Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 71
Текст из файла (страница 71)
К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ387Время жизни квазистационарного состояния мы можем оценить, знаявероятность туннелирования (D, мы оцениваем её в разделе 13.5.7 «Квазиклассическая вероятность туннелирования») и классический период колебаний системы (T ). Если частица может убежать через обе стенки с вероятностями D1 1 и D2 1, то за период T вероятность убеганиясоставляет D = D1 + D2 . Таким образом, вероятность убегания в единицувремени (обратная времени жизни состояния τ0 )D1τ0 = T⇒τ0 = T T.DБлагодаря соотношению неопределённости (7.9), квазистационарныйуровень имеет ширину (7.13)δE0 = h̄ .2τ0Зависимость от времени квазистационарного состояния включает, помимообычной комплексной экспоненты, ещё и вещественную экспоненту, обеспечивающую экспоненциальное затухание (распад) уровня с характернымвременем τ0 :3−ψ(t) = ψ0 etiE t −h̄ 0 e 2τ0−= ψ0 eih̄(E0 −i)t2τ0 .h̄Мы видим, что для временной эволюции квазистационарного состоянияэнергия получает мнимую добавку:E = E0 − i 2τh̄0 = E0 − i δE0 .Встречающиеся в физике квазистационарные состояния могут иметьвремена жизни от исчезающемалых до очень больших (превышающих возраст Вселенной).
Все нестабильные частицы и радиоактивные ядра следуетрассматривать как квазистационарные состояния. Современные физики неуверены даже в протоне: является ли протон стационарными или толькоквазистационарным состоянием с большим временем жизни. Таким образом, нахождение квазистационарных состояний (хотя эта задача труднееформализуется математически) может быть не менее важно, чем нахождение настоящих стационарных состояний.
При распаде квазистационарных3 При вычислении вероятности амплитуда возводится в квадрат, так что показатели экспоненты для амплитуды и для вероятности отличаются в два раза.388ГЛАВА 13состояний продукты распада обычно вылетают с энергиями, недостаточными для преодоления потенциального барьера, т. е.
они вылетают благодарятуннельному эффекту.Правило Бора – Зоммерфельда также требует поправок, если потенциальная яма разделена барьером, через который частица может туннелировать туда-сюда. Ниже такая ситуация упоминается в разделе 13.5.8 «Несколько слов об инстантонах**».13.5.7. Квазиклассическая вероятность туннелированияРассмотрим в квазиклассическом приближении одномерную задачурассеяния. Прежде всего отметим, что в классически разрешённой областиквазиклассическая волновая функция (S(x) с точностью до второго членапо h̄) (13.23)ψ(x) ≈ Cp(x) dxexp ± ih̄p(x)описывает частицу, которая по всей оси движется в одну сторону с постоянной плотностью потока вероятности.Таким образом, надбарьерное отражение (E > U (x)) квазиклассическим приближением (S(x) с точность до второго члена по h̄) не описывается.Если высота потенциального барьера больше E, то мы можем воспользоваться квазиклассическим приближением.Мы рассмотрим случай широкого потенциального барьера, с точкамивхода и выхода a и b (E = U (a) = U (b)).
При этом естественный масштабширины барьера — длина затухания волновой функции внутри него:l(x) =h̄ .|p(x)|Поскольку масштаб l(x) внутри барьера, как правило, переменный, критерий ширины записывается через набегающую внутри барьера фазу (мнимую) волновой функции:bL=adX = 1h̄l(X) b|p(X)| dX 1.aмера dXL — интервал от a до b, измеренный линейкой переменной длины l(x)(в длинах затухания).13.5. К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ389Для широкого барьера мы имеем коэффициент отражения, близкий к 1,т. е. суперпозиция падающей и отражённой волн приблизительно задаётсячерез sin, как у границы потенциальной ямы (13.33).
