Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Для абстрактной группы мы не можем определить матричный коммутатор [g1 , g2 ] = g1 g2 − g2 g1 , т. к. для элементовгруппы не определено вычитание.(ф) Для квантовой механики коммутативная группа симметрии наиболее проста: гамильтониан коммутирует одновременно со всеми преобразованиями группы, а преобразования коммутируют между собой. Такимобразом, все групповые преобразования и гамильтониан можно диагонализовать одновременно.14.2.3.
Подгруппы (л)Подгруппой H группы G называется её подмножество, замкнутое относительно групповых операций группы G, т. е.∀g, h ∈ H ⊂ G,E, g −1 , g ◦ h ∈ H.Таким образом, подгруппа H ⊂ G тоже является группой, причём групповые операции в ней те же, что и в G.(ф) Если первоначальная симметрия системы нарушается добавлениемв гамильтониан лишнего члена, то новый гамильтониан имеет уже меньшую симметрию, задаваемую уже не исходной группой, а какой-то её подгруппой. Например, если первоначально мы имеем частицу в сферически симметричном потенциале (атом), то симметрия системы описываетсягруппой вращений. Если мы поместим атом во внешнее поле, то направление поля задаст в пространстве выделенное направление и в результатесохранятся только те симметрии из первоначальной группы, которые переводят это направление в себя. То есть от первоначальной группы всех поворотов SO(3) останется подгруппа поворотов относительно фиксированнойоси SO(2) ⊂ SO(3).402ГЛАВА 14Задание подгруппы H позволяет разбить группу G на левые и правыеклассы эквивалентности:∀g0 ∈ G[g0 ]л = g0 H = {g ∈ G|g = g0 ◦ h, h ∈ H},[g0 ]п = Hg0 = {g ∈ G|g = h ◦ g0 , h ∈ H},g0 ∈ [g0 ]л,п называют представителем класса эквивалентности.Множество левых классов эквивалентности G/H и множество правыхклассов эквивалентности H \ G для произвольной подгруппы H могут небыть группами и не совпадать.Среди подгрупп особенно важны подгруппы, удовлетворяющие условию∀g ∈ G g −1 Hg = H— нормальные подгруппы.
Нормальная подгруппа может также называтьсяинвариантной подгруппой, или нормальным делителем группы.У коммутативной группы все подгруппы являются нормальными.Нормальность подгруппы — необходимое и достаточное условие того,что левые и правые классы эквивалентности совпадают H \ G = G/H.В этом случае на них вводится групповая структура:EG/H = [E],[g]−1 = [g −1 ],[g1 ] ◦ [g2 ] = [g1 ◦ g2 ].Результат операции не зависит от того, какой представитель класса эквивалентности мы используем. Получившаяся подгруппа называется факторгруппой группы G по модулю нормальной подгруппы H и обозначается G/H.Всякая группа G имеет, по крайней мере, две нормальных подгруппы:всю группу G и подгруппу, состоящую из единицы {E} (тривиальная подгруппа). Если других нормальных подгрупп нет, то такая группа называетсяпростой группой.Если задан некоторый гомоморфизм (14.2) f : G → L, то множествовсех элементов, отображающихся на единицу группы L, называют ядромгомоморфизма:f −1 (EL ) = {g ∈ G|f (g) = EL }.Легко проверяется, что ядро f −1 (EL ) всегда является нормальной подгруппой группы G.14.2.
Г РУППЫ ( Л )403Теорема о гомоморфизме1 : Пусть задан гомоморфизм f : G → L,тогда группа L изоморфна факторгруппе по ядру гомоморфизмаL G/f −1 (EL ).Теорема о гомоморфизме позволяет классифицировать все возможныегомоморфизмы, если мы знаем все нормальные подгруппы данной группы. ((ф): Это будет полезно при изучении теории представлений групп,а в квантовой механике нас интересуют именно представления групп симметрии с помощью унитарных операторов.) В частности, для простыхгрупп гомоморфизмы бывают двух типов: (1) изоморфизмы (ядро — тривиальная подгруппа) и (2) отображения на тривиальную группу из одногоэлемента (ядро — вся группа).14.2.4. Конечные группы (л)Любая группа G с конечным числом элементов |G| может быть представлена как группа перестановок не более чем |G| элементов.
Такое представление реализуется, если группа действует сама на себя умножениемслева.Таким образом, любая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе группы всех перестановок, множества из N элементов, которая обозначается как SN , причём |SN | = N !(ф) Группа SN в физике естественно возникает как группа перестановок N тождественных (одного сорта) бозонов, поскольку состояния, отличающиеся друг от друга перестановкой (перенумерацией) бозонов одногосорта, принципиально неразличимы.Любая перестановка может быть представлена как матрица N × N ,в которой в каждой строке и каждом столбце присутствует одна единица, а остальные элементы — нули.
