Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 77
Текст из файла (страница 77)
обсудим конкретные представления группы вращений.15.2.1. Орбитальные моментыРассмотрим момент импульса, связанный с движением точечной частицы. В классической механике момент импульса частицы задаётся как⎛⎞ypz − zpyL = [r × p] = ⎝ zpx − xpz ⎠.zpy − ypzПоскольку во всех компонентах L все перемножаемые координаты и импульсы относятся к разным осям, то проблем с упорядочением множителейне возникает, и квантовые операторы проекций момента импульса получаются из классических формул приписыванием шляпок.
Как и раньше, приобсуждении группы поворотов и её генераторов, сразу обезразмерим квантовые моменты импульса, поделив их на h̄ (по повторяющимся индексамснова подразумевается суммирование):l̂α = 1 eαβγ x̂β p̂γ = −i eαβγ xβ ∂γ ,h̄l̂x = 1 (ŷ p̂z − ẑ p̂y ) = −i(y∂z − z∂y ),h̄l̂y = 1 (ẑ p̂x − x̂p̂z ) = −i(z∂x − x∂z ),h̄422ГЛАВА 15ˆlz = 1 (x̂p̂y − ŷ p̂x ) = −i(x∂y − y∂x ).h̄Здесь мы сразу переписали операторы l̂α как дифференциальные операторыв координатном представлении, ∂α = ∂ α .∂xПроверим коммутационные соотношения для компонент орбитальногомомента импульса ˆlα :[ˆlx , l̂y ] = 12 [ŷ p̂z − ẑ p̂y , ẑ p̂x − x̂p̂z ] =h̄= 12 ([ŷ p̂z , ẑ p̂x ] − [ŷ p̂z , x̂p̂z ] − [ẑ p̂y , ẑ p̂x ] +[ẑ p̂y , x̂p̂z ]) = h̄00= 12 (ŷ [p̂z , ẑ] p̂x + x̂ [ẑ, p̂z ] p̂y ) = i 1 (x̂p̂y − ŷ p̂x ) = iˆlz .h̄ h̄(−ih̄)ih̄С помощью циклических перестановок x, y, z получаем коммутационныесоотношения, совпадающие с (15.3):[ˆlα , l̂β ] = i eαβγ ˆlγ .Сферические координатыОператоры ˆlα являются операторами производных вдоль векторныхполей1lx = −i(0, −z, y),ly = −i(z, 0, −x),lz = −i(−y, x, 0).Эти векторные поля с точностью до множителя −i представляют собой поля скоростей при вращении вокруг соответствующих осей координат с еди1 В дифференциальной геометрии принято считать, что вектор и производная вдоль этого вектора — один и тот же объект, т.
к. между ними естественным образом устанавливаетсявзаимно-однозначное соответствие: ∂v = v a ∂a . При этом операторы частной производной∂вдоль координат ∂a = ∂xa выступают в роли базисных векторов (координатный базис). Такой базис в общем случае не является ни ортогональным, ни нормированным. Компонентывектора, разложенного по координатному базису, при замене координат преобразуются по тому же закону, что и бесконечномалый радиус-вектор с компонентами dxa , соединяющий двебесконечноблизкие точки.15.2. П РЕДСТАВЛЕНИЯВРАЩЕНИЙ423ничной угловой скоростью. Экспоненты от операторов ˆlα будут как разсоответствовать движению вдоль этих векторных полей ilα .При вращении вокруг координатных осей расстояние от точки до начала координат не меняется, поэтому может быть удобно выписать поля lαи операторы ˆlα в сферических координатах.
Следует ожидать, что в сферических координатах орбитальные моменты могут быть выражены с использованием только угловых координат, без использования координаты r.Сферические координаты — это расстояние до начала координат r, широта θ (отсчитывается не от плоскости экватора, как в географии, а отоси z), долгота ϕ (отсчитывается от плоскости xz, направление отсчётасвязано с направлением оси z правым винтом):x = r sin θ cos ϕ,y = r sin θ sin ϕ,z = r cos θ.Базисные векторы в сферических координатах можно легко представить, определив как смещается точка при бесконечномалом изменении соответствующей координаты. Вектор смещения при изменении координаты xa на величину dxa будет равен ea · dxa (индексы подчёркнуты, чтобыпоказать, что суммы по повторяющемуся индексу a в данной формуле нет).er = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ),eθ = (r cos θ cos ϕ, r cos θ sin ϕ, −r sin θ),eϕ = (−r sin θ sin ϕ, r sin θ cos ϕ, 0),|er |2 = 1,|eθ |2 = r 2 ,|eϕ |2 = r 2 sin2 θ.Матрица скалярных произведений векторов ea даёт метрический тензор,однако его проще определить через элемент длины, выраженный в новыхкоординатах:⎛⎞1 00⎠.
