Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Таким параметром может быть масса частицы, постоянная Планка, заряд электрона, какой-либо ещё численный коэффициент, но координата, импульс квантовой частицы или любая другаяхарактеристика состояния квантовой системы здесь не годятся. Но, например, координата потенциальной ямы или стенки может быть таким параметром, если они задаются как классические (бесконечно тяжёлые) объекты и не могут быть взяты как аргументы волновой функции.Продифференцируем тождество (13.14) по параметру λ:∂ Â |ψ + Â ∂|ψ = ∂a |ψ + a ∂|ψ .∂λ∂λ∂λ∂λ(13.15)Действуя слева бра-вектором ψ(λ)|, получаем:∂|ψ∂|ψψ| ∂ Â |ψ + ψ|Â= ψ| ∂a |ψ + ψ|a.∂λ∂λ∂λ ∂λ(13.16)ψ|aСократив повторяющийся слева и справа член, получаем теоремуГеллмана – Фейнмана: при условии (13.14) выполняется тождествоψ| ∂ Â |ψ = ∂a .∂λ∂λ(13.17)Теорема (13.17) полезна при вычислении средних значений от наблюдаемой, которая может быть получена как производная по параметру отдругой наблюдаемой, которая определена в рассматриваемом состоянии.При использовании этого метода полезно помнить, что если мы знаемспектр наблюдаемой Â, то мы знаем спектр всех наблюдаемых вида F (Â),например Â2 , Â3 и т.
д., и к наблюдаемым вида F (Â) можно применить туже теорему:∂F (Â)∂F (a)ψ||ψ =.(13.18)∂λ∂λ13.5. К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ375Если рассматриваемые наблюдаемые были определены в классическойтеории теми же формулами (с точностью до шляпок), то полученное квантовое соотношение между их средними значениями будет совпадать с классическим.13.5. Квазиклассическое приближениеИсторически квазиклассическое приближение («квазиклассика») предшествовало квантовой механике в её современном виде. В старых книгахещё можно встретить такие выражения, как старая квантовая механикаи новая квантовая механика.Первоначально старая квантовая механика «висела в воздухе», представляя собой набор постулатов Бора, которые предписывали правила,согласно которым из множества классических решений уравнений движения каким-то неведомым образом удавалось отбирать те решения, которыесоответствовали разрешённым состояниям электронов в атоме.После создания новой квантовой механики старая квантовая механикабыла выведена как предельный случай, отвечающий квазиклассическомуприближению.Нам редко удаётся точно решить уравнения Шрёдингера, поэтомубольшое значение имеют методы приближённого решения, к числу которых относится квазиклассика.
Важно и то, что квазиклассика позволяет использовать классическую интуицию для квантовых систем. С учётом целиданной книги (понимание квантовой механики) это особенно важно.13.5.1. Как угадать и запомнить квазиклассическую волновуюфункциюРассмотрим одномерное стационарное уравнение Шрёдингера в предположении, что на малых расстояниях справедливо приближение де Бройля, т. е. волновую функцию можно записать какiψ(x) ≈ C e h̄p(x) x(13.19)при изменении координаты x на несколько длин волн де Бройля.
Это означает, что длина волны, записанная как функция от x, мало меняется нарасстоянии порядка длины волны ∂λ ∂λ 1.(13.20)⇔ ∂x λ |λ| ∂x 376ГЛАВА 13Здесьλ(x) = 2πh̄ ,p(x)p(x) =2m(E − U (x)).То есть мы выражаем длину волны через классический импульс частицы.В формуле (13.19) «константа» C зависит от x, поэтому удобнее переписать формулу в другом виде:iψ(x + δx) ≈ ψ(x) e h̄p(x) δx.(13.21)Таким образом, мы получаемiψ(x1 ) ≈ ψ(x0 ) e h̄p(x0 ) δx⎛⎜⎜≈ ψ(x0 ) exp ⎜ i⎝ h̄⎛≈ ψ(x0 ) exp ⎝ ih̄ie h̄p(x0 +δx) δxx1 −x0δxn=0x1i· · · e h̄p(x1 −δx) δx⎞≈⎟⎟p(x0 + nδx) δx⎟ ≈⎠⎞p(x) dx⎠.x0Таким образом, произведение px в показателе экспоненты волныде Бройля в случае медленноменяющегося классического импульса p(x)заменилось на интегралp(x) dx:ψ(x) ≈ C expih̄p(x) dx .(13.22)Полученная нами формула (13.22), как мы увидим далее, совпадаетс первым квазиклассическим приближением.Заметим, что волновая функция, описывающаяся формулой (13.22)предполагает, что |ψ(x)|2 = |C|2 = const. Насколько это хорошо?Если классическая частица движется вдоль оси x, причём E > U (x),то частица будет последовательно проходить все интервалы по x, находясьdxdxна каждом интервале dx на протяжении времени v(x)= m p(x), где v(x) —классическая скорость.