Определители таких матриц всегда равны ±1. Умножению перестановок при этом соответствует умножение матриц. Поскольку при перемножении матриц их определители также перемножаются, из группы SN выделяется в качестве нормальной подгруппыгруппа чётных перестановок AN , элементы которой представимы матрицами с определителем +1, причём |AN | = 12 N ! (при N > 1).1 Естьстарый физматшкольный стишок для запоминания Теоремы о гомоморфизме:Гомоморфный образ группы!Будь, во имя коммунизма,Изоморфен факторгруппеПо ядру гомоморфизма!404ГЛАВА 14(ф) Группа AN в физике естественно возникает как группа перестановок N тождественных (одного сорта) фермионов, поскольку состояния,отличающиеся друг от друга перестановкой (перенумерацией) фермионоводного сорта, принципиально неразличимы, но при этом вектор состояния(волновая функция) меняет знак, при каждой перестановке пары одинаковых фермионов.Любая перестановка может быть представлена как комбинация (произведение) парных перестановок, т.
е. перестановок меняющих местами дваэлемента и оставляющих остальные элементы неподвижными. Определитель матрицы парной перестановки равен −1, так что, хотя число парныхперестановок, на которые разлагается данный элемент, определено неоднозначно, чётность этого числа неизменна.
Чётными называют перестановки, разлагающиеся на чётное число парных перестановок (det = + 1),нечётными — перестановки, разлагающиеся на нечётное число парных(det = −1).(ф) Конечная подгруппа группы вращений естественным образомпредставима как группа перестановок вершин некоторого многогранника, переводящая этот многогранник в себя.
Такие группы в физике естественным образом возникают как группы симметрий различных молекул.Знание представлений таких групп облегчает нахождение спектров соответствующих молекул. В классической механике это соответствует нахождению частот собственных колебаний, а в квантовой — собственныхуровней энергий. В частности, для гамильтониана, обладающего соответствующей симметрией, мы сразу можем назвать кратности собственныхчисел.Простейшая нетривиальная (состоящая более чем из одного элемента)группа состоит из целых степеней некоторого элемента группы:{g0n |n ∈ Z}— циклическая группа. Бесконечная циклическая группа называется свободной, она изоморфна группе целых чисел относительно сложения Z ((ф):группа симметрий одномерной периодической решётки).
Конечная циклическая группа из N элементов изоморфна группе остатков от деления на Nотносительно сложения и может быть получена как факторгруппа целыхчисел относительно сложения по подгруппе целых чисел, делящихся на N :ZN = Z/N Z.Циклическая группа ZN проста только для конечного простого N .14.2. Г РУППЫ ( Л )40514.2.5. Стандартные матричные группы (л)Стандартные непрерывные группы — это подгруппы группы комплексных квадратных невырожденных (det M = 0) матриц N × N , которая обозначается GL(C, N ), где GL означает общие (General) линейные (Linear) преобразования. Групповые структуры (единичный элемент, умножение и взятие обратного элемента) понимаются как это стандартно принято для матриц.Буквенные обозначения стандартных непрерывных групп строятся изблоков:• S — Special — специальная — det M = 1,• U — Unitary — унитарная — M † = M −1 ,• O — Orthoganal — ортогональная — M T = M −1 ,• L — Linear — линейная — иногда дописывается для красоты,• G — General — общая — дописывается для красоты, если нет никакихусловий.После буквенного кода в круглых скобках могут указываться дополнительные параметры:• размер матрицы (число);• сигнатура метрики (два числа — число положительных собственныхчисел и число отрицательных), остающейся инвариантной под действием преобразований из данной группы (в этом случае должна использоваться буква O, но матрицы будут уже не ортогональные, а псевдоортогональные);• множество чисел, из которых строится матрица (чаще всего C или R)–––––C — комплексные (для унитарных матриц опускается),R — вещественные (для ортогональных матриц опускается),Q — рациональные,Z — целые,N — натуральные.Примеры:• GL(R, N ) — невырожденные, вещественные, N × N ;• SL(N ) — вещественные, det M = 1, N × N ;406ГЛАВА 14• O(1, 3) — группа Лоренца — M diag(+1, −1, −1, −1) M T== diag(+1, −1, −1, −1) — вещественные матрицы, сохраняют вид метрики Минковского (у метрики Минковского 1 положительное собственное число и 3 отрицательных);• O(3) — вещественные ортогональные матрицы 3 × 3 — M M T = E —повороты и их комбинации с отражениями;• SO(3) — вещественные ортогональные матрицы 3 × 3, det M = 1 —собственные повороты (без отражений);• U(N ) — унитарные матрицы N × N ;• SU(2) — унитарные матрицы 2 × 2, det M = 1 — квантовые повороты(поворот на 2π даёт умножение на −1);• O(N, N ) = SN — группа перестановок множества из N элементов;• SO(N, N ) = AN — группа чётных перестановок множества из N элементов.Для всех подгрупп группы GL(C, N ) мы можем сразу записать линейное N -мерное представление, при котором они действуют слева как матрицы на столбец длины N .14.3.
«Симметрии-1» и «Симметрии-2». В чём различие?*В этом разделе мы посмотрим на главу 11 «Симметрии-1» (котораяпроизводила впечатление вполне законченного изложения) с точки зрениятекущей главы и посмотрим, чего же нам на самом деле не хватает.14.3.1. Однопараметрические группы*Ранее, в главе 11 «Симметрии-1» мы ограничивались рассмотрениемоднопараметрических групп симметрии. Такая симметрия всегда описывается одним эрмитовым оператором — генератором однопараметрическойгруппы Â, порождающим для разных значений параметра α ∈ R преобразования симметрии вида Ûα = exp(iαÂ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