(15.5)0dl2 = dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin2 θ dϕ2 ) ⇔ gab = ⎝ 0 r 20 0 r 2 sin2 θКомпоненты полей lα по векторам нового базиса определяютсякак(lα ,ea )e2a :ˆlx = −i (− sin ϕ ∂θ − ctg θ cos ϕ ∂ϕ ),ˆly = −i (cos ϕ ∂θ − ctg θ sin ϕ ∂ϕ ),ˆlz = −i ∂ϕ .424ГЛАВА 15Как и следовало ожидать, h̄ˆlz имеет стандартный вид импульса (генератора сдвига) по координате ϕ (долготе).Оператор ˆl2 в сферических координатах с точностью до знака совпадает с оператором Бельтрами – Лапласа (обобщением лапласиана) на единичной сфере:$%2∂1∂∂1ˆl2 = −sin θ= −θϕ .+sin θ ∂θ∂θsin2 θ ∂ϕ215.2.2. Спектр оператора ĵzРазличные проекции момента импульса не коммутируют друг с другом, поэтому в набор одновременно измеримых величин мы можем включить только одну из них и суммарный квадрат момента импульса (операторКазимира алгебры моментов). Традиционно из всех проекций момента импульса принято выбирать проекцию на ось z. Однако все выводы останутсясправедливыми и при замене оси z на любое другое направление.Пусть m — собственное число оператора ĵzĵz ψm = mψm .Под действием оператора поворота на угол 2π собственная функция ψmлибо переходит в себя, либо меняет знак (15.1.2 «Квантовые вращения**»):ei2πĵz ψm = ei2πm ψm = ±ψm .Таким образом, m должно быть целым, или полуцелымm ∈ Z,илиm+12∈ Z.Причём собственные функции для целых и полуцелых m удобнее отнестик разным пространствам, т.
к. иначе их линейная комбинация при поворотена 2π не умножалась бы на фиксированный множитель ±1.Для орбитального момента в роли ĵz выступает оператор l̂z . Экспонента от него задаёт сдвиг по углу ϕ (поворот):eiαl̂z ψ(r, θ, ϕ) = ψ(r, θ, ϕ + α).С учётом 2π-периодических условий по ϕ мы должны выбратьm ∈ Z,ψm (r, θ, ϕ) = Cm (r, θ) eimϕ .15.2. П РЕДСТАВЛЕНИЯВРАЩЕНИЙ42515.2.3. Операторы ĵ±Для дальнейшего исследования моментов импульса полезно ввестиоператоры†ĵ± = ĵx ± iĵy = ĵ∓.Для орбитальных моментов получаемˆl± = ˆlx ± iˆly = e±iϕ (±∂θ + i ctg θ ∂ϕ ).Через операторы ĵ± удобно выражать ĵx и ĵy , так же, как через лестничные операторы â, ↠удобно выражать P̂ , Q̂ для гармонического осциллятора (12.7).
Для векторного оператора компоненты +, − и z частооказываются более удобными, чем x, y и z.Подобно тому, как оператор номера уровня для гармонического осциллятора удобно выразить через â и ↠, оператор ĵ 2 удобно выразить через ĵ±и ĵz :ĵ− ĵ+ = ĵx2 + ĵy2 + i[ĵx , ĵy ] = ĵx2 + ĵy2 − ĵz ,ĵ+ ĵ− = ĵx2 + ĵy2 − i[ĵx , ĵy ] = ĵx2 + ĵy2 + ĵz .Отсюда легко видеть, что[ĵ+ , ĵ− ] = 2ĵz ,2ĵ = ĵ− ĵ+ +ĵz2+ ĵz = ĵ+ ĵ− +(15.6)ĵz2− ĵz .(15.7)Используя коммутационные соотношения (15.3) и (15.4), получаем[ĵz , ĵ± ] = ±ĵ± ,(15.8)[ĵ 2 , ĵ± ] = 0.(15.9)Подобно тому, как операторы â и ↠уменьшают и увеличивают числа заполнения для гармонического осциллятора (12.13), ĵ± увеличиваюти уменьшают значение проекции ĵz :ĵz (ĵ± ψm ) = (ĵ± ĵz + [ĵz , ĵ± ])ψm = (ĵ± m ± ĵ± )ψm = (m ± 1)(ĵ± ψm ).(15.10)Как и для гармонического осциллятора (12.13), мы можем сделать вывод,что выражение ĵ± ψm либо обращается в нуль, либо оказывается собственным вектором, отвечающим собственному числу (m ± 1).426ГЛАВА 1515.2.4.