(То есть в классическом случае отсутствует надбарьерное отражение.) Если мы ловим частицу на интервале dx, не зная13.5. К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ377в какой именно момент частица стартовала, то вероятность того, что мыпоймаем частицу, пропорциональна времени, которое частица пробудет наданном отрезке. Таким образом, следует модифицировать волновую функ1цию так, чтобы выполнялось условие |ψ(x)|2 ∼ p(x). Поэтому естественнопредположитьp(x) dx .(13.23)ψ(x) ≈ Cexp ± ih̄p(x)Знак ± в показателе экспоненты соответствует движению частицы по xв положительном или отрицательном направлении.
Как мы увидим далее,формула (13.23) совпадает со вторым квазиклассическим приближением.Поскольку в квантовой механике частица может одновременно двигаться в обе стороны (находиться в суперпозиции состояний, отвечающихдвижению в разные стороны), последнюю формулу следует модифицировать: C+ψ(x) ≈ p(x) dx +exp ih̄p(x)C−+p(x) dx . (13.24)exp − ih̄p(x)Таким образом, мы угадали формулу для второго квазиклассическогоприближения, используя общефизические соображения. Далее мы выведемту же формулу (13.24) более строго, но и метод угадывания, несмотря навсю свою нестрогость может быть полезен, поскольку нестрогий выводпозволяет: 1) понять физический смысл формул; 2) хорошо запомнить самиформулы.Рассуждения, с помощью которых мы угадали квазиклассические волновые функции применимы только в глубине классически разрешённойобласти E > U (x), однако можно надеяться, что те же формулы будутсправедливы для мнимых значений импульса p(x), т.
е. в глубине области E < U (x).13.5.2. Как вывести квазиклассическую волновую функциюВыведем в одномерном случае то выражение для квазиклассическойволновой функции, которое мы угадали в предыдущем разделе. Для этогопредставим волновую функцию в экспоненциальном видеiψ(x) = e h̄S(x)(13.25)378ГЛАВА 13и подставим её в стационарное уравнение Шрёдингера, записанное в координатном представлении:1 (S )2 − ih̄S = E − U (x),2mилиS =2m(E − U ) + ih̄S .(13.26)(13.27)Это пока точное уравнение Шрёдингера, просто переписанное для функции S(x).Мы знаем, что постоянная Планка мала в привычных нам макроскопических единицах измерения.
Но на самом деле бессмысленно говоритьо малости размерной величины, т. к. любая размерная величина может бытьобращена в единицу выбором подходящих единиц измерения. «Малость»постоянной Планка в привычных (макроскопических) единицах измеренияозначает, на самом деле, малость по сравнению с привычными (макроскопическими) величинами той же размерности, т.
е. по сравнению с характерными значения действия и момента импульса.Запишем для функции S(x) формальный степенной ряд по степенямпостоянной Планка:S = S0 − ih̄S1 + (−ih̄)2 S2 + . . . .(13.28)Как правило, этот ряд не сходится, но даёт хорошие приближения, есливзять от него несколько первых членов.Подставляя ряд (13.28) в уравнение (13.27) и удерживая соответствующие члены разложения, получаем:S0 (x) = 2m(E − U (x)) = ±p(x) ⇒ S0 (x) = ± p(x) dx.Здесь p(x) — классическое выражение для импульса через координату x.Аналогично для следующего члена разложения:((S0 − ih̄S1 ) = 2m(E − U ) + ih̄S0 + o(h̄) =ih̄p (x),p2 + ih̄p + o(h̄) = p(x) +2 p(x) p(x).S1 (x) = −= − ln p(x)⇒ S1 (x) = ln C2 p(x)p(x)=13.5.
К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ379Подставляя первые два члена из (13.28) в выражение (13.25) для волновой функции, получаем выражение, которое совпадает с угаданным ранее (13.23):±ψ(x) = C ep(x)i 5p(x) dxh̄.Чего же мы достигли, получив ранее угаданное выражение? Вопервых, мы его действительно получили, а не угадали, при этом мы можемулучшить наше приближение, взяв следующие члены разложения S(x) постепеням постоянной Планка.
Мы можем определить область применимости полученного приближения, оценив следующий член разложения, и ужеболее обоснованно получить ранее угаданную нами оценку (13.20) ∂λ 1. ∂x Причём, если ранее полученные волновые функции и оценки ихприменимости были обоснованы для классически разрешённой областиE > U (x), p(x) ∈ R, а применимость тех же формул для классически запрещённой области E < U (x) мы могли обосновывать, только ссылаясьна аналогию и аналитическое продолжение, то теперь квазиклассическоеприближение и критерий его применимости равно обоснованы в глубинеклассически запрещённых и разрешённых областей.У границы классически разрешённой и запрещённой областей, когдаp(x) → 0 длина волны де Бройля неограниченно возрастает и условие|λ (x)| 1 перестаёт выполняться. Области E ∼ U (x) (p(x) ∼ 0) надоисследовать другими способами.13.5.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
