную систему.3. Записываем канонические уравнения метода перемещений.4. Строим единичные и грузовые эпюры изгибающих моментов для основнойсистемы.5. Определяем коэффициенты и свободные члены системы каноническихуравнений.6. Проверяем правильность вычисления коэффициентов и свободных членовсистемы канонических уравнений.7. Вычисляем значения неизвестных метода перемещений.8. Строим эпюры N, Q, M для заданной системы.9.
Проверяем правильность построения окончательных эпюр.4.5 МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ И СВОБОДНЫХЧЛЕНОВ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙВ методе перемещений для вычисления коэффициентов и свободныхчленов канонических уравнений используются два способа: статический испособ интегрирования эпюр.При статическом способе реактивные усилия во введенных связяхопределяют из уравнений равновесия отдельных узлов рамы или ее отсеченнойчасти.Коэффициенты и свободные члены, представляющие собой реактивныемоментывовведенныхзаделках,определяютсясоставлением уравнений вида:131вырезаниемузлови∑ М = 0.(4.8)Коэффициенты и свободные члены, представляющие собой реактивныеусилия во введенных стержнях, определяются с помощью разреза элементоврамы и составления уравнений равновесия сил, действующих на отсеченнуючасть:∑ L = 0,(4.9)причем, направление оси L выбирается так, чтобы уравнение получилосьнаиболее простым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
