Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Такая классификацияпозволяет представлять любое представление группы, т. е. любое действиесимметрии данного вида, как комбинацию неприводимых представлений.Если линейное представление f приводимо, то каждое нетривиальноеинвариантное подпространство H(1) данного представления можно рассматривать как пространство нового представления f(1) (подпредставления), которое получается из f , если ограничить отображения f (G) на H(1) .(ф) Если мы выделили из пространства состояний инвариантное подпространство меньшей размерности, причём оно также переходит в себяпод действием гамильтониана, то далее мы можем рассматривать действиенашего гамильтониана на этом подпространстве. Диагонализовать гамильтониан на подпространстве меньшей размерности может быть проще, чемна всём пространстве состояний, а если подпространство конечномерно, тозадача сведётся к диагонализации обычной матрицы.14.4.3. Разложение представления в сумму неприводимых (л)Если исходное представление f конечномерно, то размерность подпредставления f(1) строго меньше, чем размерность исходного:∞ > dim H > dim H(1) > 0.Для любого конечномерного линейного представления мы можем получитьпоследовательность вложенных инвариантных пространств и соответствующих им представлений:∞ > dim H > dim H(1) > .
. . > dim H(n) > 0,H = H(0) ⊃ H(1) ⊃ . . . ⊃ H(n) ⊃ {0}.В этой цепочке на каждом шаге размерность строго уменьшается, и для конечномерного f цепочка должна быть конечной. Последнее представлениев цепочке f(n) , действующее на пространстве H(n) , обязано быть неприводимым. Таким образом, для всякого конечномерного приводимого представления существует неприводимое подпредставление.Нас интересуют унитарные представления, сохраняющие скалярноепроизведение в пространстве H.
Это позволяет сразу заключить, что ор⊥тогональное дополнение H(n)к инвариантному подпространству H(n) так-412ГЛАВА 14же инвариантно. Это позволяет продолжить процедуру: выделив из приводимого представления f неприводимое представление f(n) , можно од⊥⊥, действующее на H(n), причёмновременно определить представление f(n)⊥⊥dim H(n) < dim H. Далее f(n) либо неприводимо (процедура заканчивается), либо приводимо, тогда из него снова выделяется неприводимое представление и ортогональное дополнение меньшей размерности.В результате мы разлагаем пространство H, на котором действует конечномерное унитарное представление f , в ортогональную сумму минимальных инвариантных подпространств Hn , на каждом из которых представление f , действует как неприводимое:H = H1 ⊕ H2 ⊕ .
. . ⊕ Hk ,dim H = dim H1 + dim H2 + . . . + dim Hk ,f = f1 ⊕ f2 ⊕ . . . ⊕ fk .Здесь мы ввели понятие суммы представлений. Если ввести базис накаждом из пространств Hn (1 < n < k), то базис в пространстве Hможно ввести как объединение базисов на подпространствах. Вектор в Hможет быть представлен как набор столбцов высотой dim Hn , отвечающих подпредставлениям, поставленных друг на друга, а матрицы f (g)(g ∈ G) — как блочно-диагональные матрицы, каждый из блоков имеетразмер dim Hn × dim Hn действует на своё подпространство:⎛ ⎞⎛⎞ψ1f1 (g)ψ1⎜ ψ2 ⎟⎜ f2 (g)ψ2 ⎟⎜ ⎟⎜⎟ψ = ⎜ . ⎟ = ψ1 ⊕ ψ2 ⊕ . . . ⊕ ψk ∈ H,f (g)ψ = ⎜⎟,..⎝ ..
⎠ ⎝⎠.∈H1ψk⎛⎜⎜f (g) = ⎜⎝∈H2∈Hkfk (g)ψk⎞f1 (g) 0 0 00 f2 (g) 0 0 ⎟⎟⎟ = f1 (g) ⊕ f2 (g) ⊕ . . . ⊕ fk (g)....000⎠00 0 fk(**) С точки зрения теории множеств ортогональная сумма пространств Hn — это прямое произведение множеств, на которых заданаструктура линейного пространства.(ф) Группа симметрий некоторого гамильтониана всегда переводитсостояния с некоторой энергией в состояние с той же энергией. Такимобразом, подпространства состояний с определённой энергией являются14.4. П РЕДСТАВЛЕНИЯГРУПП ( Л )413инвариантными подпространствами соответствующей группы симметрий.Если разбиение представления на неприводимые единственно3 , то каждое минимальное инвариантное подпространство группы симметрий обязано быть собственным подпространством гамильтониана, обладающегосоответствующей симметрией. Таким образом, если мы разложили нашепредставление группы симметрий на неприводимые и показали единственность разложения, то большая часть работы по диагонализации гамильтониана уже выполнена: уже найден базис (т.