Собственные векторы операторов ĵz , ĵ 2Ранее мы обсуждали спектр собственных состояний оператора ĵz(15.2.2 «Спектр оператора ĵz »), не накладывая на состояния каких-либодополнительных ограничений. Теперь мы потребуем, чтобы рассматриваемые состояния были одновременно собственными для оператора ĵ 2 ,коммутирующего с ĵz :ĵz ψλm = m ψλm ,ĵ 2 ψλm = λ ψλm .Поскольку ĵ 2 = ĵx2 + ĵy2 + ĵz2 , мы сразу заключаем, что λ > |m|2 . Такимобразом, спектр разрешённых значений m при фиксированном λ ограниченсверху и снизу.Пусть j — максимальное значение m при данном λ, тогда (см. (15.10),(15.7))ĵz ψλj = j ψλj ,ĵ+ ψλj = 0,ĵ 2 ψλj = (ĵ− ĵ+ + ĵz2 + ĵz )ψλj = (0 + j 2 + j)ψλj = λ ψλj .Таким образом, λ = j(j + 1). Аналогично, проверяется, что минимальноеразрешённое значение m — это −j:ĵz ψλ−j = −j ψλ−j ,ĵ− ψλ−j = 0,ĵ 2 ψλj = (ĵ+ ĵ− + ĵz2 − ĵz )ψλj = (0 + j 2 − (−j))ψλ−j = λ ψλ−j .Поскольку j — неотрицательное целое или полуцелое число, то длянумерации состояний удобнее использовать не λ = j(j + 1), а само j.
Ортонормированные состояния с определёнными значениями m и j принятообозначать как |j, m:ĵz |j, m = m|j, m,ĵ 2 |j, m = j(j + 1)|j, m,j1 , m1 |j2 , m2 = δj1 j2 δm1 m2 ,2j ∈ N ∪ {0}, m ∈ {−j, −j + 1, . . . , +j}.Уравнение (15.10) даётĵ± |j, m = C± |j, m ± 1.15.2. П РЕДСТАВЛЕНИЯВРАЩЕНИЙ427Для определения коэффициентов C± воспользуемся соотношениями (15.7):ĵ+ |j, m = C+ |j, m + 1,j, m| ĵ− = j, m + 1| C+ ∗ ,j, m| ĵ− ĵ+ |j, m = j, m + 1|C+ ∗ C+ |j, m + 1 = |C+ |2 ,j, m| ĵ− ĵ+ |j, m = j, m| ĵ 2 − ĵz2 − ĵz |j, m = j(j + 1) − m(m + 1).Мы определили, что |C+ | = j(j + 1) − m(m + 1), но фазу этого коэффициента вычислить невозможно, т. к. условия нормировки позволяютумножать разные базисные состояния на разные фазовые множители, приэтом будет меняться фаза и у C+ .
Раньше подобные рассуждения мы использовали для введения формулы (12.22) для гармонического осциллятора.Не имея возможности вычислить фазовые множители для C+ , мы имеем возможность выбрать их по своему произволу. Мы выберем все C+ вещественными неотрицательными числами. Это зафиксирует большую частьпроизвола, теперь мы можем умножать наши векторы только на одинаковыефазовые множители, C+ теперь — фиксированные числа.Определив фазу у множителей C+,j,m мы тем самым определили фазуи у множителей C−,j,m :ĵ+ |j, m = C+,j,m |j, m + 1,j, m + 1|ĵ+ |j, m = C+,j,m ,∗j, m + 1|ĵ+ |j, m∗ = C+,j,m,j, m + 1|ĵ+ |j, m∗ = j, m|ĵ− |j, m + 1 = C−,j,m+1 ,∗C−,j,m+1 = C+,j,m.Таким образом, все коэффициенты C± оказываются вещественными неотрицательными:ĵ+ |j, m = j(j + 1) − m(m + 1) |j, m + 1 == (j − m)(j + m + 1) |j, m + 1,ĵ− |j, m = j(j + 1) − m(m − 1) |j, m − 1 == (j + m)(j − m + 1) |j, m − 1.Как и для лестничных операторов гармонического осциллятора, множители обращаются в нуль при попытке вывести собственное число m из разрешённого диапазона.428ГЛАВА 15Матричные элементы операторов ĵ± для базисных векторов имеют видj , m |ĵ+ |j, m = (j − m)(j + m + 1) δjj δm,m −1⇔⇔ j, m|ĵ− |j , m = (j − m)(j + m + 1) δjj δm,m −1 .Это позволяет представить операторы при фиксированном значении j в виде матриц (2j + 1) × (2j + 1):⎞⎛ 0 (2j)1 00...0⎟⎜0(2j − 1)20...00⎟⎜⎟⎜..⎟,⎜ĵ+ = ⎜ 0(2j − 2)3 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