При этом внутри барьера, как и ранее при рассмотрении потенциальной ямы, преобладает затухающая экспонента.Величина экспоненты внутри барьера снижается в e−L раз. Посколькуэта величина связана с амплитудой вероятности, то соответствующий вкладв коэффициент прохождения составляетD0 = e−2L .Однако мы пока не учли вклад в коэффициент прохождения предэкспоненциального множителя √ 1 и условий сшивки в точках входа и выхода.p(x)Как мы уже обсуждали ранее (13.5.1 «Как угадать и запомнить квазиклассическую волновую функцию»), предэкспоненциальный множительучитывает переменную скорость частицы, летящей в переменном потенциале, тогда как экспонента задаёт поток частиц. Таким образом, изменениепредэкспоненциального множителя не даёт вклада в поток и коэффициентпрохождения.Условия сшивки волновой функции в точках входа и выхода могут датьдополнительные множители порядка 1:D = D0 · Da · Db ,Da , Db ∼ 1.Если точки входа и выхода «устроены одинаково», и в окрестностяхобоих потенциал может быть приближен линейной функцией, то, в силусимметрии входа в барьер и выхода из него,Db = 1 .DaВ этом случае⎛D = D0 = e−2L = exp ⎝− 2h̄b⎞|p(X)| dX ⎠.(13.40)aЗаметим, что формулу (13.40) мы не столько вывели, сколько угадали.Строгий вывод требует более аккуратного рассмотрения условий сшивкив точках входа и выхода, и в частности доказательства возможности пренебречь внутри барьера возрастающим членом волновой функции.390ГЛАВА 1313.5.8.
Несколько слов об инстантонах**Внимательно рассмотрим показатель экспоненты в формуле для квазиклассического коэффициента прохождения через барьер:2h̄ba|p(x)| dx = −i 2h̄b b 22m(E − U (x)) dx =2m(−E + U (x)) dx.h̄aaПоследнее выражение может быть переписано как h̄1 умножить на действиепо периоду для колебаниямежду точками a и b с зависимостью импульсаот координаты p− (x) = ± 2m(−E + U (x)):1h̄8p− (x) dx = 2 1h̄bp− (x) dx.aТакая зависимость p− (x) может быть получена из обычной изменениемзнака энергии:E → −E,U (x) → −U (x).Мнимое действие (интеграл от мнимого импульса) можно также описать как движение с мнимой скоростью.
А поскольку перемещение междуточками a и b вещественно, такая скорость соответствует мнимому изменению времени.Если вспомнить, что амплитуда вероятности, соответствующая движению с действием S, задаётся как (3.17)iSe h̄ ,то мы получаем возможность рассматривать туннелирование через барьер,не суммируя обычные (классически запрещённые) траектории (вклад которых практически компенсируется, в результате чего формула сходитсяочень медленно), а беря одну классически разрешённую траекторию с мнимым временем движения:b i S 2 h̄ 2D = e ,S=2m(E − U (x)) dx.h̄aДвижение через потенциальный барьер с мнимым временем называютинстантонным движением.13.6. С ОХРАНЕНИЕВЕРОЯТНОСТИ И УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ391Если мы имеем потенциальную яму, разделённую барьером на две половины, то туннелирование через барьер приводит к тому, что система,помещённая в одну половину ямы, начинает колебаться, поочерёдно туннелируя туда-сюда.
Такое состояние называют инстантоном.Инстантоны возникают в различных задачах теории конденсированного состояния и квантовой теории поля, они, в частности, могут возникатьпри спонтанном нарушении симметрии как колебания вакуумного поля.13.6. Сохранение вероятности и уравнение непрерывностиКак мы уже писали ранее (5.1.1 «Унитарная эволюция и сохранениевероятности»), сохранение полной вероятности является одним из фундаментальных принципов квантовой теории.
При этом сохранение полнойвероятности (вместе с линейностью и обратимостью) приводит к унитарности эволюции замкнутой системы.Однако полная вероятность может быть записана как интеграл от плотности вероятности в конфигурационном пространстве. В силу непрерывности уравнений квантовой механики представляется интересным переписатьусловие сохранения вероятности в дифференциальной форме, как уравнение непрерывности для плотности вероятности.Таким образом, мы имеем вектор состояния, заданный как волноваяфункция ψ(Q) на конфигурационном пространстве. Здесь Q — совокупность обобщённых координат Qn (координат в конфигурационном пространстве).Мы знаем, что2(Q) = |ψ(Q)| ,(Q) dQ = 1 = const— плотность вероятности в конфигурационном пространстве.Уравнение непрерывности должно иметь вид∂+ div j = 0,∂t(13.41) ∂jnгде div j = n ∂Qn — дивергенция в конфигурационном пространстве отвещественного векторного поля j, которое задаёт плотность потока вероятности.Стоящая перед нами задача — выразить j через ψ и показать, что найденное выражение удовлетворяет уравнению непрерывности (13.41).392ГЛАВА 1313.6.1.