е. набор стационарных состояний, годится любой базис, полученный объединением базисов в минимальных инвариантных подпространствах), осталось только найти собственныечисла.14.4.4. Умножение представлений (лф*)Помимо суммы представлений вводится также операция умножения.Умножению представлений соответствует тензорное умножение соответствующих линейных пространств и операторов:[f1 (g) ⊗ f2 (g)]( ψ1 ⊗ ψ2 ) = (f1 (g)ψ1 ) ⊗ (f2 (g)ψ2 ) . ∈H1∈H2∈H1∈H2При сложении представлений их размерности складываются, а приумножении — умножаются.(ф) Физически умножение представлений соответствует объединениюподсистем, на которые действуют преобразования симметрии.
Например,если в центральном поле ядра имеются два электрона, то мы можем написать два представления f1 и f2 группы вращений, соответствующих вращениям первого и второго электронов соответственно. Одновременному одинаковому вращению обоих электронов будет соответствовать произведениепредставлений f1 ⊗ f2 .
Взаимодействие между электронами нарушает вращательную симметрию отдельного электрона, но сохраняет вращательнуюсимметрию системы в целом, поэтому и законы сохранения оказываются связанными с одновременным поворотом обоих электронов (сохранениесуммарного момента импульса). Как всегда, разделение системы на подсистемы не обязательно связано с пространственным разнесением компонент,например вместо орбитального движения двух электронов мы можем рассматривать орбитальное движение и спин (собственный момент импуль3 Пример неединственности разложения представления на неприводимые — представлениегруппы {−1, +1} на пространстве одномерных волновых функций L2 (R) операторами Iˆ (инверсия по координате) и 1̂.414ГЛАВА 14са) одного и того же электрона. Например, далее (см.
15.5 «Сложение моментов*») мы составим таблицы умножения неприводимых представленийквантовой группы вращений SU(2).При изучении конкретной группы симметрий помимо составленияклассификации неприводимых представлений полезно также составитьтаблицу умножения представлений: произведение каждой пары неприводимых представлений снова разлагается в сумму неприводимых представлений.(ф) После разложения произведения представлений на неприводимыеслагаемые мы, как правило, уже не можем связать отдельное слагаемоес той или иной подсистемой.
Практически всегда каждое из слагаемыхпредставлений действует на обе подсистемы одновременно.ГЛАВА 15Вращения и моментыС главе 14 «Симметрии-2» мы обсудили применение теории групп и ихпредставлений для описания симметрий в квантовой механике. Данная глава иллюстрирует «Симметрии-2», но может читаться и независимо. Здесьразбирается конкретный важный пример симметрии относительно поворотов и соответствующих этой симметрии операторов момента импульса.15.1.
Группа вращенийВ данном разделе мы выясним некоторые свойства поворотов, которые зависят от того, как повороты комбинируются друг с другом. Действиеповоротов на состояния квантовых систем здесь обсуждаться не будет. Тоесть мы обсуждаем абстрактную группу вращений, но не касаемся её представлений.15.1.1. Что такое поворот (л)Вращения собственные и несобственные (л)Поворот — преобразование координат, которое оставляет неподвижным начало координат и сохраняет расстояние в трёхмерном евклидовомпространстве:x = Rx,∀x ∈ R3 ,(x , x ) = (x )T x = xT RT Rx = xT x = (x, x).Поскольку вектор x ∈ R3 произволен, мы получаем условие на матрицу R:RT R = E.(15.1)Такие матрицы называются ортогональными.
Множество ортогональныхматриц 3×3 обозначается O(3), имеет структуру группы и называется группой вращений.416ГЛАВА 15Если взять определитель от равенства (15.1), то получится условие(det R)2 = 1⇔det R = ±1.Это условие разбивает все повороты R на два класса, в зависимости от знака определителя. Повороты с определителем +1 называются собственнымивращениями.
Множество собственных вращений обозначается SO(3), является нормальной подгруппой O(3) и называется группой собственных вращений. Собственные вращения — обычные повороты, которые можно выполнить, непрерывно поворачивая тело вокруг некоторой оси. Несобственные вращения, для которых det R = −1, выполнить непрерывно, вращаятело, нельзя, т. к. при непрерывном вращении матрица R меняется непрерывно, непрерывно меняется и det R, а значит определитель не сможет перепрыгнуть от значения +1 = det E к значению −1. Несобственные вращения представляют собой комбинации собственных вращений и зеркальныхотражений.Топология вращений (л)Группа O(3) состоит из двух связных кусков: SO(3) — группа собственных поворотов, и P̂ SO(3) (напомним, P̂ — оператор пространственной инверсии 11.4.2 — отражение по всем трём осям, здесь пока можно считать,что P̂ = −E) — несобственные повороты (группу не образуют, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