Как угадать и запомнить плотность потока вероятностиПрежде чем приступать к строгим выкладкам, угадаем ответ.Для классического распределения частицj(Q) = (Q) v(Q),где v(Q) — скорость частиц в данной точке.Для волны де Бройляp̂ψ = pψ = mv ψ.Эта же формула приближённо справедлива для квазиклассической волновой функции, но теперь v уже является функцией от координат:p̂ψ(Q) ≈ mv(Q) ψ(Q).Умножая полученную формулу на ψ ∗ (Q), получаемψ ∗ (Q) p̂ψ(Q) ≈ mv ψ(Q) ψ ∗ (Q) = mv ρ(Q).Таким образом, для волн де Бройля мы можем написать1 ψ ∗ (Q) p̂ψ(Q).j(Q) = ρ(Q) v(Q) = mЭта же формула должна быть по крайней мере приближённо справедлива для квазиклассических волновых функций, но выражение ψ ∗ (Q)p̂ψ(Q)в общем случае является комплексным.
Поэтому возьмём от получившегося выражения вещественную часть. Новая гипотеза такова:1 Re ψ ∗ (Q)p̂ψ(Q) = 1 (ψ ∗ (Q) p̂ψ(Q) + ψ(Q)(p̂ψ(Q))∗ ).j(Q) = m2mКак мы убедимся далее, это и есть искомая формула для гамильтонианаp̂2+ U (Q). В учебниках по квантовой механике, с учётом p̂ =вида Ĥ = 2m= −ih̄∇, её обычно записывают в следующем виде:j = ih̄ (−ψ ∗ ∇ψ + ψ∇ψ ∗ ).2m(13.42)Если параметризовать волновую функцию через плотность вероятности ρ(x) = |ψ(x)2 | и фазу ϕ(x) = arg ψ(x), тоh̄∇ϕ(x),(13.43)ψ(x) = ρ(x) eiϕ(x) ⇒ j = ρ(x) m скорость13.6.
С ОХРАНЕНИЕВЕРОЯТНОСТИ И УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ393это соответствует тому, что плотность потока вероятности оказывается равh̄на плотности вероятности ρ(x), умноженной на скорость m∇ϕ(x), котораявыражается через градиент фазы ∇ϕ(x). Это позволяет придать физический смысл фазе волновой функции, записанной в координатном представлении.13.6.2. Многочастичный случайРассмотрим гамильтониан следующего вида:2Ĥ = 1 (M −1 )nk p̂n p̂k + U (Q) = − h̄ (M −1 )nk ∇n ∇k + U (Q).22(13.44)Здесь мы ввели симметричную матрицу обратной массы (M −1 )nk .
По повторяющимся индексам n и k подразумевается суммирование4∗∂(ψ ∗ ψ)∂ρĤψ∂ψ ∗Ĥψ∗ ∂ψ∗=+ψ==ψ+ψ=ψ∂t∂t∂t∂tih̄ih̄2− h̄ (M −1 )nk ∇n ∇k + U (Q) ψ ∗ +=ψ 12− ih̄2+ ψ ∗ 1 − h̄ (M −1 )nk ∇n ∇k + U (Q) ψ =2ih̄22h̄h̄1−1 nk∗∗ 1−1 nk− (M ) ∇n ∇k ψ + ψ− (M ) ∇n ∇k ψ ==ψ22− ih̄ih̄= − ih̄ (M −1 )nk (ψ∇n ∇k ψ ∗ − ψ ∗ ∇n ∇k ψ) =2!ih̄−1 nk∗∗= −∇n(M ) (ψ∇k ψ − ψ ∇k ψ) = −∇n j n .2Таким образом, (13.41) выполняется для плотности потока вероятности, компоненты которой задаются так:j n = ih̄ (M −1 )nk (ψ∇k ψ ∗ − ψ ∗ ∇k ψ) = 1 (M −1 )nk (ψ (p̂k ψ)∗ + ψ ∗ p̂k ψ).22(13.45)4 Сделаем специальное замечание для тех, кто хорошо знаком с тензорами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
